天津市和平区2024-2025学年高二下学期3月月考数学检测试题（附答案）

这是一份天津市和平区2024-2025学年高二下学期3月月考数学检测试题（附答案），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共9小题，每小题4分，共36分.
1. 设是可导函数,且满足,则曲线在点处的切线斜率为
A. 4B. -1C. 1D. -4
【正确答案】D
【分析】
由已知条件推导得到f′（1）=-4，由此能求出曲线y=f（x）在（1，f（1））处切线的斜率．
【详解】由，
得，
∴曲线在点处的切线斜率为-4，
故选：D.
本题考查导数的几何意义及运算，求解问题的关键，在于对所给极限表达式进行变形，利用导数的几何意义求曲线上的点的切线斜率，属于基础题.
2. 在（x﹣2）5的展开式中，x2的系数为（ ）
A. ﹣40B. 40C. ﹣80D. 80
【正确答案】C
【分析】
由题意利用二项展开式的通项公式，求得x2的系数．
【详解】在（x﹣2）5的展开式中，含x2的项为，
故x2的系数为：﹣80．
故选：C.
本题主要考查了利用二项式定理求指定项的系数，属于基础题.
3. 一个物体的位移(米)与时间(秒)的关系式为，则该物体在3秒末位移的瞬时变化率是（ ）
A. 6米/秒B. 5米/秒C. 4米/秒D. 3米/秒
【正确答案】C
【分析】首先求出函数的导数，求出时的导数值，利用导数的定义即可求解.
【详解】由题意可知：物体的位移(米)与时间(秒)的关系式为，则，
当时，，即3秒末位移的瞬时变化率是米/秒.
故选：C.
4. 若是函数的导函数，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】首先求出的导数，然后令，解方程即可解.
【详解】根据题意，，
所以，
令，得，
解得，所以，
则.
故选：A
5. 为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从4名男教师和5名女教师中，选取3人，组成创文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有
A. 140种B. 84种C. 70种D. 35种
【正确答案】C
【分析】通过算没有限制时的总数，减去全是男生或全是女生的情况数即可得解.
【详解】从4名男教师和5名女教师中，选取3人，共有种情况.
若全为男生，共有种情况；若全为女生，共有种情况.
所以若男女至少各有一人，则不同的选法共有
故选C.
本题主要考查了组合问题，用到了正难则反的思想，属于基础题.
6. 从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法共有（ ）种
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据给定条件，利用排除法列式计算得解.
【详解】从这人中任选人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员有种方法，其中甲乙两人都入选的方法为种.
所以甲乙两人不都入选的不同选法共有种.
故选：C
7. 函数的导函数的图象如图所示，给出下列选项正确的是（ ）
A. 是函数的极大值点；
B. 是函数的最小值点；
C. 区间上单调递增；
D. 在处切线的斜率小于零．
【正确答案】C
【分析】利用函数的导函数的图象对A，B，C，D四个选项逐个判断即可．
【详解】解：由函数的导函数的图象可知，
A．左侧的导数小于0，而右侧的导数大于0，所以是函数的极小值点，故错误，不符合题意；
B．左侧的导数大于0，右侧的导数大于0，不是函数的最小值点，故B错误，不符合题意；
C．当时，，单调递增，故C正确，符合题意；
D．由图象得，所以在处切线的斜率大于零，故D错误，不符合题意；
故选：C．
8. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】求出函数的导数，通过在上单调递减，列出不等式然后通过函数的最值求解实数的取值范围.
【详解】由题意知在上恒成立，
所以在上恒成立.
令，所以，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递琙，
所以，所以，解得，
即的取值范围是.
故选：C.
9. 已知函数，，若有4个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由题意可得x=0为1个零点，只需要x0时，，即y=a与y有3个交点且交点的横坐标不为0，作出y的图象，即可得出结论．
【详解】当x=0时，g(0)=f(0)-0=0，当时，由题意可得，即y=a与y有3个交点且交点的横坐标不为0，
令h(x)=,令h′（x）=，则x=，
所以h(x)在（0，）单调递增，在（）上单调递减，
∴y的大致图像如图：
又h()=
若y=a与y有3个交点且交点的横坐标不为0，则，
故选B.
本题考查分段函数的零点，考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了分析转化问题的能力，属于中档题．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.
10. 的展开式的二项式系数和为32，则其展开式中项系数为______；在二项式的展开式中，含项的二项式系数为_____
【正确答案】 ①. ②. 10
【分析】根据二项式系数和及通项公式求解即可.
【详解】因为的展开式的二项式系数和为32，
所以，解得，
所以展开式的通项公式为，
令，可得，即展开式中项系数为；
二项式的展开式中，
令，可得，即展开式中含项的二项式系数为.
故
11. 若函数在处取得极大值，则的极小值为______
【正确答案】
【分析】先求得，根据题意，得到，求得，得到，求得的单调区间，进而求得函数的极小值，得到答案.
【详解】由函数，可得，
因为函数在处取得极大值，可得，
即，解得，
将，代入可得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以时，函数取得极小值，极小值为.
故答案为.
12. 用数字、、、、、、组成没有重复数字的且被整除的三位数的个数为_____.
【正确答案】
【分析】将个数字分为三类，被整除的有、、，被除余数为的有：、，被除余数为的有：、，先确定所选的三个数字，然后确定首位不能排，结合分类加法计数原理可得结果.
【详解】数字、、、、、、中被整除的有、、，
被除余数为的有：、，被除余数为的有：、，
若所选的个数均能被整除，即所选的三个数为、、，则三位数的首位不能放，
此时，首位数有两种选择，此时，共有个合乎条件的三位数；
若在、中选一个数，在、中选一个数，则需在、、中选一个数，
若在、、中选择，则三位数的首位不能排，首位有两种选择，
此时，满足条件的三位数个数为；
若在、、中选择为或，则首位任排，
此时，满足条件的三位数的个数为.
综上所述，满足条件的三位数的个数为.
故答案为.
13. 用种不同的颜色给图中个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且最多用色，涂色方法有______种.
【正确答案】
【分析】利用间接法，先考虑用种不同的颜色给图中个格子涂色的方法种数，减去个格子的颜色各不相同的涂色方法种数，即可得解.
【详解】利用间接法，用种不同的颜色给图中个格子涂色，每个格子涂一种颜色，
要求相邻的两个格子颜色不同，共有种不同的涂色方法；
若每个格子颜色各不相同，共有种不同的涂色方法.
综上所述，满足条件的涂色方法种数为.
故答案为.
14. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是______.
【正确答案】
【分析】利用导数转化为能成立问题，分离参数法求解即可.
【详解】因为（），所以.
函数在区间内存在单调递增区间，则在上有解.
由.
设，则在上单调递增，所以.
所以.
故
15. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确有______．（填序号）
（1）如果甲、乙必须相邻，那么不同的排法有24种.
（2）最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种.
（3）甲、乙不相邻的排法种数为72种.
（4）甲在乙左边的排列的排法有30种.
【正确答案】（2）（3）
【分析】由相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法，定序问题倍缩法，特殊元素优先考虑，逐个求解判断即可.
【详解】对于（1），甲，乙必须相邻，将甲，乙捆绑到一起有种方法，
看成一个大元素然后与其他人排成一排有种方法，故共有种，故（1）错误；
对于（2），若最左端排甲，则有种方法，
若最左端排乙，则最右端不能排甲，则有种方法，
所以共有种方法，故（2）正确；
对于（3），甲乙不相邻，先把其他人排成一排有种方法，有个空，
然后将甲乙插空有种方法，故共有种，故（3）正确；
对于（4），甲在乙左边是定序问题，所以共有种，故（4）错误.
故（2）（3）
三、解答题：本题共5小题，共60分.
16. 求下列函数导数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
【正确答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析 （3）答案见解析
（4）答案见解析
【分析】（1）根据两个函数乘积的导数运算法则可得结果.
（2）根据两个函数和的导数运算法则可得结果.
（3）根据两个函数商的导数运算法则可得结果.
（4）利用对数函数的求导公式及复合函数求导法则计算.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
【小问3详解】
.
【小问4详解】
17. 已知函数.
（1）求在处的切线方程；
（2）求的极值.
【正确答案】（1）
（2）有极大值为，无极小值
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，点斜式得出切线方程；
（2）求出导函数的零点，列表即可得出函数的极值.
【小问1详解】
，
，又，
在处的切线方程为，
即切线方程为.
【小问2详解】
令，解得，
当x变化时，，的变化情况如下表所示，
当时，有极大值，并且极大值为，无极小值.
18. （1）已知，，求的值；
（2）计算.
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由指数式与对数式的互化得出，再利用对数的运算性质可求得的值；
（2）利用对数的运算性质、换底公式以及根式的运算性质计算可得所求代数式的值.
【详解】（1）因为，则，
故；
（2）原式
.
19. 已知函数，，
（1）求的单调区间和极值点；
（2）求使恒成立的实数的取值范围.
【正确答案】（1）在上单调递减，在上单调递增. 函数有极小值点.
（2）
【分析】（1）求导，利用导函数的符号，求函数的单调区间和极值点.
（2）把问题转化成在上恒成立，设，利用导数分析函数单调性，求函数的最大值即可.
【小问1详解】
因为（），所以.
由；由.
所以函数上单调递减，在上单调递增.
所以函数有极小值点.没有极大值点.
【小问2详解】
由恒成立（）恒成立.
即（）恒成立.
设（），则.
由；由.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以的最大值为.
所以.
所以实数的取值范围是.
20. 已知函数.
（1）当时，求函数在的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）证明：当时，.
【正确答案】（1）
（2）答案见解析 （3）证明见解析
【分析】（1）当时, ，，求出，，即可写出点处的切线方程.
（2）求出导函数后，对参数与进行讨论，分别求出对应情况下的单调区间.
（3）要证，即证，求出，再构造新函数求证即可.
【小问1详解】
当时, ，所以.
得，点处的切线斜率为，
所以函数的图像在点处的切线方程为：，
即.
【小问2详解】
由得，
当时，恒成立，则在上单调递减；
当时，令得，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增.
综上所述，
当时， 在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【小问3详解】
由（2）可知，当时，
的最小值.
要证，
只需证
只需证
设
则，令得.
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增.
所以在处取最小值，且，
所以得证，
即得证.x
2
0
单调递增
单调递减