山东省重点高中2024-2025学年高二下学期3月大联考 数学试卷（含解析）

这是一份山东省重点高中2024-2025学年高二下学期3月大联考 数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了本卷主要考查内容等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数在处的导数为3，则（ ）
A. 3B. C. 6D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件及函数在导数的定义即可求解.
【详解】因为函数在处的导数为3，
所以，
所以．
故选：B.
2. 已知函数，则的值为（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题可通过求导得出，然后代入即可得出结果.
【详解】因为，
所以，
则，
故选：D.
3. 设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求导，得到，从而得到，结合倾斜角的范围，求出α的取值范围.
【详解】，
∵点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，
∴．
∵，
∴．
故选：C．
4. 已知函数有极值，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】原函数有极值等价于导函数有变号零点，对于二次函数即判别式，由此计算a的取值范围即可.
【详解】由，
得，
根据题意得，
解得或，
所以实数a的取值范围是.
故选：D．
5. 已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知，利用导数求出函数在上的最大值，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】因为，则，其中，
令，解得，令，解得.
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，，所以，，
因为在上恒成立，所以，，解得.
故选：B
6. 若函数存在零点，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意得，令，求的取值范围可得答案.
详解】由，则，
令，
则，
当得，单调递增，当得，单调递减，
所以，，
当趋向于正无穷大时，也趋向于正无穷大，
所以函数存在零点，则.
故选：D.
【点睛】方法点睛：本题考查函数零点问题．解题方法是把零点个数转化为方程解的个数，再转化为函数图象交点个数，由图象观察所需条件求得结论．考查了分析问题、解决问题的能力．
7. 已知函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由、关于轴对称，问题转化为与在上有交点，构造，则在有解，利用导数研究单调性并求最值，即可求的取值范围.
【详解】由题意，、关于轴对称，
∴与在上有交点，则在有解，
令，则，，
∴在上递增，而，
∴在上，递减；在上，递增；
∴，故只需即可，得.
故选：B
【点睛】关键点点睛：由、关于轴对称，将问题转化为与在上有交点，再构造函数并利用导数求极值，进而求参数范围.
8. 已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函数满足，构造函数，得出的单调性，解不等式即可.
【详解】令，则，所以在R上单调递增，
由，得，即，
又在R上单调递增，所以，解得，
即不等式的解集为.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数在区间上单调递减B. 函数在区间上单调递减
C. 函数在处取得极大值D. 函数在处取得极小值
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据导函数图象，结合函数的单调性与极值与导数的关系逐项判断即可.
【详解】对于A．因为在区间上成立，所以区间是的单调递减区间，故A正确；
对于B．因为当时，，当时，，所以在上不单调，故B错误；
对于C．因为当时，，当时，，函数在处取得极大值，故C正确；
对于D．因为当时，，当时，，所以函数在处取得极小值，故D正确.
故选：ACD．
10. 已知函数图象上的一条切线与的图象交于点M，与直线交于点N，则下列结论不正确的有（ ）
A. 函数的最小值为
B. 函数的值域为
C. 的最小值为
D. 函数图象上任一点的切线倾斜角的所在范围为
【答案】ABD
【解析】
【分析】讨论与结合均值不等式可判断A、B；利用导数求出函数的切线方程，从而求得点与，即可判断C；根据导数的取值范围可判断D．
【详解】已知，当时，，当时，，故选项A、B不正确；
设直线l与函数的图象相切于点，函数的导函数为，则直线l的方程为，
即，直线l与的交点为，与的交点为，
所以，当且仅当时取等号，
故选项C正确;
，可知切线斜率可为负值，即倾斜角可以为钝角，故选项D不正确．
故选：ABD
11. 已知函数，则（ ）
A. 当时，函数的减区间为
B. 当时，函数的图象是中心对称图形
C. 若是函数的极大值点，则实数a的取值范围为
D. 若过原点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为
【答案】AB
【解析】
【分析】对函数求导根据可判断A正确，由中心对称图形定义可判断B正确，利用极值点定义与导函数零点之间的关系即可判断C错误，将切线条数转化成方程根的个数，再构造函数求得函数图象交点个数可判断D错误.
【详解】由，
对于A选项，当时，，可得函数的减区间为，增区间为，故A选项正确；
对于B选项，当时，，
又由，
可得函数的图象关于点对称，是中心对称图形，故B选项正确；
对于C选项，由A选项可知，当时，是函数的极小值点；
当时，令，可得或，
若是函数的极大值点，必有，可得，故C选项错误；
对于D选项，设切点为（其中），
由切线过原点，有，整理为，
令，有，
可得函数的减区间为，增区间为，
又由时，；时，；及，
可知当时，关于m的方程有且仅有3个根，
可得过原点可作三条直线与曲线相切，故D选项错误，
故选：AB．
【点睛】关键点点睛：在求解D选项切线条数时，关键是将切线条数转化成方程根的个数，再构造函数求得函数图象交点个数即可得出结果.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的导函数满足关系式，则_____________．
【答案】
【解析】
【分析】对函数两边求导，然后赋值，解得代入即可求解.
【详解】由，函数两边求导得：，
令，则，所以
代入函数得：．
故答案为：
13. 已知函数，则曲线在处的切线斜率为______________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】利用三角恒等变换公式以及导数的运算求解.
【详解】由，
可知，
所以.
故答案为：.
14. 若关于x的不等式对任意恒成立，则实数a的最小值是_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】将问题转化为，构造函数，求的最大值，得a的最小值.
【详解】由，可得，，可得，
令，可得，
令，有，
令，可得；令，可得；
可知函数的增区间为，减区间为，
所以，故，即a的最小值为．
故答案为：．
【点睛】关键点睛：利用，将问题转化为求函数的最大值问题.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．
（1）求函数解析式；
（2）当时，求函数的最值．
【答案】（1）；
（2），．
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义及点在曲线上，结合函数极值的定义即可求解；
（2）利用导数法求函数的最值的步骤即可求解.
【小问1详解】
因为，
所以，
由题意可知，，，，
所以，解得，，，
所以函数的解析式为，经检验适合题意，
所以；
【小问2详解】
由（1）知，
令，则，解得，或，
当时，； 当时，；
所以在和上单调递增，在上单调递减，
当时，取的极大值为，
当时，取得极小值为，
又，，
所以，．
16. 已知函数的图象经过点．
（1）求曲线在点A处的切线方程；
（2）求曲线经过坐标原点的切线方程．
【答案】（1）；
（2）和．
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义即可;
（2）设切点坐标，然后利用导数的几何意义即可.
【小问1详解】
依题意可得，则，
∴，
∵，
∴，
∴曲线在点处的切线方程为，
即；
【小问2详解】
设过原点的切线方程为，则切点为，
则消去k，整理得，
解得或，有或．
故所求方程为和．
17. 如图，在半径为4m的四分之一圆（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为V．
（1）求出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；
（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大？最大体积是多少？
【答案】（1），定义域为；
（2）当时，圆柱形罐子的体积V最大，最大体积是
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理及圆的周长公式，结合圆柱的体积公式即可求解；
（2）根据（1）结论及导数法求函数的最值的步骤即可求解
【小问1详解】
在中，
因为，所以，
设圆柱的底面半径为r，则，即，
所以，定义域为
【小问2详解】
由（1）得，，
，
令，则，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
当时，圆柱形罐子的体积V最大，最大体积是
18. 已知函数，.
（1）讨论的单调区间；
（2）若直线为的切线，求a的值.
（3）已知，若曲线在处的切线与C有且仅有一个公共点，求a的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）1 （3）
【解析】
【分析】（1）求得导函数，并对分和讨论，即可判断函数的单调性；
（2）设切点为，结合导数的几何意义可得，令，转化为仅一个零点，利用导数判断求解；
（3）根据导数几何意义即可求曲线在处的切线方程为，构造函数，由切线与有且只有一个公共点转化为仅一个零点，并求得导函数，对分类讨论，即可判断函数的单调性和最值，进而求得正数的取值范围．
【小问1详解】
由，，
当时，，在单调递增，
当时，令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上，当时，在单调递增，无单调减区间；
当时，在区间上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
设切点为，依题意，，所以，
又，代入可得，，
设，
则，所在单调递增，
因为，所以，.
【小问3详解】
，，
所以曲线在处的切线方程为，即，
设，，
，
①当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，有且仅有一个零点，符合题意；
②当时，，在上单调递减，有且仅有一个零点，符合题意；
③当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
因为，，当，，所以有两个零点，不符题意；
④当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
因为，，当，，所以有两个零点，不符题意；
综上，a的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是将切线与曲线有且只有一个公共点转化为仅一个零点，利用导数求解.
19. 约瑟夫·路易斯·拉格朗日是闻名世界的数学家，拉格朗日中值定理就是他发现的.定理如下：若函数满足如下条件：
①函数在区间上连续（函数图象没有间断）；
②函数在开区间内可导（导数存在）．则在区间内至少存在一点，使得成立，其中称为“拉格朗日中值点”．
（1）求函数在上的“拉格朗日中值点”的个数；
（2）对于任意的实数，，证明：；
（3）已知函数在区间上满足拉格朗日中值定理的两个条件，当时，证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求，再根据“拉格朗日中值点” 的定义令，解方程即可求解；
（2）设，分和两种情况讨论，利用拉格朗日中值定理有，结合即可求证；
（3）对函数二次求导，利用拉格朗日中值定理，结合函数的单调性即可证明.
【小问1详解】
因为，，
，，所以在上的“拉格朗日中值点”的个数为.
【小问2详解】
设，有，
易知函数在上满足拉格朗日中值定理的两个条件，
当时，显然有，
当时，不妨设，由拉格朗日中值定理可知，
存在，使得，
有，又由，有，
可得，
由上知，不等式成立.
【小问3详解】
由，有，
又由，设，
有，
可得函数单调递增，
由拉格朗日中值定理可知，存在，
使得，
同理可知，存在，
使得，
又由和函数单调递增，有，
有，
由化简可得，
故不等式成立．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于能够将问题与拉格朗日中值定理联系并结合导数解决问题.