山东省重点高中2024−2025学年高二下学期4月大联考 数学试题（含解析）

这是一份山东省重点高中2024−2025学年高二下学期4月大联考 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．如果函数在处的导数为1，那么（ ）
A．1B．C．2D．4
2．的展开式中含的项是（ ）
A．B．C．D．
3．某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（ ）种排法？
A．72B．36C．24D．12
4．在上的导函数为，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
5．甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有五个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择种数共有（ ）
A．420B．460C．480D．520
6．现有15个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一、二班每班至少3个名额，三、四、五班每班至少2个名额，则名额分配方式共有（ ）
A．15种B．35种C．70种D．125种
7．若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．函数，则（ ）
A．B．的单调递增区间为
C．最大值为D．有两个零点
10．下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数在R上可导且，其导函数满足：，则下列结论正确的是（ ）
A．函数有且仅有两个零点
B．函数有且仅有三个零点
C．当时，不等式恒成立
D．在上的值域为
三、填空题（本大题共3小题）
12．若函数的图象在处的切线斜率为，则实数 .
13．设，则 ．
14．已知直线是曲线和的公切线，则实数a= ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．电影《长津湖》讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神为长津湖战役胜利做出重要贡献的故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
16．设，，已知
(1)求实数的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
17．已知函数，.
(1)若曲线在点处的切线平行于直线，求该切线方程；
(2)若，求证：当时，；
(3)若有且只有两个零点，求a的值.
18．已知函数.
(1)若函数不单调，求实数的取值范围；
(2)若曲线与直线有且仅有一个交点，求实数的取值范围.
19．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：．
参考答案
1．【答案】B
【详解】，
故选B.
2．【答案】C
【详解】的展开式的通项公式为，则，得，所以含的项是．
故选C.
3．【答案】A
【详解】先排三个唱歌节目这有：种情况，
然后四个空排两个舞蹈节目这有：种情况，
所以舞蹈节目不能相邻的情况有：情况.
故选A.
4．【答案】A
【详解】令，
则，
，，
在上单调递增，
，即，
.
故选A.
5．【答案】C
【详解】求不相同的选择种数有两类办法：恰有3个学校所选研学基地不同有种方法，
4个学校所选研学基地都不相同有种方法，
所以不相同的选择种数有（种）.
故选C.
6．【答案】B
【详解】根据题意，先将15个名额分配给一班、二班每班2个，三、四、五班每班1个，还剩下8个名额，将剩下的8个名额进行分组，每组至少一人，
利用“隔板法”求解，8个有7个间隔，要分成组，7个间隔选4个即可，则有种分配方法.
故选.
7．【答案】D
【详解】因为函数在上存在单调递增区间，
所以存在，使成立，即存在，使成立，
令，， 变形得，因为，所以，
所以当，即时，，所以，
故选D．
8．【答案】B
【详解】由题意可得，即，
所以，
又，所以在上单调递增，
即，所以，
且，
令，，
则，其中，
令，则，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，有极大值，即最大值，
所以，，
所以.
故选：B
9．【答案】ABD
【详解】对于A，因的定义域为，则，故A正确；
对于B，由可得，即的单调递增区间为，故B正确；
对于C，由上分析，当时，；当时，.
即函数在上单调递减，在上单调递增，则时，取得最小值，故C错误；
对于D，由上分析，函数在上单调递减，在上单调递增，且，
而当时，；当时，，
由零点存在定理，可知函数在区间和各有一个零点，故D正确.
故选ABD.
10．【答案】BCD
【详解】对于A， ，显然，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确．
故选BCD.
11．【答案】AC
【详解】令，则，故（为常数），，，
.
令，解得或，
故函数有且仅有两个零点，选项A正确；
，
∴令得；令得，
在和上单调递增，在上单调递减.
，，，
∴存在，使得；
又，∴存在，使得；
当时，，∴不存在使得.
综上所述，有且仅有两个根，即有两个零点，故选项B错误；
，∴.
当时，，.
令，则，
故在上单调递增，，满足题意；
当时，也满足不等式.
综上所述，当时，不等式恒成立，故选项C正确；
由B知在上单调递减，在上单调递增，且，，，故函数在上的值域为，故选项D错误.
故选AC.
12．【答案】/
【详解】因为，所以，所以在处的切线斜率，解得．
13．【答案】120
【详解】由题意，.
14．【答案】3
【详解】设直线l与曲线相切于点，
由，得，因为l与曲线相切，
所以消去，得，解得．
设l与曲线相切于点，由，得，即，
因为是l与曲线的公共点，
所以消去，得，即，解得．
15．【答案】(1)720种
(2)1440种
(3)960种．
【详解】（1）根据题意，先将3个女生排在一起，有种排法，
将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有种排法，
由分步乘法计数原理，共有种排法；
（2）根据题意，先将4个男生排好，有种排法，
再在这4个男生之间及两头的5个空位中插入3个女生有种方法，
故符合条件的排法共有种；
（3）根据题意，先排甲、乙、丙以外的其他4人，有种排法，
由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，
最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有种排法，故符合条件的排法共有种．
16．【答案】(1)；
(2)；
(3)128.
【详解】（1）根据二项式定理可得，
所以，解得；
由（1）知，
令得
再令得
所以；
（3）在式子中，
令可得.
17．【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)．
【详解】（1）因为，所以，故．
所以．
所求切线方程为，即．
（2）当时，，．
当时，；当时，．
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以的最小值为．
故时，．
（3）对于函数，．
（i）当时，，没有零点；
（ii）当时，．
当时，，所以在区间上单调递增；
当时，，所以在区间上单调递减；
当时，，所以在区间上单调递增．
所以是的极大值，是的极小值．
因为，
所以在上有且只有一个零点．
由于，
①若，即，在区间上没有零点；
②若，即，在区间上只有一个零点；
③若，即，由于，所以在区间上有一个零点．
由（2）知，当时，，所以．
故在区间上有一个零点．
因此时，在区间上有三个零点．
综上，当有两个零点时，．
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，.
，
设，，
当即时，，，
当时，，当时， ，
故函数不单调，满足题意；
当，即时，函数开口向下，因 ，
故，使得当时，，当时，，
故函数不单调，满足题意；
当时，，无解，
此时，，函数单调递增，不满足题意；
当时，的开口向上，对称轴为，
，
故在上有两个不同的零点，，
此时当或时，，当时，，
故函数不单调，满足题意；
综上可知函数不单调时，实数的取值范围为.
（2）设，由题意可知由唯一零点，
，，
设，
当，即时，，
单调递增，结合可知满足题意，
当时，，，
单调递增，满足题意；
当时，，，
设此时的两个根分别为，
则在区间上单调递增，在上单调递减，
，故，
又当时，，当时，，
故的零点不唯一，
综上可知实数的取值范围.
19．【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【详解】（1）函数，求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）不等式，
由时，恒成立，得，
令，由当时，恒成立，
得，，求导得，令，
求导得，而，则当，即时，，
函数在上单调递增，，函数在上单调递增，
则，符合题意，因此；
当时，由，得，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递减，
则当时，，不符合题意，
所以实数的取值范围是.
（3）由（2）知，当时，，
取，则，而，
因此
，
所以.