福建省龙岩市第三中学2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份福建省龙岩市第三中学2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．函数在处的瞬时变化率为，则（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在直三棱柱中，若，，，则 等于（ ）
A．B．
C．D．
3．下列求导运算正确的是( )
A．2x−1x+1′=1x+12B．[x+33]′=3x+32
C．3x′=3lnxD．x2csx′=−2xsinx
4．直线是曲线的一条切线，则实数的值为
A．-1B．C．D．1
5．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的个数为（ ）
（1）函数一定有三个零点； （2）函数一定有三个极值点；
（3）函数有最小值； （4）函数有最大值；
（5）函数的图象一定经过坐标原点．

A．1B．2C．3D．4
7．已知函数有两个极值点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．或
8．若图象上存在两点，关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”）若恰有两个“友情点对”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列函数在处的切线倾斜角是锐角的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A．是奇函数B．在上单调递增
C．在上单调递减D．的最大值为
11．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．，方程有解
B．若，且有极小值点，则在上单调递减
C．若且，则存在极大值和极小值
D．若，则的图象是中心对称图形
三、填空题（本大题共3小题）
12．曲线在点M(π，0)处的切线方程为 ．
13．设是奇函数的导函数，，且对任意都有，则 ，使得成立的x的取值范围是 ．
14．如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则 .

四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数
（1）求的图象在点处的切线方程；
（2）求在上的最大值与最小值.
16．已知函数.
（Ⅰ）若在处有极小值，求实数的值；
（Ⅱ）若在定义域内单调递增，求实数的取值范围．
17．某个体户计划经销两种商品，据调查统计，当投资额为万元时，在经销商品中所获得的收益分别为万元与万元，其中，．已知投资额为零时收益为零．
（1）求的值；
（2）如果该个体户准备投入万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．
18．已知函数，.
(1)判断的零点个数，并说明理由；
(2)若对任意的，总存在，使得成立，求a的取值范围.
19．已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为，则，
因为函数在处的瞬时变化率为，则，解得.
故选D.
2．【答案】C
【详解】，
又，，，
所以.
故选C.
3．【答案】B
【解析】对于A，2x−1x+1′=2x+1−2x−1x+12=3x+12，A错误；
对于B，[x+33]′=3x+32，B正确；
对于C，3x′=3xln3，C错误；
对于D，x2csx′=2xcsx−x2sinx，D错误.故选B.
4．【答案】D
【详解】切线的斜率为，令，故切点为，代入曲线方程得.
5．【答案】C
【详解】因为，定义域为，
则为奇函数，图象关于原点对称，故排除B；
由，故排除A；
，当时，可得，
当时，为增函数，故排除D.
故选C.
6．【答案】B
【详解】根据导函数的图象可知，
当时，，所以函数在上单调递减，
当时，，所以函数在上单调递增，
当时，，所以函数在上单调递减，
当时，，所以函数在上单调递增，
所以都是函数的极值点，因此（2）的说法正确；
函数的图象可能都在x轴上方，其零点个数可能是0个，即（1）的说法错误；
由以上分析知，函数的图象不一定过原点，即（5）的说法错误；
由单调性可知，和都是函数的极小值点，所以都是函数的极小值，
因此函数有最小值，且为中的较小者，无最大值，
所以（3）的说法正确，（4）的说法错误．
综上可得，只有（2）（3）的说法正确．
故选B．
7．【答案】B
【详解】，，令，即，
若函数有两个极值点，即有两个变号的正根，
即，解得：.
故选B.
8．【答案】A
【详解】根据题意，若要求“友情点对”，可把时的函数图像关于原点对称，
研究对称过去的图像和时的图像有两交点即可，
关于原点对称的解析式为，
考查的图像和的交点，
可得，，令
，
所以，，为减函数，
，，为增函数，，
其图象为，
故若要有两解，只要即可，
故选A.
9．【答案】BC
【详解】由可得，则，
故在处的切线倾斜角是钝角，A错误；
由可得，则，
故在处的切线倾斜角是锐角，B正确；
由可得，则，
故在处的切线倾斜角是锐角，C正确；
由可得，则，
故在处的切线倾斜角是钝角，D正确；
故选BC.
10．【答案】AB
【详解】,是奇函数,A选项正确;
,
,单调递增,B选项正确; 单调递减,C选项错误;
,D选项错误.
故选AB.
11．【答案】BCD
【详解】A：当，时，，此时无解，错误；
B：由，又，则开口向下，
由有极小值点，则从左侧到右侧，函数值由负变正，
综上，结合二次函数的性质知：的函数值从左到右依次由负变正，再由正变负，
所以左侧，即在上单调递减，正确；
C：中，，故必有两个不等实根，
若，当，则为极大值点，为极小值点；当，则为极小值点，为极大值点；正确；
D：，由的对称轴为，
则
，
所以关于对称，正确；
故选BCD.
12．【答案】
【详解】由函数的解析式可得：，
所求切线的斜率为：，
由于切点坐标为，故切线方程为：.
13．【答案】 3
【详解】解：∵是奇函数，∴，
设，则，，
∴在上单调递减，
由得，即，
∴，得.
14．【答案】/0.25
【详解】分别为的中点，则，

由已知三棱锥为正三棱锥，取中点为，连接，
由已知和为正三角形，则，
又，且平面，则平面，又平面
则，即，
则.
15．【答案】（1）；（2）.
【详解】（1），，
所以，函数的图象在点处的切线的斜率为，
，所以，函数的图象在点处的切线方程为，
即；
（2），.
当时，；当时，.
所以，，
因为，，
所以，，则，
所以，函数在上的最大值为.
16．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .
【详解】（Ⅰ）
依题意得，即
解得，故所求的实数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
∵在定义域内单调递增 ∴在上恒成立
即恒成立
∵时，，
∴ 所以实数的取值范围为.
17．【答案】（1）a＝2，b＝1；（2）答案见解析.
【详解】(1)由投资额为零时收益为零，
可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6ln b＝0，
解得a＝2，b＝1.
(2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln (x＋1)．
设投入经销B商品的资金为x万元(0＜x≤5)，
则投入经销A商品的资金为(5－x)万元，
设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)＝2(5－x)＋6ln (x＋1)＝6ln (x＋1)－2x＋10(0＜x≤5)．
S′(x)＝－2，令S′(x)＝0，得x＝2.
当0＜x＜2时，S′(x)＞0，函数S(x)单调递增；
当2＜x≤5时，S′(x)＜0，函数S(x)单调递减．
所以，当x＝2时，函数S(x)取得最大值，S(x)max＝S(2)＝6ln 3＋6≈12.6万元．
所以，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．
18．【答案】(1)0，理由见解析
(2)
【详解】（1），，则，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
，故函数没有零点.
（2），单调递减，故，即；
当时，恒成立，故函数单调递增，
故，即，
故，则，解得，即.
19．【答案】（1）上单调递增，上单调递减；
（2）.
【详解】（1）当时，,
令，得,当时，,当时，,
∴函数在上单调递增，在上单调递减；
（2）[方法一]【最优解】：分离参数
,设函数,
则,令，得,
在内，,单调递增；
在上，,单调递减；
,
又，当趋近于时，趋近于0，
所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,即,
所以的取值范围是.
[方法二]：构造差函数
由与直线有且仅有两个交点知，即在区间内有两个解，取对数得方程在区间内有两个解．
构造函数，则．
当时，在区间内单调递增，所以在内最多只有一个零点，不符合题意；
当时，，令，得，当时，；当时，，所以函数的递增区间为，递减区间为．
由于，
当时，有，即，由函数在内有两个零点知，所以，即．
构造函数，则，所以的递减区间为，递增区间为，所以，当且仅当时取等号，故的解为且．
所以实数a的取值范围为．
[方法三]分离法：一曲一直
曲线与有且仅有两个交点等价为在区间内有两个不相同的解．
因为，所以两边取对数得，即，问题等价为与有且仅有两个交点．
①当时，与只有一个交点，不符合题意．
②当时，取上一点在点的切线方程为，即．
当与为同一直线时有得
直线的斜率满足时，与有且仅有两个交点．
记，令，有．在区间内单调递增；在区间内单调递减；时，最大值为，所以当且时， ．
综上所述，实数a的取值范围为．
[方法四]：直接法
．
因为，由得．
当时，在区间内单调递减，不满足题意；
当时，，由得在区间内单调递增，由得在区间内单调递减．
因为，且，所以，即，即，两边取对数，得，即．
令，则，令，则，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以，所以，则的解为，所以，即．
故实数a的范围为．
【思路导引】
方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.
方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值.
方法三：将问题取对，分成与两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线斜率与一次函数的斜率比较得到结论．
方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论.