湖北省圆创联考2023届高三下学期五月联合测评数学试题（含答案）

湖北省圆创联考2023届高三下学期五月联合测评数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

2．如图，正方形OABC中，点A对应的复数是，则顶点B对应的复数是（    ）

A． B． C． D．

3．正的边长为2，，则（    ）

A．2 B． C． D．

4．李明到达了一个由6个进站口排列在一条直线上且相邻两进站口间隔100米的一个机场，他的进站口被随机安排为6个进站口之一，李明到达他的进站口之后，又被告知进站口被随机改为其他5个进站口之一，则他需要走不超过200米便可到达新的进站口的概率为（    ）

A． B． C． D．

5．已知函数在上单调递增，在上单调递减，若函数在上单调，则a的最大值为（    ）

A． B． C． D．

6．疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测，某校早上7：30开校门，此时刻没有学生．一分钟后有59名学生到校，以后每分钟比前一分钟少到2人．校门口的体温自动检测棚每分钟可检测40人，为了减少排队等候的时间，7：34校门口临时增设一个人工体温检测点，人工每分钟可检测12人，则人工检测（    ）分钟后校门口不再出现排队等候的情况．

A．4 B．6 C．8 D．10

7．如图，把一个长方形的硬纸片沿长边所在直线逆时针旋转得到第二个平面，再沿宽边所在直线逆时针旋转得到第三个平面，则第一个平面和第三个平面所成的锐二面角大小的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数图象上存在关于y轴对称的两点，则正数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．A，B为随机事件，已知，下列结论中正确的是（    ）

A．若A，B为互斥事件，则 B．若A，B为互斥事件，则

C．若A，B是相互独立事件， D．若，则

10．已知函数和都是偶函数，当时，，则下列正确的结论是（    ）

A．当时，

B．若函数在区间上有两个零点、，则有

C．函数在上的最小值为

D．

11．在四面体中，平面ABC，，点，Q为AC的中点，，垂足为H，连结BH，则正确的结论有（    ）

A．平面平面PBC

B．若平面平面PBC，则一定有

C．若平面平面PBC，则一定有

D．点R是平面PBC上的动点，，则当直线AR与BC所成角最小时，点R到直线AB的距离为

12．已知抛物线与圆相交于，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，则正确的结论是（    ）

A．或

B．圆与抛物线的准线相切

C．在抛物线上存在关于直线对称的两点

D．线段的垂直平分线与抛物线交于，则有

三、填空题

13．展开式中一次项的系数是___________．（请填具体数值）

14．袋中有形状和大小相同的两个红球和三个白球，甲、乙两人依次不放回地从袋中摸出一球，后摸球的人不知前面摸球的结果，则乙摸出红球的概率是___________．

15．如图，个半径为的圆摆在坐标平面的第一象限（每个圆与相邻的圆或坐标轴外切），设为八个圆形区域的并集，斜率为的直线将划分为面积相等的两个区域，则坐标原点到直线的距离为___________．

16．已知双曲线的右焦点为，折线与双曲线的右支交于两点（如图），则的面积为___________．

四、解答题

17．已知数列满足：．

(1)证明：时，；

(2)是否存在这样的正数，使得数列是等比数列，若存在，求出值，并证明；若不存在，请说明理由．

18．已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）的各条棱长均为2，且有．

(1)求证：平面平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

19．某市对全体高中学生举行了一次关于环境保护相关知识的测试．统计人员从全市高中学生中随机抽取100名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间内，并且段内的人数恰成等差数列，如图所示是频率分布直方图的一部分．

(1)请补全频率分布直方图（标上纵坐标的值），直接写出百分之八十五分位数：___________（精确到0.1）；

(2)用样本频率估计总体，从全市高中学生中随机抽取2名学生，记成绩在区间内的人数为X，成绩在区间内的人数为Y，记，比较与的大小关系．

20．内一点O，满足，则点O称为三角形的布洛卡点．王聪同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确结论，比如，请你和他一起解决如下问题：

(1)若a，b，c分别是A，B，C的对边，，证明：；

(2)在（1）的条件下，若的周长为4，试把表示为a的函数，并求的取值范围．

21．已知分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆C上一点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设是椭圆C上且处于第一象限的动点，直线与椭圆C分别相交于两点，直线，相交于点N，试求的最大值．

22．已知函数

(1)求函数的单调区间；

(2)若，在内存在不等实数，使得，证明：．

参考答案：

1．D

【分析】利用根式及对数函数的定义建立不等式组，解不等式组得到定义域即可.

【详解】由，得，解得，

所以函数的定义域为.

故选：D．

2．A

【分析】利用复数的几何意义计算即可.

【详解】由题意得：,不妨设C点对应的复数为，则,

由，得，

即C点对应的复数为，

由得：B点对应复数为.

故选：A．

3．C

【分析】根据，表示出向量，再利用向量基本运算法则表示出向量，再利用向量额数量积运算即可.

【详解】设，如图所示：

因为

所以

，

故选：C．

4．B

【分析】分类讨论应用古典概型结合加法原理和乘法原理计算求解即可.

【详解】A，B，C，D，E，F表示六个进站口，李明若先到A进站口，不超过200米的进站口有B和C，此时符合条件的概率为，

同理先到B，C，D，E，F的符合条件的概率分别为，，，，，

故所求概率为.

故选：B．

5．D

【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简，然后根据题意得到，再根据函数在上单调和正弦函数的图像得到，解之即可.

【详解】因为，

由已知条件时取得最大值，有，即．

又由已知得，于是，

由于，故在．所以函数，

因为，所以，

因为在上单调，所以，

解得，故．

故选：D．

6．C

【分析】根据等差数列的求和即可列不等式求解.

【详解】由题意可知：7点30分开始过x分钟，到达校门口的学生人数是一个等差数列，且首项为59，公差为，

所以7点30分开始过x分钟累计到校人数为，

设人工检测分钟时，不再出现排队，则有，

即，解得（负数解集舍去），而且12分钟时到校人数，

人工检测8分钟后不再出现排队等候的情况.

故选：C．

7．C

【分析】将两个单位正方体叠放在一起可构造模型，确定三个平面的位置后，由线面垂直可得两个平面的法向量，根据法向量夹角可确定所求角的余弦值.

【详解】如图，把两个单位正方体叠放在一起，

平面，平面，平面分别代表第一，二，三个平面，

四边形为正方形，，

平面，平面，，

，平面，平面；

同理可得：平面；

平面的法向量为，平面的法向量为，

，，

，，即与的夹角为，

所求锐二面角的大小的余弦值是.

故选：C．

8．B

【分析】先分析的单调性，可得对称点分别位于与的图象上，从而得到，进而利用同构法，构造函数得到，再构造函数，由此得解.

【详解】因为，

所以当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增；

又的图象上存在关于y轴对称的两点，

所以这两个对称点分别位于与的图象上；

设在的图象上，则在函数的图象上，且，

故有，即，

进而；

设，则，

又恒成立，故在上单调递增，

所以，即，

令，则在上恒成立，

故在上单调递减，

故，则，于是．

故选：B．

【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于利用同构法，将转化为，从而构造了函数，由此得解.

9．ACD

【分析】由互斥、对立事件概率求法判断A、B；根据事件关系及独立事件乘法求判断C；应用条件概率公式、全概率公式求.

【详解】A：由A、B是互斥事件，故，正确．

B：由知：，不正确．

C：由于A，B是相互独立事件，，

，正确．

D：，则，

，正确．

故选：ACD

10．ACD

【分析】推导出函数是周期为的周期函数，求出函数在上的解析式，可判断A选项；利用指数函数的单调性结合作差法可判断B选项；利用函数的最值与函数单调性的关系可判断C选项；利用函数的周期性和在上的单调性可判断D选项.

【详解】因为函数和都是偶函数，则，，

所以，，即，

因此是周期为的周期函数．

对于A，当时，，则，

当时，则，则，

综上所述，当时，，A对；

对于B选项，当时，，则，

不妨设，因为函数在上单调递减，则，

由可得，

所以，，

即，则，B错；

对于C，因为函数在上单调递增，在上单调递减，

由于函数是周期为的周期函数，

故函数在上单调递增，在上单调递减，

故当时，，

而函数在上单调递增，所以，，则，

所以，当时，，

所以，函数在上的最小值为，C对；

对于D选项，，

，

，

又函数在上单调递减，，D对.

故选：ACD.

11．ABD

【分析】对于A、B、C：根据线面、面面垂直逐项分析判断；对于D：转化为圆锥.结合垂直关系分析运算.

【详解】易知三棱锥是“基本图”，它各个面均为直角三角形，且平面PAB，平面平面ABC，平面平面ABC，，平面PAC，

对于A：由平面PAC知，，

又因为，平面BQH，所以平面BQH，

又平面PBC，平面BQH平面PBC，故A正确；

对于B：过点C作，由于平面平面PBC，且两面的交线为MN，

由面面垂直的性质得平面AMN，平面AMN，

，

且平面PAB，平面PAB，，

又平面PBC，

平面PBC，平面PBC，，B正确；

对于C：在平面PBC条件下，N可以在直线PC上运动，C不正确．

对于D：由题意可得，则，

R点的轨迹是以M为圆心为半径的圆，动线段AR是圆锥的母线，

AR与平面PBC所成的角为定角，AR与BC所成的角最小时//．

过作平面ABC，，垂足为N，则为到直线AB的距离．

由四边形是矩形得，D正确．

故选：ABD.

12．BD

【分析】选项B分别过作抛物线准线的垂线，垂足分别为画出图形，结合已知条件分析即可；选项A利用选项B分析的结论即可得选项；选项CD利用直线与抛物线的位置关系联立方程组，利用韦达定理及弦长公式及其他选择即可解决.

【详解】分别过作抛物线准线的垂线，垂足分别为

由于直线过焦点到准线的距离:

，

故以为直径的圆与抛物线的准线相切，故B正确．

由于以为直径的圆与抛物线的准线相切，有，

，故A不正确．

过焦点，，直线的方程是，

假设抛物线上存在两点，关于直线对称，

且设直线的方程是：，

代入中，得，

所以，

，

所以的中点为，又在直线上，

，

因为中，直线不存在．

C不正确．

对于D，直线的方程为：，

代入，得

由韦达定理得，．

，

，

故D正确．

故选：BD.

13．11

【分析】先确定的展开式的通项公式，再由求解即可.

【详解】的展开式的通项公式为，

而，

令，得；令，得.

所以的展开式中一次项系数为.

故答案为：

14．/0.4

【分析】由古典概型概率公式计算即可.

【详解】有两种情况：

①甲摸到红球乙再摸到红球得概率为：         

②甲摸到白球乙再摸到红球得概率为：，

故乙摸到红球的概率．

故答案为：

15．

【分析】过、的直线平分四个圆可实现两个区域面积相等，由此可确定直线的方程，利用点到直线距离公式可求得结果.

【详解】

当过的直线将圆与圆平分，过的直线将圆与圆平分时，划分为面积相等的两个区域且，

直线的方程为：，即直线，

原点到直线的距离．

故答案为：.

16．/

【分析】延长交双曲线右支于，画出图形，设点，利用对称性以及弦长公式，结合已知条件利用三角形面积公式即可.

【详解】延长交双曲线右支于，如图所示：

由已知与关于轴对称，

设，，

则，

（其中），

由题意知，，

把代入中得，

由韦达定理得，，

．

故答案为：.

17．(1)证明见解析

(2)存在，

【分析】（1）根据递推公式做商证明结论；

（2）根据等比中项计算得出，再应用定义证明等比数列即可.

【详解】（1）         ①

时，            ②

得时，

（2）假设存在正数使得数列为等比数列，由得，

由，得，因为为等比数列，，即，

．                            

下证：时，数列是等比数列：

由（1）知数列和均为公比的等比数列．

；

为奇数时，，n为偶数时，

∴对一切正整数n，都有，                                   

，

∴存在正数，使得数列是等比数列．

18．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据面面垂直判定定理证明即可；

（2）应用空间向量法求线面角正弦即得.

【详解】（1）连接AC和，由底面是菱形得，

由与全等，得为的中点，

又平面，平面，平面，                         

又平面平面平面．

（2）以为x轴，以为y轴，以过O与底面垂直的直线为z轴，建立如图空间坐标系，

则       

过A作底面的垂线，垂足为H，由为正三棱锥知H为的重心

，

设，由，得

，

又取平面的法向量为，

设直线与平面所成角为，

则

∴直线与平面所成角的正弦值为．

19．(1)直方图见解析，83.3

(2)

【分析】（1）由题意计算各段人数，补全直方图，并按照百分位数的定义计算即可；

（2）由二项分布计算，再由随机变量的分布列及期望公式计算即可判定.

【详解】（1）因为：段内的人数恰成等差数列，设公差为,

由图及条件可得：段的人数分别为：,,,,,，5，

则，

即段的人数分别为：10，15，20，

补全频率分布直方图，如图．             

依上述计算得得分第八十五位位于之间，而段内有15人，内有5人，故第百分之八十五分位数是：；

（2）由题意可知：X服从，Y服从，

故，

随机变量可取0，1，2

；                   

20．(1)证明见解析

(2)，取值范围为

【分析】（1）应用正弦定理边角互化即可证明；

（2）先根据余弦定理边角互化，再应用向量的数量积公式结合等比数列计算可得.

【详解】（1）设，

在和中，由正弦定理得

又，，

，

，又，

，即．

（2）

，即，

又成等比数列，设（公比）（），

，解得：，又，得，

由且，则，故在上递增，

所以在上为减函数，易知，

21．(1)

(2)

【分析】（1）根据椭圆的定义求出，然后根据的关系即可求解；

（2）设，得到，

将的方程与曲线方程联立，利用韦达定理得到，，代入进而利用基本不等式即可求解.

【详解】（1）由，得，

∴椭圆C的方程是；

（2）设，根据题意设的方程为：，

由题意知，

，     

将，代入中，整理得，

，又，

．

，，

同理可得，，                                

（当且仅当时取等号）

的最大值是．

22．(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）分类讨论求解函数单调性；

（2）构造函数，应用函数单调性证明可得.

【详解】（1）函数定义域为，

二次函数的对称轴是

①若时，在上，从而，函数的单调递增区间是；

②若时，，

∴函数的单调递增区间是；单调递减区间是；

（2）由对称性不妨设，

，

若，由（1）得在上单调递增，有，与已知条件矛盾；

时，同理可推出矛盾．

，，                             

要证明：，只需证明：

，在上单调递增，∴只需证明：

又，∴只需证明：

构造函数，                   

其中．

当时，

在单调递减，

时，

成立

由在定义域内单调递增得，，即成立．