广东省东莞市麻涌中学2024−2025学年高二下学期第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份广东省东莞市麻涌中学2024−2025学年高二下学期第一次月考数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题，多选题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共2小题）
1．已知函数在处可导，且则（ ）
A．B．C．D．2
2．已知函数，是的导函数，若，则
A．B．C．D．
二、解答题（本大题共5小题）
3．有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建时，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．曲线的曲率定义如下：记为的导函数，为的导函数，则曲线在点处的曲率为．
(1)已知函数，求曲线在点处的曲率；
(2)求反比例函数曲率的平方的最大值.
(3)已知函数，求曲线的曲率的范围．
4．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：当时，；
(3)若对恒成立，求实数k的最大值．
5．设函数．
（1）求该函数的单调区间；
（2）若当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．
6．已知函数．
(1)求的极值；
(2)求在区间上的最大值与最小值.
7．某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地．
(1)推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？
(2)每班选1人为小组长，有多少种不同的选法？
(3)从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？
三、填空题（本大题共3小题）
8．已知函数，若关于x的方程有3个不等实根.则实数a的取值范围为 .
9．将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有 种不同的涂色方法．
10． ．
四、多选题（本大题共3小题）
11．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．若是函数的导数，则
C．对任意都有，则
D．设在定义域上有两个不同的极值点，则
12．现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A，B，C，D，E五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ）
A．所有可能的安排方法有125种
B．若A 医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种
C．若专家甲必须去A 医院，则不同的安排方法有16种
D．若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种
13．下列求导运算错误的是（ ）
A．B．=
C．D．
五、单选题（本大题共6小题）
14．若直线与曲线和曲线同时相切，则（ ）
A．B．C．D．
15．若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
16．已知函数在处有极大值，则c的值为（ ）
A．2B．6C．2或6D．0
17．函数的导函数的图象如图，函数的一个单调递减区间是（ ）
A．B．
C．D．
18．某校开设A类选修课3门，类选修课5门，一位同学要从两类选修课中各选2门，则不同的选法共有( )
A．15种B．30种C．45种D．90种
19．设，则的递减区间为（ ）．
A．B．
C．，D．
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为函数在处可导，且，
所以.
故选A．
2．【答案】C
【详解】依题意，故，解得.故选C.
3．【答案】(1)8；
(2)1；
(3).
【详解】（1）因为，所以，，
故，，由曲率公式得;
（2）由，，则，，
当且仅当即时，等号成立.
故反比例函数曲率的平方的最大值为
（3）因为，所以，，
由曲率公式得，
故，
则，
令，令，
函数化为，令，
则，函数化为，对进行变形，
得到，
令，函数化为，此时，我们研究的范围即可，
而，
当时，恒成立，故在上单调递增，
而，
，故，即，故.
4．【答案】(1)
(2)见详解
(3)见详解
【详解】（1）
，即切线的斜率为，又因为
所以切线方程为：，即.
（2）令，则，
当时，设，则
所以在单调递减，
即，所以
所以在上单调递减，所以，
所以.
（3）原题等价于对恒成立，
即对恒成立，
令，则.
易知，即在单调递增，
所以，所以，
故在单调递减，所以.
综上所述，的最大值为 .
5．【答案】（1）单调递增区间为（﹣∞，﹣2），（0，+∞），单调减区间为（﹣2，0）；
（2）m＞2e2．
【详解】（1）∵，
∴f′（x）＝xexx2exexx（x+2），
令f′（x）＞0，解得x＞0或x＜﹣2，
令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜0，
∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2），（0，+∞），单调减区间为（﹣2，0）；
（2）∵当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，
∴m＞f（x）max，
由（1）可知，f′（x）＝xexx2exexx（x+2），
令f′（x）＝0，可得x＝﹣2或x＝0，
∵f（﹣2），f（0）＝0，f（2）＝2e2，
∴f（x）max＝2e2，
∴m＞2e2，
∴实数m的取值范围为m＞2e2．
6．【答案】(1)极大值是，极小值是
(2)最大值为2，最小值为
【详解】（1）∵，
∴，
故的极大值是，极小值是；
（2）由（1）知：
即函数在区间,上的最大值为2，最小值为.
7．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）第一类是从一班的8名优秀团员中产生，
有8种不同的选法，第二类是从二班的10名优秀团员中产生，
有10种不同的选法，第三类是从三班的6名优秀团员中产生，
有6种不同的选法，种不同的选法；
（2）第一步从一班的8名优秀团员中选1名小组长，
有8种不同的选法，第二步从二班的10名优秀团员中选1名小组长，
有10种不同的选法，第三步是从三班的6名优秀团员中选1名小组长，
有6种不同的选法，共有种不同的选法；
（3）每一类又分两步，第一类是从一班、二班的优秀团员中各选1人，
有种不同的选法，
第二类是从二班、三班的优秀团员中各选1人，
有种不同的选法，
第三类是从一班、三班的优秀团员中各选1人，
有种不同的选法，共有种不同的选法.
8．【答案】
【详解】当时，，则，
令，则，令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则，且当时，，
又时，，则函数图象如图，

关于x的方程有3个不等实根，即函数与直线有3个交点，
由图象可知，即实数a的取值范围为.
9．【答案】260
【详解】如图所示，将4个小方格依次编号为1，2，3，4，第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法，第2个、第3个小方格涂色可分两类：
第1类，当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有种不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有种不同的涂法；
第2类，当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有种不同的涂法．
由分类加法计数原理可得共有种不同的涂法．
10．【答案】
【详解】因.
11．【答案】BCD
【详解】对于函数，定义域为，所以，
对于A，当时，，则单调递减，
所以当时，，即，所以A错误；
对于B，令，则，
当时，，则单调递增；当时，，则单调递减，
所以，即，所以B正确；
对于C，由题可得，对于任意，恒成立，
令，，则，且，
于是，解得，所以C正确；
对于D，，，则，
令，得，
由题可知有两个不同的极值点，
所以直线与函数的图象有两个不同的交点，
对求导得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数有最大值，
且当时，，当时，，

所以，由题可知，，
不妨设，则，要证明，只需要证明，
即证，也就是证明，
令，，，，
则，即在上单调递增，
又，所以，所以，即，所以D正确，
故选BCD.
12．【答案】AB
【详解】对于A，每名专家有5种选择方法，则所有可能的安排方法有种，A正确；
对于B，由选项A知，所有可能的方法有种，A 医院没有专家去的方法有种，
所以A 医院必须有专家去的不同的安排方法有种，B正确；
对于C，专家甲必须去A 医院，则专家乙、丙的安排方法有种，C错误；
对于D，三名专家所选医院各不相同的安排方法有种，D错误．
故选AB.
13．【答案】ABD
【详解】因为0，所以A不正确；
因为=，所以B不正确；
因为，所以C正确；
因为，所以D不正确．
故选ABD
14．【答案】A
【详解】设直线直线与曲线相切于，
与曲线相切于点，
曲线，其导数，则有，
则在点处切线的方程为，
即，曲线，其导数，则有，
则在处切线的方程为，即，
则有，则有，
又由，则有，则，
则；
故选A．
15．【答案】B
【详解】由题意得，
在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
又函数在上单调递增，得，
所以，即实数的取值范围是.
故选B
16．【答案】B
【详解】函数，求导得，
依题意，，解得或，
当时，，当时，，当时，，
函数在处取得极小值，不符合题意；
当时，，当时，，当时，，
函数在处取得极大值，符合题意，
所以.
故选B
17．【答案】B
【详解】解：由图象可知，当，，时，，
当时，，
函数在上单调递减，在，，上单调递增，
函数的一个单调递减区间是.
故选B．
18．【答案】B
【详解】从A类选修课中选两门有种选法，从类选修课中选两门有种选法，
因此，共有种选法.
故选B.
19．【答案】B
【详解】函数的定义域为，
则，
由题意，，
得，
解得，∵，
∴不等式的解为，
故选B．x
1
3
+
0
-
0
+
单调递增
极大值2
单调递减
极小值
单调递增
x
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+
0
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单调递增
极大值2
单调递减
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