云南省宣威市2024-2025学年高一下学期期中考试数学检测试题（附答案）

这是一份云南省宣威市2024-2025学年高一下学期期中考试数学检测试题（附答案），共17页。试卷主要包含了选择题的作答，复数，如果，那么复数的三角形式是，以下说法正确的是，下列命题正确的是，已知复数，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知四边形中，，并且，则四边形是( )
A. 菱形 B. 正方形 C. 等腰梯形 D. 长方形
2.平面向量，，若，则实数（ ）
A. B. 9 C. D. 7
3.在△ABC中，已知2acs B＝c，sin Asin B(2－cs C)＝sin2＋，则△ABC为（ ）
A. 等腰三角形 B. 钝角三角形C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
4.复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
5.如果，那么复数的三角形式是( )
A. B.
C. D.
6.直三棱柱的各个顶点都在同一个球面上，若则此球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
7.以下说法正确的是（ ）
A. 是平面外的一条直线，则过且与平行的平面有且只有一个
B. 若夹在两个平面间的三条平行线段长度相等，则这两个平面平行
C. 平面内不共线的三点到平面的距离相等，则
D. 空间中三点构成边长为2的正三角形，则与这三点距离均为1的平面恰有两个
8.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则（ ）
A. 该圆锥的侧面积为 B. 该圆锥的体积为
C. 的面积为 D.
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列命题正确的是（ ）
A. 若向量共线，则必在同一条直线上
B. 若为平面内任意三点，则
C. 若点为的重心，则
D. 已知向量，若，则
10.已知复数，则（ ）
A.
B.
C. 复数z在复平面内对应的点在直线上
D. 若复数满足，则的最大值为
11.正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，则（ ）
A. 直线与直线垂直
B. 平面截正方体所得的截面面积为
C. 三棱锥的体积为2
D. 点与点G到平面的距离相等
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，且，那么是____________三角形.
13.已知的内角所对的边分别为a、b、c，，为边上一点，满足，且．则的最小值为______．
14.如图，已知直四棱柱的底面是边长为4的正方形，点M为CG的中点，点P为底面上的动点，若存在唯一的点P满足，则________.
四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分,第18、19题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.在中，是重心，直线过点，交于点，交于点.
（1）求；
（2）若为正实数，求的最小值.
16.对任意一个非零复数，定义集合．.
（1）设是方程的一个根，试用列举法表示集合；
（2）若复数，求证．
17.已知正三棱锥中，点在线段上，且．
（1）求边长；
（2）求正三棱锥内切球的半径．
18.已知四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其他四个侧面都是腰长为的等腰三角形，点为的重心.
（1）求证：；
（2）经过点及直线作截四棱锥的截面，设截面平面，请画出直线，判断直线与平面的位置关系，并进行证明；
（3）求二面角的余弦值.
如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作叫做复数的三角形式．复数三角形式的乘法公式：．棣莫佛提出了公式：，其中.
（1）已知，求的三角形式；
（2）已知为定值，，将复数化为三角形式；
（3）设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为，求复数所对应不同点的个数．
答案
一、单选题
1.【正确答案】A
由题意，四边形中，
因为，可得且，所以四边形为平行四边形，
又因为，可得，
所以四边形为菱形.
故选：A.
2.【正确答案】B
由题意得，
因为，所以即，解得.
故选：B.
3.【正确答案】D
因为，由余弦定理，得到，
整理化简，得，即，
所以为等腰三角形，，且A、B均为锐角，
又因为，
由降幂公式得到，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，解得，
所以，所以.
综上诉述，为等腰直角三角形.
故选：D.
4.【正确答案】D
因为复数（，为虚数单位）的共轭复数是，所以复数（为虚数单位）的共轭复数是.
5.【正确答案】A
因为，，
所以.
故选：A.
6.【正确答案】A
在中，由余弦定理可得：，故.设外接圆的半径为，由正弦定理得: ,故
由于直三棱柱的外接球的球心位于上下底面外接圆圆心连线的中点，且球心到各顶点的距离相等。已知，设该直三棱柱的外接球的半径为，
所以其外接球半径，得外接球的半径.故球的表面积为.
故选：A.
7.【正确答案】D
当与相交时，则过的平面必与平交，故选项A错误；
三条平行线段共面时，两平面可能相交也可能平行，当三条平行线段不共面时，两平面一定平行，故选项B错误；
当与相交时，也存在平面内不共线的三点(可以分布在平面的两侧，但点都在平面内)到平面的距离相等，故选项C错误；
D：空间中三点构成边长为2的正三角形，与这三点距离均为1的平面恰有两个，
且这两个平面分别在的两侧，故选项D正确.
故选：D.
8.【正确答案】D
依题意，，，则，
对于选项A，圆锥的侧面积为，故选项A错误；
对于选项B，圆锥的体积为，故选项B错误；
对于选项C、D，设是的中点，连接，则，
则是二面角的平面角，则，
所以，故，则，，
所以故选项C错误，选项D正确.
故选：D.
二、多选题
9.【正确答案】BC
对于A选项，因为向量可以任意平移，若向量，共线，A，B，C，D不一定在同一直线上，故A错误；
对于B选项，由向量线性运算法则，故B正确；
对于C选项，由重心性质知，故C正确；
对于D选项，∵，，∴，
整理得，故D错误.
故选：BC.
10.【正确答案】BC
已知，分母实数化.
A项，共轭复数，A错.
B项，，B对.
C项，对应复平面内点，而，故在直线上，C对.
D项，，对应点轨迹是以原点为圆心为半径的圆，对应点，到原点距离，最大值为，D错.
综上，答案是BC.
11.【正确答案】BD
如图1：
对于A：正方体的棱长为2，且，，分别为，，的中点，
.
若，又,
平面,
又
平面.
在正方体中，面,则过A点有两条直线AB、AE与面垂直，这“过一点有且只有一条直线与已知平面垂直”相矛盾，则A错误；
对于B：连结,
，，分别为，的中点，面截正方体所得的截面为等腰梯形,
由正方体边长为2，得
则等腰梯形的高为,
故等腰梯形的面积为，则B正确；
对于C：三棱锥的体积：,则C错误；
对于D:取的中点H，连结,
,平面AEF, 平面AEF,
平面AEF；同理可证：平面AEF.
因为,所以平面平面AEF，所以点与点G到平面的距离相等.
则D正确.
故选：BD.
三、填空题
12.【正确答案】等边三角形
由，整理得，，
故，
又A为的内角，所以，
又，由正弦定理得到：，
所以，整理得，即，
所以该三角形是等边三角形．
13.【正确答案】9
因为，所以平分．
又因为，所以在中由，则，
化简得，即，所以．
因为，故，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9．
故答案为9．
14.【正确答案】4
直四棱柱的底面是边长为4的正方形，
以线段为球直径构造球，则点与球上任意一点（除外）均能构成直角，
因此该球与平面有且只有唯一P点相切，使得，
取线段中点，连接，则平面，而平面，
由线面垂直的性质定理得，且，，
在直角梯形中，,，，
则，所以.
故4.
四、解答题
15.【正确答案】解：（1）由题意设重心，由重心坐标公式得：，
又因为，所以，进而.
（2）由，得，
所以，
因为三点共线，所以.
则
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为6.
16.【正确答案】解：（1）由，得，
由求根公式得，，
当时，，，
，
当时，，，
．
综上所述，.
（2），
存在，使得．
于是对任意，，
由于是正奇数，，
.
17.【正确答案】解：（1）由三棱锥为正三棱锥得，
∵，∴，
又∵，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，整理得，解得，
∴．
（2）由（1）得，
设点为△的重心，则，

∴，
设正三棱锥内切球的半径为，设为正三棱锥内切球的球心，
由图得
∴，
∴，
∴．
18.【正确答案】解：（1）连接，，连接，四边形为正方形，
，且为中点，又，，
，平面，且，
平面，而平面，
；
（2）在平面内，过点作的平行线，即为所求的直线，且平面．
证明如下：，，
，则与确定唯一平面；则所画直线即为截面与平面的交线，
平面，平面，
平面；
（3）由（1）知平面，平面，
，过点作，为垂足，连接，
，，平面,
平面，平面，
，且平面,平面,
为二面角的平面角，
由题意可知四棱锥为正四棱锥，平面，故平面，平面，故,
，，
，，
根据等面积法知；则，
在直角中，有，，
二面角的余弦值为．
19.【正确答案】解：（1）因为
所以.
（2）.
（3）正二十边形每边所对的中心角为，设（为常数），
则，
所以
由周期性可知，共有5个不同的值，
故复数所对应不同点的个数为5．