山东省菏泽市牡丹区菏泽国花学校2024−2025学年高二下学期3月自我检测 数学试题（含解析）

这是一份山东省菏泽市牡丹区菏泽国花学校2024−2025学年高二下学期3月自我检测 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．书架上有10 本不同的自然科学图书和9本不同的社会科学图书，甲同学想从中选出1本阅读，则不同的选法共有（ ）
A．9种B．10种C．19种D．90种
2．若函数在处可导，则（ ）
A．B．C．D．
3．设曲线在点处的切线与直线垂直，则
A．2B．C．D．
4．，，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数有极值，则c的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，为的导函数，则的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知3 A8x ＝4 A9x-1 ，则x等于( )
8．若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（ ）
A．在上是增函数
B．在上是减函数
C．当时，取得极小值
D．当时，取得极大值
10．用到这个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）
A．B．C．D．
11．若函数在区间上不单调，则实数的值可能是（ ）
A．2B．3C．D．4
三、填空题（本大题共3小题）
12．函数的图象在点处的切线方程的斜率为 .
13．3人坐在一排8个座位上，若每人的左右两边都有空座位，则不同的坐法种数是 .
14．函数(x>0)的图像在点处的切线与x轴交点的横坐标为，且，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数，而且.
(1)求；
(2)若l是曲线的切线，且经过点，求l的方程.
16．已知函数，，，
(1)设曲线在处的切线为，若与曲线相切，求；
(2)设函数，讨论的单调性．
17．已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
18．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
19．已知函数.
(1)当时，直线（为常数）与曲线相切，求的值；
(2)若恒成立，求的取值范围；
(3)若有两个零点，求证：.
参考答案
1．【答案】C
【详解】由分类加法计数原理知，不同的选法种数为.
故选C.
2．【答案】B
【详解】由题得.
故选B.
3．【答案】D
【详解】,直线的斜率为-a.所以a=-2, 故选D.
4．【答案】A
【详解】因且，表示80个连续正整数的乘积，
其中最大因数为，最小因数为，由排列数公式的意义得结果为，
所以.
故选A.
5．【答案】A
【详解】解：由题意得，
若函数有极值，则，
解得，
故选A．
6．【答案】A
【详解】根据题意，，，
又，
所以是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D；
又，排除C，
故选A.
7．【答案】 A
【详解】 由题意得0＜x≤8且0＜x－1≤9，所以1＜x≤8，因为3 A8x ＝4 A9x-1 ，所以 3×8！8-x！ ＝ 4×9！10-x！ ，整理得x2－19x＋78＝0，解得x＝6或x＝13(舍去).
8．【答案】B
【详解】函数，求导得，
由在区间上单调递增，得，，
而对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，因此，
所以实数k的取值范围为.
故选B.
9．【答案】BC
【详解】从导函数图像可以看出函数在上为单调减函数；
在上为增函数，故A错B对，C对D错.
故选BC.
10．【答案】ABC
【详解】用到这个数字组成没有重复数字的三位数，
若不考虑最高位是否为，则有个，又最高位不能为，故当最高位为时有个，
故可以组成没有重复数字的三位数的个，故C正确；
首先排最高位，有种，再排十位、个位，有种，故共有个没有重复数字的三位数，故B正确；
若选到的数字没有，则有个，若选到的数字有，先排，有种方法，
再从其余个数字选个排到其余位置，故有个，
综上可得共有个没有重复数字的三位数，故C正确；
故选ABC.
11．【答案】BC
【详解】的定义域为，所以，A错误；
由题意可得，令解得，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
因为在区间上不单调，所以，即，
选项B：当时，，正确；
选项C：当时，，
所以，正确；
选项D：当时，，错误；
故选BC.
12．【答案】
【详解】由题得，
所以函数在点处的切线方程的斜率为.
13．【答案】24
【详解】解析过程略
14．【答案】21
【详解】函数，求导得，于是函数的图像在点处的切线斜率为，
切线方程为，而，令，得，又，
因此数列是等比数列，公比为，，
所以.
15．【答案】(1)
(2)或
【详解】（1），则，
所以，得.
（2）由(1)可得，，
设切点为，所以切线的斜率为，又因为，
所以直线l的方程为：
将代入上式并整理，可得，由此可解得或，
因此，切点为或，切线方程为或，
即l的方程为或.
16．【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1），，且，
所以曲线在处的切线为，
则，得，
因为直线与曲线相切，
所以，得（舍），或；
（2）的定义域为，
，
因为，令，得或，
当时，，
所以当和时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减增，
当时，，
所以当和时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减增，
当时，，当时取等号，函数在上单调递增，
综上所述，时，的单调增区间为，，
单调减区间为，
时，的单调增区间为，没有减区间，
时，的单调增区间为，，单调减区间为.
17．【答案】(1)的单调递减区间是，单调递增区间是
(2)
【详解】（1）当时，函数的定义域是，，
令，得，解得，故的单调递减区间是，
令，得，解得，故的单调递增区间是，
综上，的单调递减区间是，单调递增区间是.
（2）由任意，知恒成立.
因，故，在上恒成立.
设，则，
令，得，（舍去），
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故当时，取得极大值，也是最大值，且，
所以若在上恒成立，则，
故实数的取值范围是.
18．【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
方法二：
令，则，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
又，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，则，当且仅当时，等号成立，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以要证，即证，即证，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
【方法总结】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1 通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2 利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3 根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
19．【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，.
设切点，则
消得，解得，代入得.
（2）方法一：因为，
所以，
①当时，设，则，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以.
又-axe，故恒成立，所以成立.
②当时，，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增.
故，解得，又，所以，
综上所述，的取值范围为.
方法二：因为恒成立，
又，所以上式等价于恒成立.
记，则，
设，则.
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增.
所以.
所以当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增.
所以.
故的取值范围为.
方法三：因为恒成立，
又，所以上式等价于恒成立.
记，则，
所以当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.所以.
令，则，则恒成立.
记，则，
所以在上单调递增，所以，所以.
故的取值范围为.
（3）方法一：因为有两个零点，不妨设，
则，
即，即，
令，则，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以.
令，则单调递增，
又，所以，即.
由的单调性可知.
思路一：构造函数.
则，
故在上单调递减，
又，所以，则，即，
又，所以，
又在上单调递增，所以.
故.
思路二：要证，即证，即证.
令，即证.
构造函数.
则，
故在内单调递减，则，即.
故.
思路三：因为，即，
令，则
即
要证，即证，
即证，即证，
下同思路一，略.
方法二：因为有两个零点，不妨设，
则，
即.
令，则，
所以当时，单调递减；当时，单调递增.
所以.
令，则单调递增，
又，所以，即
由的单调性可知.
思路一：构造函数.
则
，
令，则，
所以当时，单调递减，
所以当时，，则，所以，
故在上单调递减，又，所以，则，即，
又，所以，
又在上单调递增，所以.
故.
思路二：因为，所以，
即，
令，要证，即证，
即证.
构造函数.
则，
故在上单调递减，则.
故.
注：要证明，即证，构造函数.
则，
故在上单调递减，则.故.
思路三：令，则即.
要证，即证，即证.
下同思路二，略.
思路四：对两边取对数，得，下面同方法一.A．6
B．13
C．6或13
D．12