【数学】云南省宣威市部分学校2025-2026学年高二上学期12月考试试题（学生版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的斜率为（ ）
A. 5B. C. D.
2. 不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
3. 若双曲线的渐近线与圆相切，则（ ）
A. 4B. 5C. 2D. 3
4. （ ）
A. 1B. C. 2D.
5. 若一个正方体内切球的表面积为，则该正方体的棱长为（ ）
A. 3B. 6C. D.
6. 已知函数若函数只有1个零点，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知直线过点且与直线平行，为抛物线上动点，到的准线的距离为到的距离为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 2
8. 若函数在上有最小值，无最大值，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 甲、乙、丙三人选择不同的交通工具各自均从云南大理市出发去昆明市，若在4小时内到达昆明市，则意味着按时到达昆明市，甲、乙、丙三人各自可以按时到达昆明市的概率分别为0.7，0.6，0.5，且甲、乙、丙三人各自是否按时到达昆明市相互独立，则（ ）
A. 这三人都按时到达昆明市概率为0.2
B. 这三人中只有甲按时到达昆明市的概率为0.14
C. 这三人都未按时到达昆明市的概率为0.06
D. 这三人中至少有一人按时到达昆明市的概率为0.84
10. 已知，复数，，点，则（ ）
A. 当的共轭复数为时，P的纵坐标为3
B. 当时，P轨迹是离心率为的椭圆
C. 当的实部为4时，P的轨迹是焦距为的双曲线
D. 当的实部为4时，P的轨迹是短轴长为的椭圆
11. 若的定义域为，是奇函数，且是偶函数，则必有（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，，若中只有个元素，且，则______.
13. 在正三棱锥中，，，D为棱AB的中点，则正三棱锥的体积为______，______，______.
14. 已知双曲线的离心率为，，为上一点，且在第一象限，直线与直线交于点，直线与交于点与关于轴对称，则___________，的最小值为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若，，求的周长.
16. 为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按，，，分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人.
（1）求图中a，b的值并估计B餐厅满意指数的第40百分位数；
（2）利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（3）若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差为2，第四组满意指数的方差为1，估计在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差.（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表
附：若数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，…，的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差.
17. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形．
（1）证明：．
（2）若，，，二面角，求．
18. 已知椭圆C：的长轴长为4，，分别为C的左、右焦点.
（1）求C方程；
（2）设P为C上的动点，延长至点Q，使得，求动点Q的轨迹方程；
（3）设（2）中动点Q的轨迹为曲线，若直线l：与C交于A，B两个不同的点，且l被截得的弦长为，求.
19. 已知抛物线经过点，且为的焦点．
（1）求的坐标．
（2）设为上两个不同的点，且三点不共线，的斜率分别为，且．
（i）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
（ii）证明：存在关于轴对称的两个定点，使得直线过或．