云南省宣威市2024-2025学年高二上学期期中考试数学检测试题（附答案）

这是一份云南省宣威市2024-2025学年高二上学期期中考试数学检测试题（附答案），共18页。试卷主要包含了选择题的作答， 经过两点的直线的倾斜角为，已知平面上两定点A，B，满足，在空间直角坐标系中，，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知两个向量，，且，则的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
2.已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则（ ）
A. B. C. D.
3.在平行六面体中，为的中点，若，则（ ）
A. B. C. D.
4.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（ ）
A. B. C. D.
5. 经过两点的直线的倾斜角为（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
6.已知直线过点，且倾斜角是，则直线的方程是（ ）
A. B. C. D.
7.已知平面上两定点A，B，满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称作阿氏圆．利用上述结论，解决下面的问题：若直线与x，y轴分别交于A，B两点，点M，N满足，，，则直线MN的方程为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知为椭圆上的动点，直线与圆相切，切点恰为线段的中点，当直线斜率存在时点的横坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.在空间直角坐标系中，，则（ ）
A.
B. 点B到平面的距离是2
C. 异面直线与所成角的余弦值
D. 点O到直线的距离是
10.已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，离心率为为上关于原点对称的两点，则（ ）
A. 的标准方程为
B.
C. 四边形的周长随的变化而变化
D. 当不与的上、下顶点重合时，直线的斜率之积为
11.已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一动点，点，则（ ）
A. 抛物线的准线方程为
B. 的最小值为5
C. 当时，则抛物线在点处的切线方程为
D. 过的直线交抛物线于两点，则弦的长度为16
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知实数，则的取值范围是______.
13.在三棱锥中，在线段上，满足是平面内任意一点，，则实数__________.
14.已知椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上的点，若，，则椭圆的离心率等于______.
四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分,第18、19题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，，E是PC的中点，作于点F．求证：
（1）平面EDB；
（2）平面EFD．
16.已知点和点关于直线：对称．
（1）若直线过点，且使得点A到直线的距离最大，求直线的方程；
（2）若直线过点A且与直线交于点，的面积为2，求直线的方程．
17.已知圆C：和定点，直线l：（）.
（1）当时，求直线l被圆C所截得的弦长；
（2）若直线l上存在点M，过点M作圆C的切线，切点为B，满足，求m的取值范围.
18.已知动点到直线的距离比到点的距离大，点的轨迹为曲线，曲线是中心在原点，以为焦点的椭圆，且长轴长为．
（1）求曲线、的方程；
（2）经过点的直线与曲线相交于、两点，与曲线相交于、两点，若，求直线的方程．
19.已知椭圆过点，焦距为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线：与椭圆交于异于的两点，直线分别与直线交于点两点，为坐标原点且，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
答案
一、单选题
1.【正确答案】C
∵，∴，使，得，解得：，所以
故选：C
2.【正确答案】B
.
故选：B.
3.【正确答案】A
由题意可作出平行六面体，如图，

则，
即，故A正确.
故选：A.
4.【正确答案】A
在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为，
故选：A.
5.【正确答案】D
因为直线经过，
所以经过该两点的直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，
因为，所以，
故选：D.
6.【正确答案】C
由于直线过点，且倾斜角是，则直线的方程为，即.
故选：C.
7.【正确答案】A
由题得，，设，
∵，
∴点M在圆：上．
∵，∴，整理得，
∴点M也在圆：上，同理点N也在这两个圆上，
∴MN是这两圆的公共弦，两圆方程作差，得，即直线MN的方程为，
故选：A．
8.【正确答案】A
设，
设直线，且，
则，作差得：，
由，所以，①
因为为直线与圆的切点，所以，②
由①②消去可得，
所以.
故选：A.
二、多选题
9.【正确答案】BD
因为，所以，A错误．
在空间直角坐标系中，结合A与C两点的坐标可知y轴与平面垂直，所以为平面的一个法向量，则点B到平面的距离是，B正确．
因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，C错误．
因为，所以，所以点O到直线的距离是．D正确．
故选：BD.
10.【正确答案】ABD
对于A，由题意知，解得，
故的标准方程为，A正确；
对于B，因为关于原点对称，且也关于原点对称，
所以，
所以
，当且仅当，即时，等号成立，B正确；
对于C，，
故四边形的周长为，为定值，C错误；
对于D，设，则，
因为在上，所以，整理得，
所以，故D正确.

故选：ABD.
11.【正确答案】ABD
对于A，由题意抛物线：的准线方程为，故A正确；
对于B，如图所示：
过点向准线作垂线，设垂足为点，过点向准线作垂线，设垂足为点，
所以，
等号成立当且仅当点与点重合，点为与抛物线的交点，故B正确；
对于C，切点为，且切线斜率存在，所以设切线方程为，
联立抛物线方程得，
所以，解得，
所以当时，则抛物线在点处的切线方程为，故C错误；
对于D，由题意，所以，
所以直线，即，联立抛物线方程得，
所以，，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12.【正确答案】
根据题意，设直线：，设点，
那么点到直线的距离为：，
因为，所以，且直线的斜率，
当直线的斜率不存在时，，所以，
当时， ，
所以，即，
因为，所以，
故答案为.
13.【正确答案】
依题意，，
则
，
由于四点共面，所以.
故答案.

14.【正确答案】
由椭圆定义可得，又，
故，
由余弦定理得，
故，故，
解得，故离心率为，
故答案为.
四、解答题
15.【正确答案】证明 （1）建立如图所示的空间直角坐标系，设，连接AC交BD于点G，连接EG，
可得，，，，
因为底面ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，
故点G的坐标为，所以，
又因为，所以，所以．
而平面，且平面，所以平面．
（2）由（1）得，所以，，
可得，所以，即．
又由，且，所以平面EFD．
16.【正确答案】解 （1）设点
则 ，解得：，所以点关于直线：对称的点的坐标为，
若直线过点，且使得点A到直线的距离最大，则直线与过点的直线垂直，所以，则直线为：，即.
（2）由条件可知：，的面积为2，则的高为，
又点C在直线上，直线与直线 垂直，所以点到直线AB的距离为.
直线方程为，设，则有，即或，
又，解得： 或，
则直线为：或.

17.【正确答案】解 （1）圆C：，圆心，半径，
当时，直线l的方程为，
所以圆心C到直线l的距离，
故弦长为.
（2）设，则，
由，，得.
化简得，
所以点M的轨迹是以为圆心，8为半径的圆.
又因为点M在直线l：上，所以与圆D有公共点，
所以，
解得，
所以m的取值范围是.
18.【正确答案】解 （1）由题意知，点到直线的距离等于，
所以，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，故曲线的方程为.
因为椭圆的长轴长，为椭圆的一个焦点，则，，
所以，，所以，曲线方程为.
（2）若直线的斜率不存在，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
所以，直线的斜率必存在，则直线的方程为
由，整理得，则，
设、，则，，
所以，，则，
由，整理得，
则，
设、，则，，
所以，
，
因为，即，可得，解得，
所以，直线的方程为.
19.【正确答案】解 （1）由椭圆过点，焦距为，得，解得，
则椭圆的方程为.
（2）则消去并整理得，
此时，即，设，
则，
直线的方程为，令，得点的纵坐标，
即点，同理得点，
由，得，即，
于是，
整理得，
则，化简得，
解得或，
当时，直线的方程为，即，直线过定点，不符合题意；
当时，直线方程为，即，直线过定点，
所以直线经过定点.