山东省菏泽国花学校2024−2025学年高二下学期第一次质量检测 数学试卷（含解析）

这是一份山东省菏泽国花学校2024−2025学年高二下学期第一次质量检测 数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（ ）
A．种B．种C．种D．种
2．向高为的容器中注水，且任意相等的时间间隔内所注入的水体积相等，若容器内水面的高度与注水时间的函数关系的图象如图所示，则该容器的形状可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．某中学进行数学竞赛选拔考试，，，，，共5名同学参加比赛，决出第1名到第5名的名次.和去向教练询问比赛结果，教练对说：“你和都没有得到冠军．”对说：“你不是最后一名.”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（ ）
A．54种B．72种C．96种D．120种
5．已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．某校高三年级有8名同学计划高考后前往武功山､黄山､庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生A不去同一处景点游玩，女生与女生去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为（ ）
A．564B．484
C．386D．640
7．已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若与的图象有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法
D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法
10．已知函数，则（ ）
A．的定义域是
B．曲线在点处的切线方程是
C．
D．有两个不同的解，且
11．已知且，则函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知可导函数，定义域均为，对任意满足，且，求 .
13．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为 ．
14．在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．求值：
（1）
（2）
（3）解方程：．
16．已知函数的图象过点，且在点P处的切线恰好与直线垂直．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围．
17．已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围．
18．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.
（1）若曲线与在处的曲率分别为，，比较，大小；
（2）求正弦曲线曲率的最大值.
19．函数.
（1）若均有极值且极值互为相反数，求的值；
（2）若有两个零点，求证：当时，.
参考答案
1．【答案】A
【详解】由题可知，每名同学都有3种选法，故不同的选购方式有种，经检验只有A选项符合.
故选A
2．【答案】C
【详解】根据函数图象可知，随着注水时间的增大，在相等时间间隔内容器内水面的高度的增加量越来越大，即的变化率逐渐增大，
故该容器从下到上宽度应逐渐减小，选项C中容器符合要求.
故选C.
3．【答案】C
【详解】解：过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小.
设切点为，，
所以，切线斜率为，
由题知得或（舍），
所以，，此时点到直线距离.
故选C
4．【答案】A
【详解】根据题意可知和都没有得到冠军，且不是最后一名，分两种情况：
①是最后一名，则可以为第二、三、四名，即有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，
有种情况，此时有种名次排列情况；
②不是最后一名，，需要排在第二、三、四名，有种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，此时有种名次排列情况，则5人的名次排列方式共有种.
故选A．
5．【答案】B
【详解】由题意可知，时，对两边分别求导，可知，令，得，求切线方程即可.
【详解】
即
令
则即
即
曲线在点处的切线方程为，即
故选B
6．【答案】A
【详解】8人分三组可分为2人，2人，4人和2人，3人，3人，共两种情况.
第一种情况分成2人，2人，4人：女生去同一处景点，当成2人组时，
其他6人分成2人，4人两组且男生甲与女生A不同组，有种方法；
当在4人组时，有种方法，
第二种情况分成2人，3人，3人：当成2人组时，有种方法；
当在3人组时，有种方法，
故这8名同学游玩行程的方法数为.
故选A.
7．【答案】C
【分析】构造函数，求导，分离参数求最值即可.
【详解】不等式等价于，
令，根据题意对任意的，
当时，，所以函数在上单调递减，
所以在上恒成立，
即在上恒成立.
令，则，
所以当时，，单调递增，
当时，单调递减.所以，所以.
故选C.
【方法总结】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
（1）恒成立；
（2）恒成立.
8．【答案】D
【详解】由题设在上有两个实根，
即在上有两个实根，
所以与在上有两个交点，
由，令，则，
所以在上单调递减，，，
所以使，即，，
在上，单调递增，
在上，单调递减，
根据解析式易知趋向0或时，均趋向于，
且，
综上，只需.
故选D
9．【答案】ABC
【详解】A：6门中选2门共有种选法，故A正确；
B：课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有种排法，然后全排列有种排法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有种，故B正确；
C：课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，先排剩下的三门课程有种排法，然后利用插空法排课程“御”“书”“数”有种排法，根据分步乘法计数原理，得共有种排法，故C正确；
D：分2种情况讨论：若先把“礼”排在最后一周，再排“数”，有种排法，若先把“礼”不排在最后一周，再排“数”，有种排法，所以，共有种排法，故D错误.
故选ABC.
10．【答案】ABD
【详解】由解析式知，故函数的定义域为，A对；
由且，则，
所以曲线在点处的切线方程，
则，B对；
，C错；
令，则，
所以在上都单调递增，
在区间上，时趋向，时趋向，故该区间存在一个零点，
在区间上，时趋向，时趋向，故该区间存在一个零点，
所以在定义域内存在两个不同零点，分别位于、内，
若零点，则，且，即，
此时，
所以是的一个零点，即，故，D对.
故选ABD
11．【答案】BCD
【详解】由，求导可得，易知函数在单调递增，
令，求导可得在上恒成立，
则在上单调递增，所以，
易知，使得，则，即，
当时，，则函数在上单调递减；
当时，，则函数在上单调递增，
所以，由，则，
当，即时，，故A错误，B可能正确；
当，即时，令，求导可得，
则函数在上单调递减.
由，,则存在，使得，
所以当时，此时符号不定，故CD可能正确.
故选BCD.
12．【答案】
【详解】由题意可知，令，则，解得，
由，得，即，
令，得，即，
解得.
13．【答案】
【详解】因为，
所以，
因为函数在区间上单调递增，
所以在上恒成立，
即时，恒成立，
因为，当且仅当时等号成立，
即，所以.
14．【答案】24 112
【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，
则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，
第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，
所以共有种选法；
每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字，
则所有的可能结果为：
，
，
，
，
所以选中的方格中，的4个数之和最大，为.
15．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）.
（2）
.
（3）由，得，
即，
即，
而由，知，解得，
所以原方程的解为.
16．【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）因为函数的图象过点,所以,
又因为,且点P处的切线恰好与直线垂直,
所以,
由解得,所以.
（2）由(1)知，
令，即，解得或，
令，即，解得，
所以在单调递增，单调递减，
单调递增，
根据函数在区间上单调递增，
则有或，解得或.
17．【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为
（2）
【详解】（1）当时，，
∴，由，得，由，得，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为；
（2）原条件等价于：在上存在实数解．
化为在上存在实数解，
令，
则，
∴在上，，得，故在上单调递增，
∴的最小值为，
∴时，不等式在上存在实数解．
18．【答案】（1）
（2）1
【详解】（1），，，，
所以，
，，，，
，
所以；
（2），，所以，
，
令，，则，
设，则，
显然当时，，递减，所以.
最大值为1，
所以的最大值为1.
19．【答案】（1）1
（2）证明见解析
【详解】（1）
①当时，由知，从而
在分别递增、递减，无极值，不符合题意；
②当时，令得，当时，递减；
当时，递增，故有极小值
当时，令得，当时，递减；
当时，递增，故有极小值
，故.
（2）由（1）知，时在递增，不可能有两个零点，故
，所以，
故只需证.
由已知，设，则，两式相减得
，
要证只需证，
不妨设，即证
设，即证，令
则，故在递增，
，故当时，.