湖北省圆创联考2023届高三下学期五月联合测评数学试题-附答案

这是一份湖北省圆创联考2023届高三下学期五月联合测评数学试题-附答案，共17页。
本试题共6页，22题。满分150分。考试用时120分钟。考试时间：2023年5月10日下午15：00-17：00
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用椽皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用签字笔或钢笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，正方形OABC中，点A对应的复数是，则顶点B对应的复数是（ ）
A． B． C． D．
3．正的边长为2，，则（ ）
A．2 B． C． D．
4．李明到达了一个由6个进站口排列在一条直线上且相邻两进站口间隔100米的一个机场，他的进站口被随机安排为6个进站口之一，李明到达他的进站口之后，又被告知进站口被随机改为其他5个进站口之一，则他需要走不超过200米便可到达新的进站口的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数在上单调递增，在上单调递减，若函数在上单调，则a的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测，某校早上7：30开校门，此时刻没有学生．一分钟后有59名学生到校，以后每分钟比前一分钟少到2人．校门口的体温自动检测棚每分钟可检测40人，为了减少排队等候的时间，7：34校门口临时增设一个人工体温检测点，人工每分钟可检测12人，则人工检测（ ）分钟后校门口不再出现排队等候的情况．
A．4 B．6 C．8 D．10
7．如图，把一个长方形的硬纸片ABCD沿长边AB所在直线逆时针旋转得到第二个平面ABEF，再沿宽边AF所在直线逆时针旋转得到第三个平面AFGH，则第一个平面和第三个平面所成的锐二面角大小的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数图象上存在关于y轴对称的两点，则正数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．A，B为随机事件，已知，下列结论中正确的是（ ）
A．若A，B为互斥事件，则 B．若A，B为互斥事件，则
C．若A，B是相互独立事件， D．若，则
10．已知函数和都是偶函数，当时，，则下列正确的结论是（ ）
A．当时，
B．若函数在区间上有两个零点，则有
C．函数在上的最小值为
D．
11．在四面体中，平面ABC，，点，Q为AC的中点，，垂足为H，连结BH，则正确的结论有（ ）
A．平面平面PBC
B．若平面平面PBC，则一定有
C．若平面平面PBC，则一定有
D．点R是平面PBC上的动点，，则当直线AR与BC所成角最小时，点R到直线AB的距离为
12．已知抛物线与圆相交于A，B，线段AB恰为圆M的直径，且直线AB过抛物线W的焦点F，则正确的结论是（ ）
A．或 B．圆M与抛物线W的准线相切
C．在抛物线W上存在关于直线AB对称的两点
D．线段AB的垂直平分线与抛物线W交于C，D，则有
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．展开式中一次项的系数是___________．（请填具体数值）
14．袋中有形状和大小相同的两个红球和三个白球，甲、乙两人依次不放回地从袋中摸出一球，后摸球的人不知前面摸球的结果，则乙摸出红球的概率是___________．
15．如图，8个半径为1的圆摆在坐标平面的第一象限（每个圆与相邻的圆或坐标轴外切），设L为八个圆形区域的并集，斜率为3的直线l将L划分为面积相等的两个区域，则坐标原点到直线l的距离为___________．
16．已知双曲线的右焦点为F，折线与双曲线C的右支交于A，B两点（如图），则的面积为___________．
四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知数列满足：．
（1）证明：时，；
（2）是否存在这样的正数λ，使得数列是等比数列，若存在，求出值，并证明；若不存在，请说明理由．
18．（12分）已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）的各条棱长均为2，且有．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
19．（12分）某市对全体高中学生举行了一次关于环境保护相关知识的测试．统计人员从全市高中学生中随机抽取100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间内，并且段内的人数恰成等差数列，如图所示是频率分布直方图的一部分．
（1）请补全频率分布直方图（标上纵坐标的值），直接写出百分之八十五分位数：___________（精确到0.1）；
（2）用样本频率估计总体，从全市高中学生中随机抽取2名学生，记成绩在区间内的人数为X，成绩在区间内的人数为Y，记，比较与的大小关系．
20．（12分）内一点O，满足，则点O称为三角形的布洛卡点．王聪同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确结论，比如，
请你和他一起解决如下问题：
（1）若a，b，c分别是A，B，C的对边，，证明：；
（2）在（1）的条件下，若的周长为4，试把表示为a的函数，并求的取值范围．
21．（12分）已知分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆C上一点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设是椭圆C上且处于第一象限的动点，直线与椭圆C分别相交于两点，直线，相交于点N，试求的最大值．
22．（12分）已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若，在内存在不等实数，使得，证明：．
2023届高三五月联合测评
数学试卷参考答案与评分细则
一、单选题：
1．D【解析】得，，定义域为，故选D．
2．A【解析】由，得C点对应的复数为，由得B点对应复数为，故选A．
3．C【解析】设
，故选C．
（建系用坐标运算也是较好选择）
4．B【解析】A，B，C，D，E，F表示六个进站口，李明若先到A进站口，不超过200米的进站口有B和C，此时符合条件的概率为，同理先到B，C，D，E，F的符合条件的概率分别为，，，，，故所求概率为，故选B．
5．D【解析】，由已知条件时取得最大值，有，即．又由已知得，于是，由于，故在．在上单调，故．故选D．
6．C【解析】7点30分开始过x分钟累计到校人数为
设人工检测分钟时，不再出现排队，则有
即，解得，而且12分钟时到校人数
人工检测8分钟后不再出现排队等候的情况，故选C．
7．C【解析】如图，把两个单位正方体叠放在一起（构建模型），平面，
平面，平面分别代表第一，二，三个平面，平面
的法向量为，平面的法向量为与的夹角为，
故所求锐二面角的大小的余弦值是，故选C．
8．B【解析】由两个分段函数在各自区间上单调，存在关于y轴对称的两点分别位于两个函数图象上．设在的图象上，则在函数的图象上，故有，即，进而．
设，则，由得单调性得，即
令，知在上单调递减
故，于是．选B．
二、多选题：
9．ACD【解析】对于A，由A、B是互斥事件，故，
∴A正确．
对于B，由知
∴B不正确．
对于C，由于A，B是相互独立事件，
，∴C正确．
对于D，，，
，∴D正确．
10．ACD【解析】函数的图象关于y轴和直线对称，因此是周期为2的周期函数．
对于A，由函数和二次函数的对称轴重合，解析式正确．
对于B，在同一坐标系中画出函数与的图象，两图象交于，点A关于直线的对称点为，，，∴B不正确．
对于C，函数在上单调递增，上单调递减，在或时有最小值，而分母中的函数在上单调递增，时，在上的最小值是，∴C正确．
对于D，
，又函数在上单调递减，
，∴D正确．
11．ABD【解析】易知三棱锥是“基本图”，它各个面均为直角三角形，且平面PAB，平面平面ABC，平面平面ABC，，平面PAC
对于A，由平面PAC知，，又由已知得到平面BQH，又平面PBC，
．平面BQH垂直于平面PBC，故A正确．
对于B，过点C作，由于平面平面PBC，且两面的交线为MN，
由面面垂直的性质得平面AMN，．，又平面PAB，，
平面PAB，，B对．
对于C，在条件下，N可以在直线PC上运动，C不正确．
对于D，R点的轨迹是以M为圆心为半径的半圆，动线段AR是半圆锥的母线，
AR与平面PBC所成的角为定角，AR与BC所成的角最小时．
过作平面ABC，，垂足为N，则为到直线AB的距离．
由四边形是矩形得，D正确．
12．BD【解析】分别过A，B，M作抛物线准线的垂线，垂足分别为
由于直线AB过焦点F，M到准线的距离，故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，故B正确．
由于以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，有，，故A不正确．
过焦点，，直线AB的方程是，假设抛物线上存在两点T，关于直线AB对称，且y设直线的方程是：，代入中，得，由韦达定理可得的中点为，又N在直线AB上，，但是的，直线不存在．C不正确．
对于D，直线CD的方程为：，代入，得
由韦达定理得，．
，故D正确．
三、填空题：
13．11【解析】展开式中一次项系数为，故填11．
14．【解析】由简单随机抽样的特点知概率为．
或甲乙两人摸球的等可能结果有，其中丙摸出红球的事件占有个结果，
故丙摸出红球的概率．
15．【解析】过的直线将圆1与圆2平分，过的直线将圆1与圆2平分，且
，故直线AB的方程为：，即，故原点O到直线AB的距离为．
16．【解析】延长BF交双曲线右支于，由已知与A关于x轴对称，设，，则，
（其中）
，
把代入中得
由韦达定理得
．
四、解答题
17．【解析】（1）证明： ①
时， ②
得时， 5分
（2）假设存在正数使得数列为等比数列，由得，
由，得，因为为等比数列，，即，
． 7分
下证：时，数列是等比数列：
由（1）知数列和均为公比的等比数列．
；
为奇数时，，n为偶数时，
∴对一切正整数n，都有， 9分
，
∴存在正数，使得数列是等比数列． 10分
18．（1）连结AC和，由底面是菱形得，
由与全等，得为的中点，
又平面， 5分
又平面平面平面． 6分
（2）以为X轴，以为Y轴，以过O与底面垂直的直线为Z轴，建立如图空间坐标系，
则 7分
过A作底面的垂线，垂足为H，由为正三棱锥知H为的重心
，
设，由，得
，
9分
又取平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，
则
∴直线与平面所成角的正弦值为． 12分
19．（1）补全频率分布直方图，如图． 2分
百分之八十五分位数是83.3 4分
（2）X服从，Y服从
6分
随机变量可取0，1，2
； 8分
10分
11分
12分
20．（1）设，
在和中，由正弦定理得
又，
，，又
，即． 6分
（2）
9分
又成等比数列，可设（公比）（）
，解得：
又由，得
12分
21．（1）由，得，
∴椭圆C的方程是； 4分
（2）设，由题意知
6分
把，代入中，整理得
，又
．
，
同理可得， 8分
（当且仅当时取等号）
的最大值是． 12分
22．（1）函数定义域为，
二次函数的对称轴是
（1）若时，在上，从而，函数的单调递增区间是； 2分
（2）若时，，
∴函数的单调递增区间是；单调递减区间是； 4分
（写成，其它正确，只扣1分）
（2）由对称性不妨设，
，
若，由（1）得在上单调递增，有，与已知条件矛盾；
时，同理可推出矛盾．
，， 6分
要证明：，只需证明：
，在上单调递增，∴只需证明：
又，∴只需证明：
构造函数， 8分
其中．
当时，
在单调递减，
时，
成立
由在定义域内单调递增得，，即成立． 12分
（从函数的凸凹性判断并证明酌情给分）题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
C
B
D
C
C
B
ACD
ACD
ABD
BD