北京八十中2025年高二下学期4月月考数学（含解析）

这是一份北京八十中2025年高二下学期4月月考数学（含解析），共13页。
（考试时间90分钟 满分100分）
提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答.
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 函数在处的瞬时变化率为（ ）
A. －2B. －4C. －D. －
2. 有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相邻，不同的站法共有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
3. 函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ）

A. B.
C. D.
4. 下列命题正确的有（ ）
A. 已知函数在上可导，若，则
B. 已知函数，若，则
C.
D. 设函数的导函数为，且，则
5. 已知，若，则的取值可以为（ ）
A. 2B. 1C. D.
6. 的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（ ）
A. 第1项和第3项B. 第2项和第4项
C. 第3项和第1项D. 第4项和第2项
7. 对于上可导的任意函数，若当时满足，则必有（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②④B. ①③④C. ①②③D. ①②
10. 已知函数，下列命题正确的是（ ）
①是奇函数；
②在R上是增函数；
③方程有且仅有1个实数根；
④如果对任意，都有，那么的最大值为2.
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
二、填空题共6小题，每小题4分，共24分.
11. 已知的展开式中的系数是10，则实数的值是______
12. 若函数在处有极大值，则实数的值为______ ．
13. 将三个人随机安排到甲、乙、丙、丁这四个部门工作，已知甲部门一定有人，则不同的安排方法种数是______．
14. 现有3名女生，3名男生要站成一排，则男生甲不能站在左端，并且3名女生必须相邻的不同排列方式有__________种.（用数字作答）
15. 若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为______.
16. 已知函数，若，则不等式的解集为_______；若恰有两个零点，则的取值范围为_____．
三、解答题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17. 已知函数在时取得极值.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最小值.
18. 已知函数（）.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若当时，函数有两个不同的零点，求实数的取值范围.
19. 已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若恒成立，求的取值集合；
（3）若，证明：当时，.
参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 【答案】D
【分析】对函数求导，将代入导函数求值即可得瞬时变化率.
【详解】由题设，故.
故选：D
2. 【答案】C
【分析】利用插空法可得.
【详解】由题意，先把3位男生排成一排，然后将2位女生插入3个男生中间或两边，不同的站法共种，
故选：C
3. 【答案】C
【分析】根据导数的几何意义和割线的斜率可得三者之间的大小关系.
【详解】
设，由图可得，
而，
故，
故选：C
4. 【答案】D
【分析】对于A，根据导数的定义结合分析判断即可，对于B，先求出导函数，再由解方程求解判断，对于C，利用导数的运算法则求解判断，对于D，先求出，然后令，可求出进行判断.
【详解】对于A，因为函数在上可导，且，
所以，所以A错误，
对于B，由，得，则由，得，解得，所以B错误，
对于C，，所以C错误，
对于D，由，得，
所以，解得，所以D正确.
故选：D
5. 【答案】A
【分析】借助赋值法计算即可得.
【详解】令，有，
即或.
故选：A.
6. 【答案】B
【分析】写出的二项展开式的通项，进而可知项的系数为，进而可知当取奇数时，系数为负值，因此分别求出、、时的项的系数，进而可知最小值；因为的展开式有7项，因此中间一项的二项式系数最大.
【详解】的展开式的通项为，
当取奇数时，系数为负值，
当时，，当时，，当时，，
所以第2项的系数最小；
因为的展开式有7项，所以中间一项的二项式系数最大，即第项的二项式系数最大.
故选：B.
7. 【答案】C
【分析】根据给定不等式，得到函数在、时的函数值变化关系，结合不等式性质推理得解.
【详解】由，得当，即时，，函数不单调递减，则；
当，即时，，函数不单调递增，则；
由不等式的性质得：.
故选：C
8. 【答案】D
【分析】求出抛物线与直线相切时的斜率，由数形结合得解.
【详解】设直线与相切于点，
由，则，
所以切线方程为，又切线过，
所以，解得，
所以，作出及切线的图象，如图，

由图象可知，当时，成立.
故选：D
9. 【答案】C
【分析】本题可根据的几何意义，结合图象来逐一分析各个结论，从而确定正确答案.
【详解】由图可知，则，
对于①：表示区间上函数图象割线的斜率的相反数.
在这段时间内，甲企业对应图象割线的斜率小于于乙企业对应图象割线的斜率，
所以甲企业对应图象割线的斜率相反数大于乙企业对应图象割线的斜率相反数，
所以甲企业的污水治理能力比乙企业强，①正确.
对于②：在时刻，甲企业图象切线的斜率小于乙企业图象切线的斜率，
所以甲企业在时刻对应图象割线的斜率相反数大于乙企业对应图象割线的斜率相反数，
所以甲企业的污水治理能力比乙企业强，②正确.
对于③：从图象可以看出，在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，
即甲、乙两企业的污水排放都已达标，③正确.
对于④：在，，这三段时间中，
这段时间甲企业图象割线的斜率最小，则其斜率相反数最大，
所以甲企业在的污水治理能力最强，而不是，④错误.
综上，①②③正确.
故选：C
10. 【答案】B
【分析】对于①，根据奇函数的定义判断，对于②，对函数求导后利用导数判断，对于③，令，可得，再结合零点存在性定理分析判断，对于④,问题转化为恒成立，构造函数，求导后分析判断.
【详解】对于①，因为的定义域为，
且，所以是奇函数，所以①正确，
对于②，由，得，
所以在上是增函数，所以②正确，
对于③，令，
因为，所以方程所以有一个根为0，
因为，，
所以方程在至少有一个根，所以③错误，
对于④，若对任意，都有，即恒成立，
令，则，
，当且仅当，即时取等号，
因为，所以取不到等号，所以，
若，则恒成立，所以在上递增，
所以，即恒成立，
若，则存在使，
所以当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以在上，有不合题意，
综上，，所以的最大值为2，所以④正确，
故选：B
【点睛】关键点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查导数的应用，第④个解的关键是将问题转化为恒成立，然后构造函数，利用导数结合基本不等式讨论.
二、填空题共6小题，每小题4分，共24分.
11. 【答案】1
【分析】根据条件，求出的系数，列出关于的方程，求出a的值.
【详解】因为的展开式的通项为，
又的展开式中的系数是10，所以，即，
所以，则.
故答案为：.
12. 【答案】
【分析】根据极值点列方程来求得的值.
【详解】依题意，，
所以，
解得或，
当时，，
所以在区间上单调递减，
在区间上单调递增，
所以是的极小值，不符合题意.
当时，，
所以在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
所以是的极大值，符合题意.
综上所述，的值为.
故答案为：
13. 【答案】37
【分析】利用对立事件法求解，先计算总数，在计算甲部门没有人的种数。
【详解】先不考虑甲部门是否有人，总数为种；
甲部门没有人的种数为种；
所以甲部门有人的安排方法种数为种；
故答案为：37
14. 【答案】108
【分析】把3名女生视为一个整体，利用相邻问题及有位置限制的排列问题，列式计算即得.
【详解】把3名女生视为一个整体，与除甲外的另2名男生任选一个在左端，有种方法，
再把甲与余下两个作全排列，有种方法，最后排相邻的3名女生，有种方法，
所以不同排列方式有（种）.
故答案为：108
15. 【答案】
【分析】先对函数求导，根据在上不单调得出导函数分子对应的函数在上存在变号零点.然后设，通过求导判断其单调性，再根据变号零点的性质列出不等式组，最后求解不等式组得到的取值范围.
【详解】已知，在上不单调，所以在上存在变号零点.
设，，对求导得.
因为时，，所以在上单调递增.
由于在上存在变号零点，则，即.
解得；解得.所以.
故答案为：.
16. 【答案】 ①. ； ②.
【分析】第一空：直接代入，分和解不等式，再取并集即可；第二空：将题设转化为和的实数根的个数为2，分、和依次讨论根的情况，即可求解.
【详解】第一空：若，则，当时，由解得，则；
当时，由，解得，则；综上可得不等式的解集为；
第二空：恰有两个零点等价于和的实数根的个数为2.
当时，显然无解；解得（舍去），也无解，不合题意；
当时，显然无解；的判别式，设的两根为，
则，显然两根一正一负，即有1个实根，不合题意；
当时，令的对称轴为，则在单减，则，则无解；
，显然时不成立，则，令，则，显然在上单减，在单增，
则，又，，则时，有2个根，即恰有两个零点；
综上：.
故答案为：；.
三、解答题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17. 【答案】（1）递增区间是，递减区间是；
（2）.
【分析】（1）求出函数的导数，由给定的极值点求出值并验证，再解导数大于0、小于0的不等式即得.
（2）利用（1）中单调区间求出极小值及端点处的函数值即得.
【小问1详解】
函数，求导得，
由函数在时取得极值，得，解得，
此时，显然是的变号零点，即是极值点，
因此，，当或时，，当时，，
所以函数的递增区间是，递减区间是.
【小问2详解】
由（1）知，函数的在上单调递增，在上单调递减，
，，
所以函数在区间上的最小值是.
18. 【答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据切点和斜率求得曲线在点处的切线方程.
（2）先判断的单调性，结合零点个数列不等式，由此求得的取值范围.
【小问1详解】
当时，，，
，，
所以切线方程为.
【小问2详解】
当时，，令，解得，
所以在区间上单调递减；
在区间上单调递增.
所以的极小值也即是最小值为.
因为当时，，，所以；
当时，，，
但增长速度比下降速度快得多，所以.
又因为函数有两个不同的零点，
所以的最小值，
即，
因为对数函数在上单调递增，所以.
19. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为
（2）
（3）证明见解析
【分析】（1）由函数的解析式求得其导数，由导数求得递减区间，由导数求得递增区间；
（2）由题可知，进而可得，构造函数设，结合函数最值即可求解.
（2）将不等式进行转化，在已知条件下，所以不等式转化为，设函数，求导数，由解析式可知递增，由函数零点存在定理可知存在唯一的，使得，从而得到函数单调区间并得到函数最小值，证明函数最小值大于等于0即可得证.
【小问1详解】
因为，
所以．
当时，，当时，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
【小问2详解】
由题可知，
由（1）可知，当时，函数有最小值，
∴-ea-1+a≥0，a≥ea-1>0，即，
设，
当x∈0,1,t'x>0,tx单调递增；当单调递减；
所以当时，所以
故的取值范围集合为.
【小问3详解】
要证明，
即证明，
因为，且，所以，
故只需证明，即．
设，则．
知在上单调递增，且，g'1=2e-1>0，
所以存在唯一的，使得，即，．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以，
故原命题成立．