广东省东莞市麻涌中学、塘厦中学、第七高级中学、济川中学四校联考2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份广东省东莞市麻涌中学、塘厦中学、第七高级中学、济川中学四校联考2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若复数z满足，则z的虚部等于( )
A.4B.2C.-2D.-4
2．下列说法正确的是( )
A.若，则
B.零向量的长度是0
C.长度相等的向量叫相等向量
D.共线向量是在同一条直线上的向量
3．数据68，70，80，88，89，90，96，98的第15百分位数为( )
A.70B.69C.75D.96
4．在中，若，，，则角A等于( )
A.B.C.或D.或
5．在中，D为靠近点A的三等分点，E为的中点，设，，以向量，为基底，则向量( )
A.B.C.D.
6．如图，矩形ABCD中，，正方形的边长为1，且平面平面，则异面直线BD与FC所成角的余弦值为( )
A．B.C.D.
7．西安大唐不夜城的“不倒翁小姐姐”因为一段“把手给我”的短视频而被人熟知.“不倒翁小姐姐”不倒的原因在于其脚下的半球形工具.如图，半球内有一内接正四棱锥，这个内接正四棱锥的高与半球的半径相等且体积为，那么这个半球的表面积为( )
A.B.C.D.
8．已知边长为2的菱形中，点F为上一动点，点E满足，，则的最大值为( )
A.0B.C.3D.
二、多项选择题
9．设m，n为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是( )
A.若，，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，，则
10．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口，则下列说法正确的是( )
A.B.
C.在上的投影向量为D.
11．如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G为线段上一个动点，则( )
A.存在点G，使直线平面
B.存在点G，使平面平面
C.三棱锥的体积为定值
D.平面截正方体所得截面的最大面积为
三、填空题
12．已知复数z满足，则________.
13．相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度AB，一研究小组选取了与该楼底部B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，在C点处测得该楼顶端A的仰角为，则该楼的高度AB为________m.
14．如图，在棱长为3的正方体中，M在线段上，且，N是侧面上一点，且平面，则线段的最大值为________.
四、解答题
15．已知，，与的夹角是.
(1)计算；
(2)当k为何值时，?
16．锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求C；
(2)若，边上的中线长为，求的面积S.
17．如图，已知等腰梯形中，，，E是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面.
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成的角.
18．已知，是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点O作，，以O为原点，分别以射线、为x、y轴的正半轴，建立平面坐标系，如左图.我们把这个由基底，确定的坐标系称为基底坐标系.当向量，不垂直时，坐标系就是平面斜坐标系，简记为.对平面内任一点P，连结OP，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对，使得，则称实数对为点Р在斜坐标系中的坐标.
今有斜坐标系（长度单位为米，如右图），且，，设
(1)计算的大小；
(2)质点甲在上距O点4米的点A处，质点乙在Oy上距O点1米的点B处，现在甲沿的方向，乙沿的方向同时以3米/小时的速度移动.
①若过2小时后质点甲到达C点，质点乙到达D点，请用，，表示；
②若t时刻，质点甲到达M点，质点乙到达N点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离.
19．如图，在三棱锥中，底面，，H为的中点，M为的中点，，.
(1)求证：；
(2)求点C到平面的距离；
(3)在线段上是否存在点N，使平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：若复数z满足，则
，
所以z的虚部等于-2.
故选：C.
2．答案：B
解析：A：仅表示与的大小相等，但是方向不确定，
故未必成立，所以A错误；
B：根据零向量的定义可判断B正确；
C：长度相等的向量方向不一定相同，故C错误；
D：共线向量不一定在同一条直线上，也可平行，故D错误.
故选：B.
3．答案：A
解析：因为，根据百分位数的定义可知，该数学成绩的分位数为第2个数据70.
故选：A．
4．答案：B
解析：由正弦定理得：，即，
解得：，
因为，，，由大角对大边得：.
故选：B
5．答案：D
解析：由图形可知：
故选：D.
6．答案：A
解析：取AF的中点G，连接AC交BD于O点，如图所示，

则，且，异面直线与所成角即直线与所成角，
由平面平面，，平面平面，
平面知，平面，又平面，
所以，，由题易知，
所以，则，，
，则在中，由余弦定理知，
，
由两直线夹角取值范围为，则直线与所成角即异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A
7．答案：D
解析：设半球的半径为R，连接，交于点O，连接，
则，则，
内接正四棱锥的高与半球的半径相等且体积为，
四棱锥的体积，所以，
所以这个半球的表面积.
故选：D.
8．答案：C
解析：由，可得，
设，
可得
，所以，
因为，所以，
以与交点O为原点，以，所在的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，
设，且，则，，，
当时，.
故选：C.
9．答案：BD
解析：解：对A：若，，则或m与n相交或m与n异面，故选项A错误；
对B：若，，则，故选项B正确；
对C：若，，则或与相交，故选项C正确；
对D：若，，，则，故选项D正确.
故选：BD.
10．答案：BCD
解析：对于A中，根据平面向量的运算法则，可得，所以A不正确；
对于B中，由平面向量的数量积的运算公式，可得，
在正六边形中，可得，所以，
所以，所以B正确；
对于C中，因为，且，
所以，所以，
所以向量在向量上的投影向量为，所以C正确；
对于D中，在正六边形中，可得，直线平分角，
且为等边三角形，可得与向量共线且方向相同，
在，中，可得，且两三角形均为直角三角形，
所以，，则，
又由，所以，所以，所以D正确.
故选：BCD.
11．答案：ACD
解析：对于A项，如图所示，
取、的中点H、I，连接HI交于G点，此时，由正方体的性质可得，，所以平面，故A正确；
对于B项，如图所示，连接，H为侧面的中心，则面与面和面分别交于线PG、DH，
若存在G点使平面平面，则，又，
则四边形为平行四边形，即，而，
此时G应在延长线上，故B错误；
对于C项，随着G移动但G到面的距离始终不变即，
故是定值，即C正确；
对于D项，若G点靠C远，如图一所示，过G作，即截面为四边形，
显然该截面在G为侧面的中心时取得最大，最大值为，
若G靠C近时，如图二所示，G作，延长EF交、延长线于M、H，连接MK、HJ交、于L、I，则截面为六边形，当KG为中点时取得最大值，最大值为，，即D正确；
故选：ACD
12．答案：
解析：由.
故答案为：
13．答案：
解析：在中，由正弦定理，得，
在中，().
故答案为：
14．答案：
解析：如图，
线段上取一点E，使得，在线段上取一点F，使得，连接，，，
因为，所以，，
又，所以，
因为平面，平面，所以平面，
同理，因为平面，平面，所以平面，
又，所以平面平面，因此，N在线段上.
因为，，
所以线段的最大值为.
故答案为：
15．答案：(1)；
(2)-7
解析：（1），，与的夹角是，
则，
即有；
（2）由
可得，即，
即，解得.
则当k为-7时，；
综上，（1）；（2）
16．答案：(1)；
(2).
解析：（1）因为，所以，
又
，
所以，所以，
所以或，
若，则，与为锐角三角形矛盾，舍去，
从而，则，又，所以
（2）由余弦定理，得，即①，
设的中点为D，则，两边同时平方可得：，
即：，即：②，
由①可得：，
于是：的面积.
17．答案：(1)证明见解析；
(2)30°
解析：(1)因为，E是的中点，所以，
故四边形是菱形，从而，
所以沿着翻折成后，，
又因为，
所以平面，
由题意，易知，，
所以四边形是平行四边形，故，
所以平面；
(2)因为平面，所以与平面所成的角为，
由已知条件，可知，，
所以是正三角形，所以，
所以与平面所成的角为30°
18．答案：（1）；
（2）①；
②所以小时后，两质点相距最短，最短距离为米
解析：（1）因为，，所以，
又，所以，
所以，
即的大小为
（2）①如图所示：
依题意，过2小时后质点甲到达C点（在点左边），且有，
质点乙到达D点，且有，故
②t时刻时，质点甲到达M点，质点乙到达N点，
如图所示：
，，则，
所以两质点间的距离
，
因为，所以当时，取得最小值为，
所以小时后，两质点相距最短，最短距离为米
19．答案：(1)证明见解析；
(2)；
(3)线段上当点N满足，使平面.
解析：（1）因为底面，平面，所以
又因为，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以
（2）设点C到平面的距离为d.
因为底面，，H为的中点，
所以点H到平面的距离为
又因为在中，，，.
则，
又因为底面，平面，所以，
又因为，，为的中点，
所以，
又因为由（1）知平面，平面，所以，
则.
所以，则，
则的面积为，
所以，解得
（3）线段上当点N满足，使平面
证明：取CH的中点K，连接MK，NK.
因为M为的中点，
所以由为的中位线，可得.
又因为平面，平面ABC，所以平面；
由，，可得，则，
又因为平面ABC，平面ABC，所以平面
又因为，平面，
所以平面平面，
又因为平面MNK，所以平面ABC