广东省清远市清新区第一中学2024−2025学年高二下学期3月月考数学试题（含解析）

这是一份广东省清远市清新区第一中学2024−2025学年高二下学期3月月考数学试题（含解析），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知函数，则（ ）.
A．B．3C．D．9
2．已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函数，则在下列区间上，单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
5．用0，1，…，9十个数字，可以组成无重复数字的三位数的个数为（ ）
A．652B．648C．504D．562
6．已知，则（ ）
A．B．0C．1D．2
7．现有3名同学站成一排，再将甲、乙2名同学加入排列，保持原来3名同学顺序不变，不同的方法共有（ ）
A．12种B．20种C．6种D．8种
8．如图，某仿古双层编钟模型摆件由9枚大小不同的编钟组成，若将这9枚编钟重新悬挂，上层4枚，下层5枚，且要求每层编钟左边都比右边的大，则不同的悬挂方法有（ ）
A．种B．种C．种D．种
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列求导运算正确的是（ ）
A．若，则B．
C．D．
10．判断下列命题正确的是（ ）
A．函数的极小值一定比极大值小．
B．对于可导函数，若，则为函数的一个极值点．
C．函数在内单调，则函数在内一定没有极值．
D．三次函数在R上可能不存在极值．
11．有4位同学参加三个不同的社团，则下列说法正确的是（ ）
A．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
B．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
C．每个社团限报一人且不同社团参加的人不同，则不同的报名方法共有24种
D．每个社团限报一人且不同社团参加的人不同，则不同的报名方法共有33种
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数的图象在点处的切线方程是，则 ．
13．有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法有 种．
14．在二项式的展开式中，含的项的系数是
四、解答题（本大题共5小题）
15．4名男生和3名女生站成一排．
(1)甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？
(2)甲、乙相邻且与丙不相邻的站法有几种？
(3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
16．在的展开式中，第3项的二项式系数为28．
（1）求及第5项的系数；
（2）求展开式中的有理项．
17．已知函数在处取得极值．
(1)求实数的值；
(2)求函数在区间上的最小值．
18．某餐饮公司给学校学生配餐，现准备了种不同的荤菜和种不同的素菜.
(1)当时，若每份学生餐有荤素，共有多少种不同的配餐供学生选择？
(2)若每位学生可以任选荤素，要保证至少有种以上的不同选择，求的最小值.
19．已知函数．
(1)若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值；
(2)求函数的单调区间．
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为函数，所以.
故选C.
2．【答案】B
【详解】因为，所以，
而，解得.
故选B.
3．【答案】A
【详解】由函数的图像可知，
当时，单调递增，
，，.
随着的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的，
.
故选A.
4．【答案】B
【详解】因为，所以，
令，则，
根据四个选项，可知
则，所以，所以，
所以的单调递增区间为，
因为，所以为函数的一个单调递增区间.
故选B.
5．【答案】B
【详解】用0，1，…，9十个数字，
先取百位数有9种情况，因为无重复数字再取十位数有9种情况，最后个位数字有8种情况。
所以可以组成无重复数字的三位数的个数为.
故选B.
6．【答案】B
【详解】令，则，即．
故选B.
7．【答案】B
【详解】原来名同学站成一排，有个空位可以插入甲同学，所以甲同学有种不同的排法.
当甲同学插入后，此时包括原来名同学和甲同学一共有个人，
这个人形成了个空位，所以乙同学有种不同的排法.
故完成将甲、乙名同学加入排列这件事，分两步：
第一步甲同学有种排法，第二步乙同学有种排法，
那么根据分步乘法计数原理，不同的方法共有（种）.
故选B.
8．【答案】A
【详解】9枚任选4枚放上层，有种，
又因为每层编钟左边都比右边的大，则上下排法均只有1种，
所以不同的悬挂方法有种.
故选A.
9．【答案】AC
【详解】对于A，若，则，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选AC.
10．【答案】CD
【详解】对于A选项，根据极值定义，函数的极小值不一定比极大值小，则A选项错误；
对于B选项，若或恒成立，则无极值点，此时导函数的零点为函数拐点，则B选项错误；
对于C选项，在内单调，因为区间为开区间，所以取不到极值，则C选项正确；
对于D选项，三次函数求导以后为二次函数，若或恒成立，则无极值点，故D选项正确；
故选CD.
11．【答案】AC
【详解】对于选项A，B，每位同学报一种社团，可以有3种选择，那么4个人可以报名的方法共有，故A对，B错；
对于选项C，D，每个社团限报一人且不同社团参加的人不同，则种，故C对，D错.
故选AC.
12．【答案】2
【详解】由已知得，，
.
13．【答案】48
【详解】先从四对双胞胎中选出一对，有种选择，
然后从剩下的六个人中选出两个人，且不能是同一对双胞胎，
这相当于从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一个人，共有种选择，
根据乘法原理，总共有种选法.
14．【答案】10
【详解】由已知，令，，
∴含的项的系数是．
15．【答案】(1)240种
(2)960种
(3)840种
【详解】（1）（种）
甲、乙两人必须站在两端的站法有240种．
（2）（种）
甲、乙相邻且与丙不相邻的站法有960种．
（3）（种）
甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有840种．
16．【答案】（1），第5项系数为1120；（2）有理项共三项，分别为，，．
【详解】（1）第3项的二项式系数为，
得，
解得，
第5项的系数是．
（2），
当时，，
当时，，
当时，；
所以有理项共三项，分别为，，．
17．【答案】(1)3；
(2)⋅
【分析】(1)求出函数的导数，根据函数在处取得极值，求出的值；再根据函数导数验证函数的极值；
(2)利用导数判断函数在上的单调性，求出最值.
【详解】(1)由题意得的定义域，且
因为函数在处取值得极值，所以
解得
此时，，
令得或，令得，
故函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意；
所以．
(2)由(1)得，，
令，得，所以函数在单调递增，
令，得，所以函数在单调递减，
所以函数在处取极小值，
所以当时，的最小值为.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，学校共有种不同的荤菜和种不同的素菜，
若每份学生餐有荤素，由分步乘法计数原理可知，
不同的选择方法为（种）.
（2）从种不同的荤菜和种不同的素菜中，任取荤素，不同的选择方法为（种）.
由题意，得，整理可得，
因为，所以，所以的最小值为.
19．【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）先求函数的导函数，若曲线在点处的切线平行于轴，只需保证，求实数的值即可；
（2）求得有两个根“和”，再分、和三种情况分析函数的单调性即可.
【详解】（1）由题可得，
因为在点处的切线平行于轴，所以，
即，解得，经检验符合题意．
（2）因为，
令，得或．
当时，随的变化，，的变化情况如下表所示：
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
当时，因为，当且仅当时，，
所以在区间上单调递增．
当时，随的变化，，的变化情况如下表所示：
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
综上所述，
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．单调递增
单调递减
单调递增
单调递增
单调递减
单调递增