【精心编制】八年级数学下期中模拟测试卷（解析版+原卷版）-2024-2025学年八年级数学下重难点专题突破及提优测试卷（人教版）

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一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列计算中正确的是（ ）
A．3+2=5B．3⋅2=6
C．(3)2=9D．(−5)2=−5
【思路引领】利用二次根式的加法，乘法计算法则和二次根式的性质求解判断即可．
【完整解答】解：A、3与2不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；
B、3⋅2=6计算正确，符合题意；
C、(3)2=3计算错误，不符合题意；
D、(−5)2=5计算错误，不符合题意；
故选：B．
【总结提升】本题考查了二次根式的加法和乘法计算，二次根式的性质化简，掌握二次根式的相关性质和运算法则是关键．
2．下列四个图象中，y不是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【思路引领】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断．
【完整解答】解：由函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，
选项A、B、C中的图象，y是x的函数，故A、B、C不符合题意；
选项D中的图象，y不是x的函数，故D符合题意．
故选：D．
【总结提升】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义．
3．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．8，15，17B．1.5，2，2.5C．5，8，10D．3，4，6
【思路引领】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数判定则可．
【完整解答】解：A、82+52≠172，不能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意
B、1.5，2，2.5不都是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
C、82+52＝102，能构成直角三角形，故是勾股数，符合题意；
D、32+42≠62，能构成直角三角形，故是勾股数，符合题意．
故选：C．
【总结提升】本题考查了勾股数的定义，注意：一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方．
4．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．−5B．3C．39D．a
【思路引领】根据二次根式的定义直接判断即可．
【完整解答】解：A．∵﹣5＜0，
∴−5不是二次根式，
故A选项不符合题意；
B．∵3＞0，
∴3一定是二次根式，
故B选项符合题意；
C.39不是二次根式，
故C选项不符合题意；
D．当a＜0时，a不是二次根式，
故D选项不符合题意．
故选：B．
【总结提升】本题考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解答本题的关键．
5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠BAD＝90°B．∠BAD＝∠ABCC．∠BAO＝∠OBAD．∠BOA＝90°
【思路引领】根据矩形的判定方法进行分析即可．
【完整解答】解：A、∠BAD＝90°，由一个角为直角的平行四边形是矩形知，平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
B、∵在平行四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC＝180°，又∠BAD＝∠ABC，则∠BAD＝∠ABC＝90°，则平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
C、∵∠BAO＝∠OBA，∴OA＝OB，又OA=12AC，OB=12BD，则AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形知，平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
D、∠BOA＝90°能判定平行四边形平行四边形ABCD为菱形，不能判定它为矩形，故此选项符合题意．
故选：D．
【总结提升】本题考查了平行四边形的性质，矩形与菱形的判定，掌握矩形的判定方法是关键．
6．点P1（x1，y1），点P2（x2，y2）是一次函数y＝kx+b（k＜0）图象上两点，x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定
【思路引领】先根据一次函数y＝kx+b（k＜0）判断出此函数的增减性，再根据x1＜x2即可得出y1与y2的大小关系．
【完整解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k＜0），
∴此函数中y随x的增大而减小，
∵x1＜x2，
∴y1＞y2．
故选：A．
【总结提升】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的性质是解答此题的关键．
7．如图，在平行四边形ABCD中，AB≠AD，∠A＝α（0°＜α＜180°），点E，F，G，H分别是AB、BC、CD、DA的中点，连接EF，FG，GH，HE，当α从锐角逐渐增大到钝角的过程中，四边形EFGH的形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→菱形→平行四边形
B．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形
C．平行四边形→矩形→平行四边形
D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形
【思路引领】根据三角形中位线，得到EHI\FG，EH＝FG=12BD，EF＝HG=12AC，进而得到四边形EFGH是平行四边形，当a＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，AC＝BD，进而得到EH＝FG=12BD＝EF＝HG=12AC，此时平行四边形EFGH是菱形，由FH＝AB，EG＝AD，AB≠AD，得到FH≠EG，平行四边形EFGH不可能是矩形或正方形，即可求解，
【完整解答】解：连接AC、BD、EG、FH，
∵点E，F，G，H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH∥BD，EH=12BD，FG∥BD，FG=12BD，EF//AC，EF=12AC，HG∥AC，HG=12AC，
∴EH∥FG，EH＝FG=12BD，
∴EF＝HG=12AC，
∴四边形EFGH是平行四边形，
当a＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，AC＝BD，
∴EH＝FG=12BD＝EF＝HG=12AC，
∴平行四边形EFGH是菱形，
∵FH＝AB，EG＝AD，AB≠AD，
∴FH≠EG，
∴平行四边形EFGH不可能是矩形或正方形，
故选：A．
【总结提升】本题考查了三角形的中位线，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握相关判定定理．
8．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了“赵爽弦图”，流传至今．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，设每个直角三角形的两条直角边分别为a，b（a＞b），斜边为c，给出下面三个结论：①a+b＞c；②（a+b）2＞4ab；③2(a+b)＜2c．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【思路引领】根据三角形三边关系可判断①正确；求出（a+b）2与4ab的差即可得出②正确；将不等式两边平方再相减即可得出③正确．
【完整解答】解：①由三角形的两边之和大于第三边可知a+b＞c，故①正确；
②∵（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，a＞b，
即（a+b）2＞4ab，故②正确；
③∵a2+b2＝c2，
∴[2（a+b）]2﹣（2c）2
＝2（a+b）2﹣4（a2+b2）
＝2a2+4ab+2b2﹣4a2﹣4b2
＝﹣2a2﹣2b2+4ab
＝﹣2（a﹣b）2≤0，
又a＞b，且a、b、c都大于0，
∴2（a+b）与2c都大于0，
∴﹣2（a﹣b）2＜0，
即2(a+b)＜2c．故③正确；
故选：D．
【总结提升】本题考查了勾股定理的证明，将不等式两边相减求差是解题的关键．
9．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，沿D→C→B→A的路线匀速移动，设P点经过的路线长为x，三角形APD的面积为y，则能大致反映y与x的函数关系的是选项中的（ ）
A．B．
C．D．
【思路引领】根据动点从点D出发，首先向点C运动，此时y随x的增加而增大，当点P在DC上运动时，y不变，当点P在AB上运动时，y随着x的增大而减小，据此作出选择即可．
【完整解答】解：当点P由点D向点C运动，
即0≤x≤4时，y=12AD•x=12×4x＝2x；
当点P在BC上运动，即4＜x≤8时，y=12×4×4＝8，是一个定值；
当点P在BA上运动，即8＜x≤12时，y随x的增大而减小．
故选：B．
【总结提升】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势．
10．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（ ）
A．12＜t≤1B．1＜t≤2
C．12≤t≤2D．12≤t≤2且t≠1
【思路引领】由y＝tx+2t+2＝t（x+2）+2（t＞0），得出直线y＝tx+2t+2（t＞0）经过点（﹣2，2），如图，当直线经过（0，3）或（0，6）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，当直线经过（0，4）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，分别求得这三种情况下的t的值，结合图象即可得到结论．
【完整解答】解：∵y＝tx+2t+2＝t（x+2）+2（t＞0），
∴直线y＝tx+2t+2（t＞0）经过点（﹣2，2），如图，
当直线经过（0，3）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，
则3＝2t+2，解得t=12；
当直线经过（0，6）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，
则6＝2t+2，解得t＝2；
当直线经过（0，4）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，
则4＝2t+2，解得t＝1；
∴直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是12≤t≤2且t≠1，
故选：D．
【总结提升】本题考查一次函数图象和性质，区域整数点；能够根据函数解析式求得直线恒经过的点，并能画出图象，结合图象解题是关键．
二．填空题（共8小题，满分30分）
11．若y=x−2+2−x+3，则xy的立方根是 2 ．
【思路引领】根据二次根式有意义的条件求出x的值，代入求出y的值，求出yx的值，求平方根即可．
【完整解答】解：根据二次根式有意义的条件得：
x﹣2≥0，2﹣x≥0，
∴x＝2，
∴y＝3，
∴xy＝23＝8，
∴8的立方根为2，
故答案为：2．
【总结提升】本题考查了二次根式有意义的条件，平方根，正确掌握如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数是解题的关键．
12．已知一次函数y＝kx+b的图象平行于直线y＝﹣3x+6，且经过（0，7），则一次函数的表达式为 y＝﹣3x+7 ．
【思路引领】先利用两直线平行问题得到k＝﹣3，然后把（0，7）代入y＝﹣3x+b求出b的值即可．
【完整解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与y＝﹣3x+6平行，
∴k＝﹣3，
∵一次函数y＝﹣3x+b的图象经过点（0，7），
∴b＝7，
∴一次函数表达式为y＝﹣3x+7，
故答案为：y＝﹣3x+7．
【总结提升】本题考查了两直线平行的问题，熟记两平行直线的解析式的k值相等是解题的关键．
13．（4分）如图，AD是△ABC的中线，M是AD的中点，延长BM交AC于点N，若AC＝4，则AN＝ 43 ．
【思路引领】过D作DE∥BN交AC于E，根据三角形中位线定理即可得到结论．
【完整解答】解：过D作DE∥BN交AC于E，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴CE＝EN，
∵M是AD的中点，DE∥BN，
∴AN＝EN，
∴AN＝EN＝CE=13AC，
∵AC＝4，
∴AN=43．
故答案为：43．
【总结提升】本题考查了三角形中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
14．（4分）如图在▱ABCD中，AE⊥BC于E，且AD＝AE．连接DE，过A作AF⊥AB交ED于F，在AB上截取AG＝AF，连接DG，点H为GD中点，连接AH，AH＝3，DF＝4，则AF＝ 26 ．
【思路引领】延长AH交CD于T，连接EG，GF．想办法证明∠GEF＝90°，EG＝DF，EF＝AT＝2AH即可解决问题．
【完整解答】解：如图，延长AH交CD于T，连接EG，GF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠AGH＝∠TDH，
∵∠AHG＝∠THD，HG＝HD，
∴△AHG≌△THD（ASA），
∴AH＝TH，AG＝DT，
∵AE⊥BC，AD∥BC，
∴AE⊥AD，
∵AF⊥AG，
∴∠EAD＝∠GAF．
∴∠GAE＝∠FAD，
∵AD＝AE，AF＝AG，
∴△GAE≌△FAD（SAS），
∴DF＝GE，∠AEG＝∠ADE＝45°，
∵∠AED＝45°，
∴∠GEF＝90°，
∴EG2+EF2＝FG2＝2AF2，
∵∠BAE+∠B＝90°，∠BAE+∠EAF＝90°，
∴∠B＝∠EAF，
∵∠B＝∠ADT，
∴∠EAF＝∠ADT，
∵AG＝AF，AG＝DT，
∴AF＝DT，
∵AE＝AD，
∴△EAF≌△ADT（SAS），
∴EF＝AT＝2AH，
∴DF2+4AH2＝2AF2．
∵AH＝3，DF＝4，
∴AF=26，
故答案为：26．
【总结提升】考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题学会利用轴对称解决最短问题，属于中考压轴题．
15．（4分）如图，一架梯子AB长5米，底端离墙的距离BC为3米，当梯子下滑到DE
时，AD＝1米，则BE＝ 1 米．
【思路引领】在Rt△ABC中，根据勾股定理得出AC，进而得出DC，利用勾股定理得出CE，进而解答即可．
【完整解答】解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，可得：AC=AB2−BC2=52−32=4（米），
∴DC＝AC﹣AD＝4﹣1＝3（米），
在Rt△DCE中，CE=DE2−DC2=52−32=4（米），
∴BE＝CE﹣BC＝4﹣3＝1（米），
故答案为：1．
【总结提升】本题考查了勾股定理的应用，本题中正确的使用勾股定理求CE的长度是解题的关键．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为AD上一动点，连接BE．将△ABE沿BE折叠，当点A恰好落在矩形ABCD的对角线上时，AE的长为 3或92 .
【思路引领】分两种情况讨论，由勾股定理可求BD长，由折叠的性质可得AB＝A'B＝6，∠A＝∠BA'E＝90°，AE＝A'E，由勾股定理或锐角三角函数定义求AE的长．
【完整解答】解：分两种情况：
①如图1，当点A'在BD上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝8，
∴BD=AB2+AD2=62+82=10，
由折叠的性质得：AB＝A'B＝3，∠A＝∠BA'E＝90°，AE＝A'E，
∴A'D＝BD﹣A'B＝10﹣6＝4，
∵DE2＝A'E2+A'D2，
∴（8﹣AE）2＝AE2+42，
解得：AE＝3；
②如图2，点A'在AC上时，
由折叠的性质得，BE⊥AC，
∴∠ACB+∠EBC＝90°，且∠ABE+∠EBC＝90°，
∴∠ABE＝∠ACB，
∴AEAB=ABBC，
即AE6=68，
解得：AE=92；
综上所述，AE的长为3或92，
故答案为：3或92．

【总结提升】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数定义以及分类讨论等知识，熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质，进行分类讨论是解题的关键．
17．（4分）一次函数y＝kx+k﹣1无论k取何值，它的图象总是过一个定点，此点坐标为 （﹣1，﹣1） ．
【思路引领】根据题意，将一次函数改写为关于k的关系式，再令k的系数为零即可解决问题．
【完整解答】解：由题知，
因为无论k取何值，一次函数的图象总是过一个定点，
则y＝（x+1）k﹣1，
当x+1＝0，即x＝﹣1时，
y＝﹣1，
所以此点的坐标为（﹣1，﹣1）．
【总结提升】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系及一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．
18．（4分）如图，在正方形ABCD中，O为对角线交点，过O作OE⊥OF交BC于E，交DC于F，连接EF，当∠AOE＝120°，CF=2时，则EF＝ 22 ．
【思路引领】由“ASA”可证△BOE≌△COF，可得OE＝OF，由等腰直角三角形的性质可求CH＝FH＝1，由直角三角形的性质可求解．
【完整解答】解：如图，过点F作FH⊥AC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BO＝CO，∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°＝∠BOC，
∴∠BOE＝∠COF，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∵∠AOE＝120°，
∴∠BOE＝30°＝∠COF，
∵FH⊥AC，∠ACD＝45°，
∴△CHF是等腰直角三角形，
∴CH＝HF=22CF＝1，
∴OF＝2FH＝2，
∴EF=2OF＝22，
故答案为：22．
【总结提升】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分90分）
19．（10分）计算：
（1）52+8−718；
（2）48+3−215×60+(2−3)2022(2+3)2024．
【思路引领】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）先化简，然后计算乘法，最后算加减法即可．
【完整解答】解：（1）52+8−718
＝52+22−212
＝﹣142；
（2）48+3−215×60+(2−3)2022(2+3)2024
＝43+3−212+[（2−3）（2+3）]2022×（2−3）2
＝43+3−43+（4﹣3）2022×（4﹣43+3）
＝43+3−43+12022×（7﹣43）
＝43+3−43+1×（7﹣43）
＝43+3−43+7﹣43
＝﹣33+7．
【总结提升】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20．（10分）如图，某县内连接三个乡镇A、B、C之间的公路分别是AB＝6km，AC＝8km，BC＝10km．鉴于三个乡镇之间地势平坦，为构建乡镇交通网络，方便群众出行，该县计划从A镇新修一条公路直达公路BC，该段公路造价为10万元/km．
（1）判断公路AB和AC的位置关系，并说明理由；
（2）求新修的公路的最低造价．
【思路引领】（1）由勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°，即可得出结论；
（2）过点A作AD⊥BC于点D，AD最短，造价最低．由三角形面积求出AD的长，即可解决问题．
【完整解答】解：（1）AB⊥AC，理由如下：
∵AB＝6km，AC＝8km，BC＝10km，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC；
（2）如图，过点A作AD⊥BC于点D，
则AD最短，造价最低．
∵S△ABC=12AB•AC=12BC•AD，
∴AD=AB⋅ACBC=6×810=4.8（km），
∴4.8×10＝48（万元），
答：新修的公路的最低造价为48万元．
【总结提升】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
21．（10分）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b（k≠0）经过（0，4），（1，2）两点．
（1）求直线的函数解析式；
（2）若y＝kx+b与另一条直线y=12x+2交于一点，求两条直线与y轴围成的图形面积．
【思路引领】（1）根据点的坐标，利用待定系数法，即可求出直线的函数解析式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出直线y=12x+2与y轴的交点坐标，联立两直线的函数解析式成方程组，解之可求出两直线交点的坐标，再利用三角形的面积公式，即可求出两条直线与y轴围成的图形面积．
【完整解答】解：（1）将（0，4），（1，2）代入y＝kx+b得：b=4k+b=2，
解得：k=−2b=4，
∴直线的函数解析式为y＝﹣2x+4；
（2）当x＝0时，y=12×0+2＝2，
∴直线y=12x+2与y轴交于点（0，2）．
联立两直线的函数解析式成方程组：y=−2x+4y=12x+2，
解得：x=45y=125，
∴两条直线与y轴围成的图形面积为12×（4﹣2）×45=45．
【总结提升】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出两直线的交点坐标．
22．（10分）如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，BO平分∠ABC，过点A作AD∥BC交BO的延长线于D，连接CD，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于E．
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）若DE＝10，sin∠DAO=55，求四边形ABCD的面积．
【思路引领】（1）先利用等腰三角形的三线合一性质可得AO＝CO，再利用平行线的性质可得∠DAO＝∠ACB，∠ADO＝∠CBO，从而利用AAS证明△ADO≌△CBO，进而可得DO＝BO，再利用对角线互相平分线的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，然后利用菱形的定义可得四边形ABCD是菱形，即可解答；
（2）根据菱形的性质得出BD⊥AC，则DE∥AC，结合平行线的性质得出∠DAO＝∠E，进而得出sinE=55，解直角三角形求出BD＝5，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”求出四边形ACED是平行四边形，根据平行四边形的性质求出AC＝10，再根据“菱形的面积等于两条对角线乘积的一半”求解即可．
【完整解答】解：（1）四边形ABCD是菱形，理由如下：
∵AB＝BC，BO平分∠ABC，
∴AO＝CO，
∵AD∥Bc，
∴∠DAO＝∠ACB，∠ADO＝∠CBO，
∴△ADO≌△CBO（AAS），
∴DO＝BO，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∵DE⊥BD，
∴DE∥AC，
∴∠ACB＝∠E，
∵∠DAO＝∠ACB，
∴∠DAO＝∠E，
∵sin∠DAO=55，
∴sinE=55，
在Rt△BDE中，sinE=BDBE，
∴BDBE=55，
∴BE=5BD，
∵BD2+DE2＝BE2，DE＝10，
∴BD2+102=(5BD)2，
∴BD＝5（负值已舍），
∵DE∥AC，AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝DE＝10，
∴菱形ABCD的面积=12AC•BD=12×10×5＝25．
【总结提升】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，解直角三角形，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
23．（10分）一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，2）和B（2，﹣2）．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）画出一次函数y＝kx+b的图象；
（3）结合图象回答：当y＜0时，x的取值范围是 x＞1 ．
【思路引领】（1）根据点的坐标利用待定系数法即可求出函数表达式；
（2）令y＝0求出x的值，根据一次函数图象与坐标轴的交点坐标即可画出函数图象；
（3）寻找到函数图象在x轴下方时x的取值范围，此题得解．
【完整解答】（1）将（0，2）和（2，﹣2）分别代入y＝kx+b（k≠0），得：
b=22k+b=−2，
解得k=−2b=2，
∴这个一次函数的表达式为：y＝﹣2x+2；
（2）画出函数图象如图所示：
（3）观察函数图象发现：
当x＞1时，函数图象在x轴下方，即y＜0，
∴x的取值范围时x＞1．
故答案为：x＞1．
【总结提升】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的图象，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题关键．
24．（12分）某公司销售部随机抽取了1000名销售员1天的销售记录，经统计，其柱状图如图．该公司给出了两种日薪方案．
方案A：没有底薪，每销售一件薪资20元；
方案B：底薪90元，每日前5件的销售量没有奖励，超过5件的部分每件奖励20元．
（1）分别求出两种日薪方案中日工资y（单位：元）与销售件数n的函数关系式；
（2）小王要应聘该公司的销售员，结合柱状图，如果仅从日平均工资的角度考虑，请利用所学的统计知识分析小王选择哪种薪资方案比较合适，并说明理由．
【思路引领】（1）根据题意，分别写两种日薪方案中日工资y与销售件数n的函数关系式即可；
（2）根据柱状图以及（1）中的解析式，求得日平均工资，进而得出结论．
【完整解答】解：（1）依题意，方案A：yA＝20n（n为正整数），
方案B：当n≤5时，yB＝90，
当n＞5时，yB＝90+20（n﹣5）＝20n﹣10，
∴yB=90，n≤520n−10，n＞5（n为正整数）；
（2）小王选择方案A比较合适，理由如下，
日平均工资为11000[(50+200+250)×90+400×(20×6−10)+100×(20×7−10)]=61.5（元），
∵61.5＜90，
∴小王选择方案A比较合适．
【总结提升】本题考查了列函数关系式，求平均数及其意义，理解题意是解题的关键．
25．（14分）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接BE，将线段BE绕点B顺时针旋转90°，得到线段BF，连接AE，CF．
（1）如图1，求证：△ABE≌△CBF；
（2）如图，延长AE交直线CF于点P．
①如图2，求证：AP⊥CF；
②如图3，若△ABE为等边三角形，判断△CPE的形状，并说明理由．
【思路引领】（1）利用SAS即可证明△ABE≌△CBF；
（2）①由△ABE≌△CBF，得∠BAP＝∠PCB，再根据三角形内角和定理可证明结论；
②由等边三角形的性质得∠BEC＝∠BCE＝75°，从而求出∠PEC和∠ECP的度数，从而解决问题．
【完整解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，∠EBF＝90°，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△ABE与△CBF中，
AB=CB∠ABE=∠CBFEB=FB，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
（2）①证明：如图，AP和BC交于点O，
∵△ABE≌△CBF，
∴∠BAP＝∠PCB，
又∵∠AOB＝∠COE，
∴∠CPF＝∠ABO＝90°，
∴AP⊥CF；
②解：△CPE的形状是等腰直角三角形，理由如下：
∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABE＝60°，
∴∠EBC＝30°，
又∵BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE＝75°，
又∵∠AEB＝60°，∠BCF＝60°，
∴∠PEC＝180°﹣∠BEC﹣∠BEA＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
同理，∠ECP＝45°，
∴△CPE是等腰直角三角形．
【总结提升】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定等知识，证明△ABE≌△CBF是解题的关键．
26．（14分）（1）模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；
（2）模型应用：已知直线y＝2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，在AB左侧过点B作线段BC，使BC＝AB，BC⊥AB，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；
（3）如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（6，4），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣5上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．
【思路引领】（1）由条件可求得∠EBC＝∠ACD，利用AAS可证明△BEC≌△CDA；
（2）过C作CD⊥x轴于点D，由直线解析式可求得A、B的坐标，利用模型结论可得CD＝BO，BD＝AO，从而可求得C点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的解析式；
（3）分三种情况考虑：当∠ADP＝90°时，AD＝PD，分点P与点B重合，点P与点B不重合，当∠APD＝90°时，AP＝PD，由全等三角形的性质可得D点坐标．
【完整解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠ACD，
在△BEC和△CDA中，
∠EBC=∠ACD∠E=∠D=90°BC=AC，
∴△BEC≌△CDA（AAS）；
（2）解：如图，过C作CD⊥x轴于点D，
直线y＝2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，
令y＝0可求得x＝﹣2，令x＝0可求得y＝4，
∴OA＝4，OB＝2，
同（1）可证得△CDB≌△BAO，
∴CD＝BO＝2，BD＝AO＝4，
∴OD＝4+2＝6，
∴C（﹣6，2），且A（0，4），
设直线AC解析式为y＝kx+4，
把C点坐标代入可得2＝﹣6k+4，解得k=13，
∴直线AC解析式为y=13x+4；
（3）解：∵B的坐标为（6，4），
∴AB＝6，BC＝4，
如图，当∠ADP＝90°，点P与点B重合时，AD＝PD，
∴点D在AB的中垂线上，即点D横坐标为3，
∴D点坐标（3，1）
∵当D点坐标（3，1）时，
AD2＝32+（4﹣1）2＝18，
PD2＝（6﹣3）2+（4﹣1）2＝18，
AP2＝62＝36，
∴AD2+PD2＝AP2，
∴∠ADP＝90°，
∴点D的坐标为（3，1）；
如图，当∠ADP＝90°时，AD＝PD，点P不与点B重合时，过点D作EF⊥AO，交AO于E，交BC于F，则EF⊥BC，
∵∠ADE+∠DAE＝90°，∠ADE+∠PDF＝90°，
∴∠DAE＝∠PDF，且∠AED＝∠DFP＝90°，AD＝PD，
∴△ADE≌△DPF（AAS），
∴AE＝DF，PF＝DE，
设点D（x，2x﹣5），
∴DE＝x，DF＝AE＝6﹣x，
∴OA＝OE﹣AE，
∴2x﹣5﹣（6﹣x）＝4，
∴x＝5，
∴点D的坐标为（5，5）；
如图，当∠APD＝90°时，AP＝PD，过点P作EF⊥AO，交AO于E，过点D作DF⊥EF于F，则EF⊥BC，
同理得△APE≌△PDF（AAS），
∴AE＝PF，DF＝PE，
设点D（x，2x﹣5），
∴EF＝x，DF＝PE＝6，AE＝PF＝x﹣6，
∴OE＝OA﹣AE＝2x﹣5﹣DF，
∴4﹣（x﹣6）＝2x﹣5﹣6，
∴x＝7，
∴点D的坐标为（7，9）；
综上所述：点D坐标为：（3，1）或（5，5）或（7，9）．
【总结提升】本题为一次函数的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、分类讨论及数形结合的思想．本题第（3）注意考虑问题要全面，做到不重不漏．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
C
B
D
A
A
D
B
B