山东省菏泽市鄄城县第一中学2024−2025学年高二下学期学生自主检测（二）（4月） 数学试题（含解析）

这是一份山东省菏泽市鄄城县第一中学2024−2025学年高二下学期学生自主检测（二）（4月） 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有（ ）
A．11种B．22种C．30种D．60种
2．（ ）
A．6B．C．D．
3．据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境．“高原版”复兴号动车组列车全长236.7米，由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，最高运行时速达160千米，全列定额载客676人．假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（ ）
A．B．C．D．
4．中国体育代表团在2024年巴黎奥运会获得40金27银24铜共91枚奖牌，金牌数与美国队并列排名第一､创造了参加境外奥运会的最佳战绩.巴黎奥运会中国内地奥运健儿代表团于8月29日至9月2日访问香港､澳门.访问期间，甲､乙､丙3名代表团团员与4名青少年站成一排拍照留念，若甲､乙､丙互不相邻，则不同的排法有（ ）
A．2880种B．1440种C．720种D．360种
5．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．函数在上单调递增B．函数至少有2个极值点
C．函数在上单调递减D．函数在处取得极大值
6．某5位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来5位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ）
A．21B．30C．42D．60
7．我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号.已知2024年是龙年，那么年后是（ ）
A．羊年B．马年C．龙年D．兔年
8．将7名身高不同的学生从左往右排成一列，记第名学生的身高为，当时，由于学生的身高变化像字母，所以也叫“数列”，则满足条件的“数列”共有（ ）
A．61个B．65个C．68个D．71个
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知点P在函数的图像上，点Q在直线上，若线段取得最小值n时，P点横坐标为m，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数的定义域为，其导函数为，且对任意的，都有，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．某班组织一次认识大自然的活动，有6名同学参加，其中有3名男生，3名女生，现要从这6名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，则抽取的3名同学中既有男生又有女生的抽取方法共有 种．
13．函数的最小值为 ．
14．设为函数的导函数的图像上一点，为函数的图像上一点，当关于直线对称时，称是一组对称点．若恰有3组对称点，则的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数．
（1）求曲线在点处切线的方程；
（2）求函数的极值．
16．在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为64.
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中二项式系数最大的项.
17．已知函数的两个极值点分别为2，3.
(1)求，的值，并求出函数的极值；
(2)已知，求证：不等式在上恒成立.
18．（1）由0，1，2，3，4，5，6这7个数字组成的没有重复数字的四位偶数有多少个？
（2）把5个不同颜色的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放入1个小球，有多少种不同的放法？
（3）某书法兴趣小组有7名组员，其中3人只擅长硬笔书法，2人只擅长软笔书法，其余2人既擅长硬笔书法，又擅长软笔书法，现从书法兴趣小组中选择擅长硬笔书法的2人参加硬笔书法比赛，擅长软笔书法的2人参加软笔书法比赛（每个人不能同时参加两个比赛），则不同的选择方法有多少种？
19．对于函数，规定，，…，，叫做函数的n阶导数．若函数在包含的某个闭区间上具有n阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点x，，该公式称为函数在处的n阶泰勒展开式，是此泰勒展开式的n阶余项．已知函数．
(1)写出函数在处的3阶泰勒展开式（用表示即可）；
(2)设函数在处的3阶余项为，求证：对任意的，；
(3)求证：．
参考答案
1．【答案】C
【详解】依题意第一步从5名男队员中选出1名，共有5种选法；
第二步，从6名女队员中选出1名，共有6种选法；
根据分步乘法计数原理可得不同的组合方式有（种）．
故选C．
2．【答案】A
【详解】.
故选A.
3．【答案】B
【详解】因为，所以，
故当时，，
即时，“高原版”复兴号动车的加速度为，
故选B.
4．【答案】B
【详解】第一步先排4名青少年共有种排法，第二步把甲､乙､丙插在4名青少年中间有种排法，
所以根据分步乘法计数原理共有种排法，
故选B.
5．【答案】D
【分析】根据的图象判断其符号，进而可知的单调性和极值，结合选项分析判断即可.
【详解】由的图象可知：当或时，；当时，；
可知在，上单调递增，在上单调递减，
则函数有且仅有两个极值点，
结合选项可知：ABC正确；D错误；
故选 D.
6．【答案】C
【详解】7位同学排成一排准备照相时，共有种排法，
如果保持原来5位同学的相对顺序不变，则有种排法.
故选C.
7．【答案】A
【详解】由
，故除以12的余数为1.
故除以12的余数为3，所以年后是羊年.
故选A.
8．【答案】D
【详解】记这7名学生的身高由低到高分别为数字1，2，3，4，5，6，7，
因为都比大，所以只能为，或.
当时，有种选法，剩余数字中的最大值作为，
所以有种选法，剩下一个数作为，共有个“数列”；
当时，有种选法，剩余数字中的最大值作为，
剩余两个数排，有种选法，共有个“数列”；
当时，，从4，5，6，7中选2个数作为有种选法，
剩余2个数为，共有6个“数列”.
综上所述，满足条件的“数列”共有个.
故选D.
9．【答案】AD
【详解】对于A选项，令，得，故A正确；
对于B选项，令，得，故B错误；
对于C选项，令，得，故C错误；
对于D选项，将，两式相加，
得，即，故D正确.
故选AD.
10．【答案】BD
【详解】过函数的图像上点作切线，使得此切线与直线平行，
因为，于是．所以，，此时，即，
点P到直线的距离为，即.
故选BD.
11．【答案】BD
【详解】令，所以，
因为，所以，所以在上单调递增，
所以，
即，
则，，故AC错误，BD正确．
故选BD．
12．【答案】18
【详解】抽取的3名同学中既有男生又有女生包含2种情况：1名男生，2名女生；2名男生，1名女生.
所以满足要求的抽取方法共有（种）.
13．【答案】
【详解】由得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以．
14．【答案】
【详解】，设，则，
所以，，所以，
因为与的图像若恰有3组对称点，
所以有三组解，可得即有三个解，
令，即函数与的图像有3个不同的交点，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递减，
所以，，
所以.
15．【答案】（1）
（2）极小值为，极大值为13
【详解】（1）由，
得，
因为，所以，
所以曲线在点处切线的方程为，
即．
（2）令，得或，
当变化时，的变化情况如下表：
又，所以函数的极小值为，极大值为13．
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以该二项式为，
则通项公式为：．
令，解得，
所以该二项式的展开式中的常数项为．
（2）因为，
易知：展开式第四项二项式系数最大，
即,
所以展开式中二项式系数最大的项.
17．【答案】(1)函数的极大值为，极小值为
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，所以，
因为函数的两个极值点分别为2，3，所以,
解得,
此时，.
所以当时，，函数单调递增；
当时，.函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
满足的两个极值点分别为2，3.
所以函数的极大值为，极小值为
（2）证明：等价于，
即，
令，则，
若，则恒成立，在上单调递增，
所以；
若，令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以的极小值为，也是最小值.
令，，则，
所以在上单调递减，.
综上所述，在上恒成立，
即不等式在上恒成立.
18．【答案】（1）420；（2）150；（3）37.
【详解】（1）求没有重复数字的四位偶数的个数有两类：
个位数字为0，共有个；个位数字不是0，共有个，
所以没有重复数字的四位偶数的个数是.
（2）把5个不同颜色的小球按分成3组的分法数为；按分成3组的分法数为，
将每种分法所得3组放入3个不同盒子，有种放法，
所以不同的放法种数为.
（3）求不同选法种数，有三类办法：
擅长两种书法的不选，有种；擅长两种书法的选1人，有种；
擅长两种书法的选2人，有种，
所以不同选法种数是.
19．【答案】(1);
(2)证明见详解；
(3)证明见详解.
【分析】（1）根据函数在处的阶泰勒展开式的定义可直接求得结果；
（2）根据泰勒公式的定义，计算函数在处的阶泰勒展开式余项，介于与之间的常数，再通过导数判断单调性即可；
（3）计算函数在处的阶泰勒展开式为,并得，令，则，再利用累加法即可证明.
【详解】（1）由题意，函数，且，
则，
，
，
所以函数在处的阶泰勒展开式为：
.
（2）由（1）可知，，
，
所以函数在处的阶泰勒展开式为：
，
其中，介于与之间的常数，
所以，
因为为常数项，且，
所以函数为偶函数，
因为，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
所以，
故对任意的，.
（3）由（2）可知，函数在处的阶泰勒展开式为
，
所以，
令，
则，
所以，
即.
【关键点拨】本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题时明确阶泰勒展开式的具体定义；在证明不等式成立时的关键是能够根据原函数与其在处的阶泰勒展开式的大小关系，利用放缩的方法将不等式进行转化.
3
0
0
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减