北京八十中2024年高一3月月考 数学（含解析）

这是一份北京八十中2024年高一3月月考 数学（含解析），共11页。
（考试时间90分钟 满分100分）
提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答．
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 下列量中是向量的为（ ）
A. 频率B. 拉力C. 体积D. 距离
2. 已知是两个单位向量，则下列等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
3. 设，其中，是实数，则的值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
4. 已知向量与是两个不平行的向量，若且，则等于（ ）
A. B. C. D. 不存在这样的向量
5. 若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A. 0B. 2C. 3D. 0或2
6. 如图，在平面直角坐标系中，是函数图象的最高点，是的图象与轴的交点，则的坐标是（ ）
A. B. C. D.
7. 抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑.现在“解放碑”是重庆的地标性建筑，吸引众多游客来此打卡拍照.如图甲所示，解放碑的底座外观呈正八棱柱形，记正八棱柱的底面是正八边形，如图乙所示，若是正八边形的中心，且，则（ ）
A. B. C. D. 3
8. 已知点O为外接圆的圆心，且，则的内角A等于（ ）
A. B. C. D.
9. 复数满足条件，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知向量满足，，则的最大值等于（ ）
A. B. C. 2D.
二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 复平面上，点对应的复数______．
12. 已知平面向量，，若.则_________.
13. 写出一个与向量共线的单位向量_____________.
14. 已知平面内的向量在向量上的投影向量为，且，则_________.
15. 已知非零向量，满足，则的夹角为_____________.
16. 设复数z满足，则的取值范围是_________.
三、解答题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，，求c．
18. 在①，②中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答.
问题：在中，角、、所对的边分别为、、，已知_________.
（1）求；
（2）若的外接圆半径为2，且，求.
注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分.
19. 已知集合 .对于，给出如下定义：①；②；③A与B之间的距离为.说明：的充要条件是.
（1）当时，设，求；
（2）若，且存在，使得，求证：；
（3）记.若，且，求的最大值.
参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 【答案】B
【分析】根据向量与数量的意义直接判断即可.
【详解】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.
故选：B
2. 【答案】C
【分析】由向量分减法法则和数量积以及模长逐一判断即可.
【详解】A：由向量减法法则可得的差为向量，不等于数，故A错误；
B、D：，由于夹角大小不定，故值不确定，故B、D错误；
C：单位向量的模长相等，故C正确；
故选：C.
3. 【答案】D
【分析】根据复数相等的充要条件得到方程，即可得解.
【详解】因为，即，又，是实数，
依据复数相等的条件得，即，故.
故选：D.
4. 【答案】A
【分析】由零向量与任意向量共线再结合已知条件得出.
【详解】因为向量与是两个不平行的向量，且且，
所以等于，
故选：A
5. 【答案】B
【分析】根据复数的概念列方程求解即可得实数的值.
【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得.
故选：B.
6. 【答案】B
【分析】由向量加法以及正弦函数对称中心（零点）即可得解.
【详解】由题意以及题图可知，所以.
故选：B.
7. 【答案】C
【分析】设正八边形的边长为1，作平行四边形，则根据向量的平行四边形法则可以找到关系，即可求解.
【详解】由图可知角度关系，外角，作平行四边形，
，设八边形的边长为1，则，，所以，，所以.
故选：C
8. 【答案】A
【分析】由题意可得，又因为，所以四边形为菱形，且，即可得答案.
【详解】由得，，
由为外接圆的圆心，
所以，
结合向量加法的几何意义知，
四边形为菱形，且，
故，即的内角A等于.
故选：A.
9. 【答案】C
【分析】根据复数的模整理得到，再利用基本不等式计算可得.
【详解】由且，得，
∴，整理得，
∴，
当且仅当，即，时，取得最小值
故选：C
10. 【答案】A
【分析】由，即得到点共圆，再利用余弦定理和正弦定理求解即可.
【详解】设，
因为，，所以，
又，所以，所以点共圆，
要使的最大，即为直径，
在中，由余弦定理可得，
又由正弦定理，
即的最大值等于，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是由向量之间的夹角确定点共圆，再由正弦和余弦定理求解即可.
二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 【答案】
【分析】根据复数的坐标表示写出答案.
【详解】由复数的几何意义知
故答案为：
12. 【答案】
【分析】利用向量垂直的充分必要条件代入点的坐标求出即可.
【详解】因为，所以，
故答案为：.
13. 【答案】（答案不唯一）
【分析】先求出，则即为所求.
【详解】
所以与向量共线的单位向量为或.
故答案为：（答案不唯一）
14. 【答案】
【分析】由投影向量的公式求出，再利用模长公式求出结果即可.
【详解】因为向量在向量上的投影向量为，且，
所以，
所以，
故答案为：.
15. 【答案】
【分析】设，再由模长的计算得到向量的数量积，最后代入夹角公式即可.
【详解】设，
则，
所以，
所以的夹角为，
故答案为：.
16. 【答案】
【分析】由复数的几何意义确定复数z复平面上的对应点的轨迹，结合图象确定可得结果.
【详解】设复数z在复平面上的对应点为，复数的在复平面上的对应点为，
由，可知点的轨迹为以，为端点的一条线段，又表示点到点的距离，观察图象可知当时，取最小值，最小值为1，当时，取最大值，最大值为，
所以取值范围为.
故答案为：.
三、解答题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. 【答案】（1）
（2）7
【分析】（1）利用余弦定理进行求解；（2）先利用同角三角函数关系得到，再使用正弦定理求解
【小问1详解】
变形为：，
所以，
因为，所以，
【小问2详解】
因为，且，
所以
由正弦定理得：，即，
解得：
18. 【答案】（1）条件选择见解析，
（2）
【分析】（1）根据正余弦定理边角互化，即可结合三角恒等变换求解，
（2）根据余弦的和差角公式可得，进而利用率正弦定理可得，由余弦定理即可求解.
【小问1详解】
选择条件①：因为，
在中，由余弦定理可得，
由余弦定理可得，
则，
因为，所以.
选择条件②：因为，由正弦定理得，
.
即，
则，
因为，所以，
因为，所以.
【小问2详解】
因为，所以，即，
即，又因为，
所以.
由于的外接圆半径为，由正弦定理可得，
可得，
所以，
由余弦定理可得，
所以
19. 【答案】（1）
（2）见解析 （3）26
【分析】（1）当 时，直接利用求得的值
（2）设，则由题意可得
，使得，其中，得出 与同为非负数或同为负数，由此计算 的结果，计算 的结果，从而得出结论
（3）设 中有 项为非负数， 项为负数
不妨设 时， ， 时，
利用，得到
得到
求出 ， ，即可得到 的最大值
得到，再验证得到成立的条件即可；
【小问1详解】
解：由于，
则
故
【小问2详解】
解：设
使，
使得：，
，使得 ，其中 ，
与 同为非负数或同为负数，

，故得证；
【小问3详解】
解：
设 中有 项为非负数， 项为负数
不妨设 时，
时，
所以


，整理得



又

即
对于
有 ，且

综上所得，的最大值为