广东省2025年中考考前信息必刷卷数学（解析版）

这是一份广东省2025年中考考前信息必刷卷数学（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．计算：5×（﹣3）＝（ ）
A．2B．﹣2C．15D．﹣15
【解析】5×（﹣3）＝﹣15，
故选：D．
2．随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占0.0000007mm2，将0.0000007用科学记数法表示应为（ ）
A．0.7×10﹣7B．0.7×10﹣6C．7×10﹣7D．7×10﹣6
【解析】0.0000007＝7×10﹣7．
故选：C．
3．鲁班锁是一种广泛流传于民间的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，从正面看到的平面图形是（ ）
A．B．
C．D．
【解析】从正面看到的平面图形是：．
故选：D．
4．将一块直角三角板ABC按如图所示的方式放置在平行线a，b之间．若∠2＝52°，则∠1的度数为（ ）
A．128°B．142°C．150°D．152°
【解析】过点A作AD∥a，
∴∠3＝∠CAD，
∵a∥b，
∴AD∥b，
∴∠BAD＝∠2＝52°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠CAD＝∠3＝38°，
∴∠1＝180°﹣38°＝142°．
故选：B．
5．已知y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝bx+ac的图象一定经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限
【解析】∵抛物线的开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，即-b2a＞0，
∴b＞0．
又∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0．
∴ac＞0．
∴y＝bx+ac图象一定经过第一、二、三象限．
故选：A．
6．若关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A．m＞1B．m＞﹣1
C．m＞﹣1且m≠0D．m＜1且m≠0
【解析】∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴（﹣2）2﹣4m×（﹣1）＞0，m≠0，
即m＞﹣1且m≠0，
故选：C．
7．越来越多的传统文化创意产品加入西安大唐不夜城，其中大唐团扇倍受游客青睐．如图是一把大唐团扇的示意图，扇柄所在直线将扇面平分，小西为了使扇子更漂亮和耐用，在扇面⊙O中间增加了3根全丝线（虚线），扇子两端增加2根扇骨（CD，EF），金丝线和扇骨均垂直于直径AB且将AB均分，已知CD的长为10cm，则扇骨CD与EF之间的距离为（ ）
A．45cmB．65cmC．35cmD．85cm
【解析】连接OD，
∵金丝线和扇骨将AB均分，
∴OD＝OB＝3OM，CD与EF之间的距离＝4OM，
设OM＝x，∴ON＝2OM＝2x，OD＝3x，
∵直径AB⊥CD，∴DN=12CD=12×10＝5（cm），
∵OD2＝ON2+DN2，∴（3x）2＝（2x）2+52，∴x=5（舍去负值），
∴扇骨CD与EF之间的距离为4x＝45．
故选：A．
8．为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程．课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（ ）
A．96001.5x-6000x=0.4B．9600x-60001.5x=0.4
C．60001.5x-9600x=0.4D．6000x-96001.5x=0.4
【解析】由题意得：96001.5 x-6000 x=0.4．
故选：A．
9．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，点O为BC上的点，⊙O的半径OC＝1，点D是AB边上的动点，过点D作⊙O的一条切线DE（点E为切点），则线段DE的最小值为（ ）
A．32-1B．15C．15-1D．4
【解析】连接OE、OD，如图，
∵DE为⊙O的切线，∴OE⊥DE，∴∠OED＝90°，
∴DE=OD2-OE2=OD2-1，
当OD最小时，DE最小，
而当OD⊥AB时，OD最短，
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC=102-82=6，
∵∠BDO＝∠BCA，∠OBD＝∠ABC，∴△BOD∽△BAC，
∴OD：AC＝BO：BA，即OD：8＝5：10，解得OD＝4，
∴DE的最小值为42-1=15．故选：B．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，点M为BC的中点，以点C为圆心，CB长为半径作弧交AC于点E，再以点A为圆心，AE长为半径作弧交AB于点F，DM与CF相交于点G，则CG：GF的值为（ ）
A．5+510B．23C．25D．5-12
【解析】延长DM，AB交于点H，
∵矩形ABCD，
∴AD＝BC，AB＝DC，∠ADC＝90°，DC∥AB，
∵AB＝2BC，M为BC中点，
设AD＝BC＝2a，
则DC＝AB＝4a，CM＝MB＝a，
在Rt△ADC 中，AC=AD2+CD2=25a，
由题意得：CE＝CB＝2a，
则AE=AF=25a-2a BF=4a-(25a-2a)=(6-25)a，
∵DC∥AB，
∴△DCM∽△HBM，△DCG∽△HFG，
∴DCBH=CMBM=1，
∴DC＝BH＝4a，
∵△DCG∽△HFG，
∴CGGF=DCFH=4a(10-25)a=5+510．
故选：A．
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．若ab=13，则a+bb= ．
【答案】43
【解析】∵ab=13，
∴a+bb=1+33=43．
故答案为：43．
12．某品牌专卖店9月份销售了20双运动鞋，其尺码和数量统计如表：这20双运动鞋尺码的众数是 ．
【答案】41
【解析】尺码为41的销量最大，故众数为41；
故答案为：41．
13．如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O，A，B均为格点，则扇形OAB的面积大小是 ．
【答案】5π4
【解析】∵每个小方格都是边长为1的正方形，
∴OA＝OB=12+22=5，
∴S扇形OAB=90π×(5)2360=90π×5360=5π4．
14．如图，点A在反比例函数y1=18x（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，交反比例函数y2=6x（x＞0）的图象于点C，P为y轴上一点，连接PA，PC，则△APC的面积为 ．
【答案】6
【解析】连接OA和OC，
∵点P在y轴上，AB∥y轴，则△AOC和△APC面积相等，
∵点A在反比例函数y1=18x（x＞0）的图象上，点C在反比例函数y2=6x（x＞0）的图象上，AB⊥x轴，
∴S△AOC＝S△OAB﹣S△OBC＝6，
∴△APC的面积为6，
故答案为6．
15．在平面直角坐标系中，有一系列的点P1，P2，P3，P4，…，Pn…其中每一个点的横坐标是它前一个点的纵坐标的相反数与1的和，纵坐标是它前一个点的横坐标与2的和，即若点Pn（x，y），则Pn+1（﹣y+1，x+2），若点P1的坐标为（2，0），则点P2025的坐标为 ．
【答案】（2，0）
【解析】∵点P1的坐标为（2，0），
∴点P2的坐标为（1，4），
点P3的坐标为（﹣3，3），
点P4的坐标为（﹣2，﹣1），
点P5的坐标为（2，0），
⋯⋯，
∴上述坐标4个为一个循环，
∵2025÷4＝506余1，
∴点P2025的坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．（7分）计算：(π-5)0+2cs45°-|-3|+(12)-1-3(-3)3．
解：(π-5)0+2cs45°-|-3|+(12)-1-3(-3)3
=1+2×22-3+2-(-3)＝1+1﹣3+2+3＝4．
17．（7分）解不等式组：7x-14≤0①2(x+3)＞x+4②，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：7x-14≤0①2(x+3)＞x+4②，
由①得7x≤14，则x≤2，
由②得2x+6＞x+4，则x＞﹣2，
故原不等式组的解集为：﹣2＜x≤2，
在数轴上表示其解集如下：
18．（7分）某甜品店为吸引顾客，在收银台设置了抽奖打折活动，如图，将一个被四等分的转盘分别标上代表七折、八折和九折的数字“7，8，9”．活动规则：凡是进店消费的顾客都能转动一次转盘，待转盘转动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的折扣．（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）
（1）店员在测试转盘时，连续转动20次，有4次转出了七折优惠，则这20次转动中，转到七折优惠的频率为 ；
（2）小华和小亮在该甜品店选了相同价位的商品分别去结账，请用画树状图或列表法求小华与小亮付款金额相同的概率．
解：（1）由题意得，这20次转动中，转到七折优惠的频率为4÷20＝0.2．
故答案为：0.2．
（2）列表如下：
共有16种等可能的结果，其中小华与小亮付款金额相同的结果有：（7，7），（8，8），（9，9），（9，9），（9，9），（9，9），共6种，
∴小华与小亮付款金额相同的概率为616=38．
19．（9分）如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B，D，某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西22°方向．一艘渔船从D出发，沿正北方向匀速航行40分钟至C处，此时在A处测得C位于南偏东67°方向．
（1）求渔船的航行速度是多少？
（2）求渔船与观测塔之间的距离（精确到0.1）．
（参考数据：sin22°≈38，cs22°≈1516，tan22°≈25，sin67°≈1213，cs67°≈513，tan67°≈125）
解：（1）如图，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥AE于点F．
则四边形FEDC为矩形，
∴FC＝DE，
由题意得：AE＝5海里，∠BAE＝22°，
∴BE＝AE•tan22°＝5×25≈2（海里），
∴DE＝BD﹣BE＝6﹣2＝4（海里），
∴CF＝DE＝4海里，
在Rt△AFC中，∠CAF＝67°，
∴AF=FCtan67°≈4×512=53（海里），
∴CD＝EF＝AE﹣AF=103（海里），
40分钟=23小时，
103÷23=5（海里/小时），
答：渔船的航行速度是5海里/小时；
（2）在Rt△AFC中，∠CAF＝67°，
∴AC=FCsin67°≈4×1312≈4.3，
答：此时观测塔A与渔船C之间的距离约为4.3海里．
20．（9分）某超市为了销售一种新型饮料，对月销售情况作了如下调查，结果发现每月销售量y（瓶）与销售单价x（元）满足一次函数关系．所调查的部分数据如表：（已知每瓶进价为4元，每瓶利润＝销售单价﹣进价）
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）该新型饮料每月的总利润为w（元），求w关于x的函数表达式，并指出单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？
（3）由于该新型饮料市场需求量较大，厂家进行了提价．此时超市发现进价提高了a元，每月销售量与销售单价仍满足第（1）问函数关系，当销售单价不超过14元时，利润随着x的增大而增大，求a的最小值．
解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
由题意得：150=5k+b140=6k+b，解得：k=-10b=200，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣10x+200．
（2）由题意得：
w＝（x﹣4）（﹣10x+200）＝﹣10x2+240x﹣800＝﹣10（x﹣12）2+640，
∵﹣10＜0，
∴当x＝12时，w有最大值640元．
∴w关于x的函数表达式为w＝﹣10x2+240x﹣800，单价为12元时利润最大，最大利润是640元．
（3）由题意得：
w＝（x﹣4﹣a）（﹣10x+200）
＝﹣10x2+（240+10a）x﹣800，
二次函数的对称轴为：x＝12+a2，
∵﹣10＜0，当销售单价不超过14元时，利润随着x的增大而增大，
∴12+a2≥14，∴a≥4，
∴a的最小值为4．
21．（9分）如图，AB为⊙O的直径，点F在⊙O上，OF⊥AB，点D在EF的延长线上，点C在⊙O上且DC＝DE，直径AB与DC的延长线相交于点P，AC与OF相交于点E．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若tan∠A=13，DF=4，求AC的长．
（1）证明：连接OC，BC，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∵OF⊥AB，
∴∠A+∠OEA＝90°，
∴∠OCA+∠OEA＝90°，
∵∠OEA＝∠DEC，
∴∠OCA+∠DEC＝90°，
又∵DC＝DE，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴∠OCA+∠DCE＝90°，
即∠OCD＝90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△AOE中，tan∠A=OEOA=13，
∴设OE＝x，OA＝3x，
∵点F在⊙O上，点C在⊙O上，
∴OF＝OA＝OC＝3x，
∴EF＝OF﹣OE＝3x﹣x＝2x，
∵DF＝4，
∴OD＝OF+DF＝3x+4，DE＝EF+DF＝2x+4，
∴DC＝DE＝2x+4，
∵∠OCD＝90°，
∴在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD2＝DC2+OC2，
∴（3x+4）2＝（2x+4）2+（3x）2，
整理得：4x2﹣8x＝0，
解得：x＝2，x＝0（不合题意，舍去），
∴OA＝3x＝6，
∴AB＝2OA＝12，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，tan∠A=BCAC=13，
∴AC＝3BC，
由勾股定理得：AB=AC2+BC2=10BC，
∴BC=1010AB=1010×12=6105，
∴AC＝3BC=18105．
22．（13分）问题提出
（1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是CD的中点，点F，G分别在AD，AB上，且AF＝2，BG＝1，求△EFG的面积；
问题解决
（2）如图②，五边形ABCDE是某水上乐园的平面设计图，已知AB＝200m，CD＝250m，DE＝400m，AE＝500m，∠E＝60°，AB∥DE，AE∥CD．现计划在园区内设计四边形人工湖BCFG用于开发水上游乐项目，G，F分别是AE，DE上的点，按照设计要求，GF∥AD，为了应对夏日客流高峰，人工湖的面积要建得尽可能大，是否存在符合设计要求的面积最大的人工湖？若存在，求四边形BCFG的最大面积及此时DF的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝6，AB＝CD＝4，
∵E是CD的中点，
∴DE＝EC＝2，AG＝AB﹣BG＝3，DF＝AD﹣AF＝4．
∴△EFG的面积＝S梯形﹣S△AFG﹣S△ADE
=12（AG+DE）⋅AD-12AG⋅AF-12DF⋅DE
=12（3+2）×6-12×3×2-12×4×2
＝15﹣3﹣4＝8；
（2）存在符合设计要求的面积最大的人工湖BCFG，四边形BCFG的最大面积为375003m2，此时DF的值为200m．理由：
延长AB，DC，它们交于点H，过点B作BK⊥AE，交AE的延长线于点K，过点F作FN⊥GE于点N，FM⊥CD，交CD的延长线于点M，如图，
∵AB∥DE，AE∥CD，
∴四边形AHDE为平行四边形，
∴HD＝AE＝500m，AH＝DE＝400m，∠H＝∠E＝60°，
∴∠HAE＝∠CDF＝120°，
∴∠BAK＝∠FDM＝60°．
∴BK＝AB•sin60°＝1003，FM＝DF•sin60°=32DF，
∵GF∥AD，
∴AGDF=AEDE=500400=54，
∴设AG＝5x m，则DF＝4x m，
∴GE＝（500﹣5x）m，EF＝（400﹣4x）m，
∴FM=32=23x m，FN=32EF=32（400﹣4x）m．
设S＝S△CDF+S△GEF+S△ABG
=12CD⋅FM+12GE⋅FN+12AG⋅BK
=12×250•23x+12×（500﹣5x）×32（400﹣4x）+12×5x×1003
＝53x2-5003x+500003
＝53(x-50)2+375003，
∵53＞0，
∴当＝50m时，即DF＝4x＝200m，S有最小值为375000m2．
∵当S取得最小值时，四边形BCFG的最大，
∴存在符合设计要求的面积最大的人工湖BCFG，
∴四边形BCFG的最大面积＝S五边形ABCDE﹣S＝S平行四边形AHDE﹣S△BCH﹣S．
∵AB＝200m，CD＝250m，
∴CH＝DH﹣CD＝250m，BH＝AH﹣AB＝200m，
∴S△BCH=12CH⋅BH⋅sin60°=250003（m2），S平行四边形AHDE＝AH•DH•sin60°＝1000003（m2），
∴四边形BCFG的最大面积＝100000﹣375003-250003=375003（m2）．
∴存在符合设计要求的面积最大的人工湖BCFG，四边形BCFG的最大面积为375003m2，此时DF的值为200m．
23．（14分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣4（a＞0）．
（1）如图1，将抛物线y＝ax2﹣2ax﹣4在直线y＝﹣4下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点A′恰好在x轴上，求抛物线y＝ax2﹣2ax﹣4的对称轴及a的值；
（2）如图2，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣4（a＞0）的图象记为“G”，与y轴交于点B，过点B的直线与（1）中的图象“W”（x＞1）交于P，C两点，与图象“G”交于点D．
①当a=43时，求PCCD的值；
②当a≠4时，请用合适的式子表示PCPD（用含a的式子表示）．
解：（1）抛物线的对称轴为直线：x=--2a2a，即为x＝1，
当x＝1时根据翻折可知点A的纵坐标为﹣8，即点A的坐标为（1，﹣8），
将点A的坐标代入抛物线表达式得：a﹣2a﹣4＝﹣8，
解得：a＝4，
即抛物线的对称轴为直线x＝1；a＝4
（2）∵a＝4，
∴图象“W”的解析式为：y=4x2-8x-4(x≤0或x≥2)-4x2+8x-4(0＜x＜4)；
①当a=43时，图象“G”的解析式为：y=43x2-83x-4，
设直线BD的解析式为y＝kx﹣4，
当kx﹣4＝4x2﹣8x﹣4时，解得：x＝0或x=2+k4，
∴点C的横坐标为2+k4；
当kx﹣4＝﹣4x2+8x﹣4，解得：x＝0或x=2-k4，
∴点P的横坐标为2-k4，
当kx-4=43x2-83x-4时，解得：x＝0 或x=2+34k，
∴点D的横坐标为2+34k，
如图，作PM∥x轴，过点C作CM⊥x轴交PM于点M，作CN∥x轴，过点D作DN⊥CN交CN于点N，
由各点横坐标可得：PM=2+k4-(2-k4)=k2CN=2+34k-(2+k4)=k2，
∴PM＝CN，
∵PM∥x轴，CN∥x轴，∴PM∥CN，∴∠DCN＝∠CPM，
∵DN⊥CN，CM⊥PM，
∴∠CMP＝∠DNC＝90°，
∴△CPM≌△DCN（ASA），∴PC＝DC，∴PCCD=1；
②当a＞0且a≠4时，图象“G”是解析式为：y＝ax2﹣2ax﹣4，
由①可得点P的横坐标为2-k4，点C的横坐标为2+k4，
当akx﹣4＝ax2﹣2ax﹣4，解得：x=2a+ka，
∴点D的横坐标为：2a+ka；
当0＜a＜4时，如图，作PQ∥x轴，过点C作CQ⊥x轴，交PQ于点Q，过点D作DT⊥x轴交PQ于点T，
由各点横坐标可得：PQ=2+k4-(2-k4)=k2PT=2a+ka-(2-k4)=4k+ak4a，
∵CQ⊥PQ，DT⊥PT，∴CQ∥DT，∴△CPQ∽△DPT，∴PCPD=PQPT=12k4k-ak4a=2a4+a；
当a＞4时，如图，作PQ∥x轴，过点C作CQ⊥x轴，交PQ于点Q，过点D作DT⊥x轴交PQ于点T，
由各点横坐标可得：PQ=2+k4-(2-k4)=k2，PT=2a+ka-(2-k4)=4k+ak4a，
∵CQ⊥PQ，DT⊥PT，∴CQ∥DT，∴△CPQ∽△DPT，
∴PCPD=PQPT=12k4k-ak4a=2a4+a；
综上所述，用含a的式子表示PCCD为2a4+a．尺码
38
39
40
41
42
数量
2
4
5
6
3
7
8
9
9
7
（7，7）
（7，8）
（7，9）
（7，9）
8
（8，7）
（8，8）
（8，9）
（8，9）
9
（9，7）
（9，8）
（9，9）
（9，9）
9
（9，7）
（9，8）
（9，9）
（9，9）
单价x（元）
5
6
7
…
销售量y（瓶）
150
140
130
…