广东省东莞市万江中学2024-2025学年高二下学期第一次月考 数学试卷（含解析）

这是一份广东省东莞市万江中学2024-2025学年高二下学期第一次月考 数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 从数字1，2，3，4，5，6中取两个数相加，所得的和共有（ ）个不同的偶数
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据所取两个数的特征，利用分类和分步计数原理，即可求解.
【详解】六个数中，1，3，5是奇数，2，4，6是偶数，两个数相加，所得和为偶数，
则所取得两个数都为偶数，或者两个数都为奇数，则和为偶数共有个，
其中，，
综上所知，所得的和共有4个不同的偶数.
故选：B.
2. 设是等比数列的前n项和，且a3=，S3=，则（ ）
A. B. 6C. 或6D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用等比数列公式计算得到答案.
【详解】当时，此时，验证，满足；
当时，，，解得，.
综上所述：或.
故选：C.
【点睛】本题考查了等比数列相关知识，意在考查学生的计算能力和应用能力，漏解是容易发生的错误.
3. 已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用焦点坐标和离心率求得，由此求得椭圆的方程.
【详解】依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，
且，
因此椭圆的方程是.
故选：C
4. 已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【详解】本试题主要考查双曲线的定义，考查余弦定理的应用．由双曲线的定义得①,又,由余弦定理②，由①2-②得，故选B．
5. 设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.
【详解】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，
与抛物线方程联立，消元整理得：，
解得，又，
所以，
从而可以求得，故选D.
【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.
6. 已知是两个非零向量，其夹角为，若，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由可得，再由两边平方可得，代入公式可得答案.
【详解】由，得，可得，即.
由，可得，即
整理得
故选：B
【点睛】本题考查向量数量积的运算性质，求向量的夹角的余弦值，将向量模长平方转化为数量积运算是解决本题的关键，属于中档题.
7. 曲线上的任意一点处切线的斜率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数的几何意义结合二次函数的基本性质可求得切线的斜率的取值范围.
【详解】因为，则，当且仅当时，等号成立，
因此，曲线上的任意一点处切线的斜率的取值范围是.
故选：D.
8. 已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为．若函数，且，，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】因为且，即在是增函数，得出，而在不是增函数，利用导数得出，进而得到答案．
【详解】因为且，即在是增函数，
所以，
而在不是增函数，而，
所以当是增函数时，有，当不是增函数时，有，
综上所述，可得的取值范围是，故选C．
【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，以及利用导数判定函数的单调性的应用，其中正确理解题意，合理转化是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力，属于中档试题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. 是函数的极小值点
B. 是函数的极小值点
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数在处切线的斜率小于零
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据导函数图象，求得函数单调性，结合极值点定义，即可容易判断选择.
【详解】由图象得时，，时，，
故在单调递减，在单调递增，
故是函数的极小值点.
对选项：显然，故错误.
故选：BC．
【点睛】本题考查由导数涵图象研究函数性质，属基础题.
10. 已知函数，其中正确结论的是（ ）
A. 当时，有最大值；
B. 对于任意的，函数是上的增函数；
C. 对于任意的，函数一定存在最小值；
D. 对于任意的，都有.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用导数研究函数的性质即可.
【详解】，
当时，，函数，都是单调递增函数，
易知函数在上单调递增，无最大值，故A错误；
对于任意的，函数，都是单调递增函数，
则函数是上的增函数，故B正确；
当时，，，故，D错误；
对于任意的，，易知在单调递增，
当时，，当时，，
∴存在，当时，，函数单调递减，
，，函数单调递增，∴，故C正确，
故选：
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，导数研究函数的最值，对数的运算法则及其应用等知识，属于中档题.
11. 已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的是（ ）
A. 数列是等差数列
B. 数列是等比数列
C. 数列的通项公式为
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】借助，结合等比数列定义可得A、B；由等比数列性质可得C；裂项求和后可得D.
【详解】对A、B：由，则，
故，又，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，故A错误、B正确；
对C：，则，故C正确；
对D：，
则，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 学校二楼饭堂有牛扒饭，鸡扒饭和鳗鱼饭三种套餐，甲、乙、丙三位同学从中各选一种，共有________种不同的选法.
【答案】27
【解析】
【分析】根据分步乘法计数原理即可求解.
【详解】每位同学都有三种选择，所以共有种选法，
故答案为：27
13. 设P是函数图象上的动点，则P到直线的距离的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
当过点的切线平行于直线时距离最小,则先求导可得,令,可求得,代回求得点坐标,再利用点到直线距离公式求解即可
【详解】由题,,设,
令,则,即,则此时点到直线的距离最小,为,
故答案为：
【点睛】本题考查导数的几何意义的应用,考查转化思想
14. 已知函数导函数为，记，，，，若，则________.
【答案】
【解析】
【分析】本题可先根据求导公式求出、、、等，找出其规律，再根据规律求出与，进而求出的值.
【详解】已知，可得，即.
对求导，可得
对求导，可得.
对求导，可得.
对求导，可得.
通过以上计算可发现规律：，，，（）.
因为，所以.
因为，所以.
可得：.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程；
（2）根据极值点求得，再应用导数研究函数的单调区间和最值即可.
【小问1详解】
当时，，则，
∴，则在点处的切线方程为；
【小问2详解】
因为，
由题意，解得，检验符合，
故，列表如下：
所以，函数的增区间为、，减区间为．
由解析式易知，当时；当时，且，
所以．
综上，的增区间为、，减区间为，.
16. 如图，在三棱柱中，平面ABC，，D是的中点．
（1）求平面与平面ABC夹角的余弦值；
（2）在直线CD上是否存在一点P，使得BP与平面所成角的正弦值为，若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，或．
【解析】
【分析】（1）根据题设构建空间直角坐标系，求出面ABC、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求面面角的余弦值；
（2）设，得，结合面法向量，及线面角正弦值，应用空间向量夹角坐标表示列方程求参数，即可判断存在性并求长度.
【小问1详解】
因为平面ABC，平面ABC，则，，
以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以平面ABC的一个法向量为，
设平面的法向量为，而，
所以，即，令，则，故，
所以，又平面与平面ABC夹角为锐角，
所以平面与平面ABC夹角的余弦值为；
【小问2详解】
假设存在点P，
设，，
设BP与平面所成的角为，由（1）知，平面的法向量为，
则，
所以，解得或，
在线段CD上存在一点P，使BP与面所成角的正弦值为，此时或．
17. 已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）在坐标系中画出函数的简图（要含有必要的说明和体现必要的图象特征）；
（3）讨论方程的实数解的个数.
【答案】（1）极小值为，无极大值
（2）作图见解析 （3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）求导后，根据正负可得单调区间；根据极值点定义可求得极值；
（2）分析可知时，，由此可作出函数图象；
（3）将问题转化为与的交点个数问题，结合（2）中图象分析可得结果.
小问1详解】
因为函数定义域为，，又恒成立，
当时，；当时，；
所以，的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值.
【小问2详解】
当时，，，则恒成立，
图象如下：
【小问3详解】
方程的根的个数等价于函数与的交点个数；
结合（2）中图象可知：
当时，与有且仅有一个交点；
当时，与有两个不同交点；
当时，与有且仅有一个交点；
当时，与无交点；
综上所述：当时，方程有唯一的实数根；
当时，方程有两个不同的实数根；
当时，方程无实数根.
18. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）设函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）求导后，对a分类讨论即可求解；
（2）根据函数在上有两个零点可转化为在上有两个不相等的实数根，令，利用导数研究函数大致变化趋势求出a的范围.
【详解】（1）函数的定义域为，
所以．
当时，由，得．则的减区间为；
由，得．则的增区间为．
当时，由，得．则的减区间为；
由，得，或．则的增区间为和．
当时，，则的增区间为．
当时，由，得．则的减区间为；
由，得，或．则的增区间为和．
（2）．
在上有两个零点，即关于方程在上有两个不相等的实数根．
令，，则．
令，，则，
显然在上恒成立，故在上单调递增．
因为，所以当时，有，即，所以单调递减；
当时，有，即，所以单调递增．
因，，，
所以的取值范围是．
【点睛】关键点点睛：问题转化为方程关于方程在上有两个不相等的实数根后，需要对的极值，单调性进行分析，继续利用导数研究是解题的关键.
19. 法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为半径的圆（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长），这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆的面积为，短轴长为，作直线与椭圆交于、两点，与椭圆的蒙日圆交于、两点．
（1）已知，直线斜率为，若直线、的斜率满足，求直线的方程；
（2）若椭圆的左右焦点分别为、，直线过坐标原点．求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出椭圆的方程，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合求出的值，验证其满足，由此可得出直线的方程；
（2）设，其中，则，利用平方差公式可得出关于的表达式，利用两点间的距离公式结合椭圆方程可得出的表达式，即可证得结论成立.
【小问1详解】
由椭圆的蒙日圆的面积为，短轴长为，
由题意可得，解得，所以，椭圆的方程为.
设直线方程为，设点、，
联立方程，消去整理得，
则，解得，
由韦达定理可得，，
因为，且，所以，
所以，，
即，解得，且满足，
所以直线方程为.
【小问2详解】
因为直线与椭圆交于、两点，与椭圆的蒙日圆交于、两点，
设，其中且，
因为
，
，
同理可得，故，
因此，，证毕.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解4
0
0
增
极大值
减
极小值
增