2024-2025学年山东省重点高中高二下学期3月大联考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省重点高中高二下学期3月大联考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知函数fx在x=x0处的导数为3，则limΔx→0fx0+Δx−fx02Δx=( )
A. 3B. 32C. 6D. 23
2.已知函数fx=xsinx−csx，则f′−π2的值为( )
A. 0B. π2C. −π2D. −2
3.设点P是函数fx=ex− 3x图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )
A. 0,2π3 B. π2,2π3 C. 0,π2∪2π3,π D. 0,π2∪2π3,π
4.已知函数fx=13x3+a−2x2+x+5有极值，则实数a的取值范围是( )
A. 0,2B. −∞,0∪2,+∞
C. 1,3D. −∞,1∪3,+∞
5.已知函数fx=xlnx−2x+a2−a，若fx≤0在x∈1,e2上恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. −1,2B. 0,1C. 0,2D. −1,1
6.若函数f(x)=e3x−e2x−ex−a存在零点，则实数a的取值范围为( )
A. [−2,+∞)B. [−e,+∞)C. [−e2,+∞)D. [−1,+∞)
7.已知函数f(x)=ln(−x)与函数g(x)=ex−(e−1)x−a的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为( )
A. (0,e)B. [1,+∞)C. [e,+∞)D. (1e,+∞)
8.已知定义在R上的函数fx的导函数为f′x，且满足f′x−fx>0，则不等式e4f3x−4>e2xfx的解集为( )
A. 2,+∞B. e,+∞C. −∞,eD. −∞,2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图是导函数y=f′x的图象，则下列说法正确的是( )
A. 函数y=fx在区间1,3上单调递减
B. 函数y=fx在区间−∞,0上单调递减
C. 函数y=fx在x=1处取得极大值
D. 函数y=fx在x=−2处取得极小值
10.已知函数f(x)=x+ 2x图象上的一条切线与g(x)=x的图象交于点M，与直线x=0交于点N，则下列结论不正确的有( )
A. 函数f(x)的最小值为2 2
B. 函数的值域为(−∞,−242]
C. |MN|2的最小值为16−8 2
D. 函数f(x)图象上任一点的切线倾斜角的所在范围为[0,π4]
11.已知函数f(x)=(x−2)ex+axex，则( )
A. 当a≤0时，函数f(x)的减区间为(−∞,1]
B. 当a=e2时，函数f(x)的图象是中心对称图形
C. 若x=1是函数f(x)的极大值点，则实数a的取值范围为(e,+∞)
D. 若过原点可作三条直线与曲线y=f(x)相切，则实数a的取值范围为e3,+∞
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数fx的导函数f′x满足关系式fx=2xf′1−lnx，则fx= ．
13.已知函数fx=sinx1−2cs2x2，则曲线fx在x=π3处的切线斜率为 ．
14.若关于x的不等式axex−x−lnx≥0对任意x∈0,+∞恒成立，则实数a的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数fx=x3+ax2+bx+c在点P0,−2处的切线斜率为−1，且在x=1处取得极值．
(1)求函数fx的解析式；
(2)当x∈−1,2时，求函数fx的最值．
16.(本小题15分)
已知函数fx=ax3+2x2的图象经过点A−1,3．
(1)求曲线y=fx在点A处的切线方程；
(2)求曲线y=fx经过坐标原点的切线方程．
17.(本小题15分)
如图，在半径为4m的四分之一圆(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，设矩形的边长AB=x m，圆柱的体积为Vm3．
(1)求出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；
(2)当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大？最大体积是多少？
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=2lnx+ax，a∈R．
(1)讨论f(x)的单调区间；
(2)若直线y=ax为f(x)的切线，求a的值．
(3)已知a>0，若曲线C:y=f(x)在(1,f(1))处的切线与C有且仅有一个公共点，求a的取值范围．
19.(本小题17分)
约瑟夫·路易斯·拉格朗日是闻名世界的数学家，拉格朗日中值定理就是他发现的.定理如下：若函数fx满足如下条件：
①函数fx在区间a,b上连续(函数图象没有间断)；
②函数fx在开区间a,b内可导(导数存在).则在区间a,b内至少存在一点ξ，使得f′ξ=fb−fab−a成立，其中ξ称为“拉格朗日中值点”．
(1)求函数fx=x3+2x在−1,1上的“拉格朗日中值点”的个数；
(2)对于任意的实数t1，t2，证明：cst2−cst1≤t2−t1；
(3)已知函数ℎx=xex−x2−alnxa≥0在区间0,+∞上满足拉格朗日中值定理的两个条件，当x2>x1>0时，证明：ℎx1+ℎx22>ℎx1+x22．
参考答案
1.B
2.D
3.C
4.D
5.B
6.D
7.B
8.A
9.ACD
10.ABD
11.AB
12.2x−lnx
13.12/0.5
14.1e
15.(1)因为fx=x3+ax2+bx+c，
所以f′x=3x2+2ax+b，
由题意可知，f0=−2，f′0=−1，f′1=0，
所以f0=c=−2f′0=b=−1f′1=3+2a+b=0，解得a=−1，b=−1，c=−2，
所以函数fx的解析式为fx=x3−x2−x−2，经检验适合题意，
所以fx=x3−x2−x−2；
(2)由(1)知f′x=3x2−2x−1=3x+1x−1，
令f′x=0，则3x+1x−1=0，解得x=−13，或x=1，
当x∈−1,−13∪1,2时，f′x>0；当x∈−13,1时，f′x