2025年中考数学二轮培优 重难题型分类练 题型七 二次函数与几何图形综合题（含答案详解）

这是一份2025年中考数学二轮培优 重难题型分类练 题型七 二次函数与几何图形综合题（含答案详解），共48页。试卷主要包含了与线段有关的问题，与图形面积有关的问题，与角度有关的问题，与特殊四边形判定有关的问题，与圆有关的问题等内容，欢迎下载使用。
1、(2024天津)已知抛物线 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数， a>0)的顶点为P，且 2a+b=0,对称轴与x轴相交于点 D，点M(m，1)在抛物线上,m>1,0为坐标原点.
(Ⅰ)当 a=1,c=−1时，求该抛物线顶点 P的坐标；
(Ⅱ)当 OM=OP=132时，求a的值；
(Ⅲ)若N是抛物线上的点，且点N在第四象限， ∠MDN=90∘,DM =DN,点E 在线段MN上,点 F 在线段DN上, NE+NF=2DM,当 DE+MF取得最小值为 15时，求a的值.
2. (2024甘肃省卷)如图①,抛物线 y=ax−ℎ2+k交x轴于O，A(4,0)两点,顶点为 B223,点C为OB的中点.
(1)求抛物线 y=ax−ℎ2+k的表达式；
(2)过点 C 作 CH⟂OA,垂足为H，交抛物线于点 E.求线段 CE的长；
(3)点D为线段OA上一动点(O点除外)，在OC右侧作平行四边形OCFD.
①如图②，当点 F落在抛物线上时，求点 F的坐标；
②如图③,连接BD,BF,求 BD+BF的最小值.
3. (2024苏州)如图①,二次函数 y=x2+bx+c的图象 C1与开口向下的二次函数图象 C2均过点 A−10,B30.
(1)求图象 C1对应的函数表达式；
(2)若图象 C2过点C(0，6)，点P位于第一象限，且在图象 C2上，直线l过点 P且与x轴平行，与图象( C2的另一个交点为Q(Q在P左侧)，直线l与图象( C1的交点为M，N(N在M左侧).当 PQ=MP +QN时，求点P的坐标；
(3)如图②，D，E分别为二次函数图象 C1,C2的顶点，连接AD，过点A作 AF⟂AD,交图象 C2于点F，连接EF，当 EF‖AD时，求图象 C2对应的函数表达式.
类型二 与图形面积有关的问题
4.(2024包头)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=−2x2+bx+c与x轴相交于A(1,0),B两点(点A 在点B左侧),顶点为M(2,d),连接AM.
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图①，若C是y轴正半轴上一点，连接AC，CM.当点C的坐标为 012时，求证： ∠ACM=∠BAM;
(3)如图②,连接BM,将 △ABM沿x轴折叠，折叠后点M 落在第四象限的点 M'处，过点 B的直线与线段 AM'相交于点 D，与y轴负半轴相交于点 E.当 BDDE=87时， 3S△ABD与 2S△M′BD是否相等?请说明理由.
5.(2024湖南省卷)已知二次函数 y=−x2+c的图象经过点 A−25,点 Px1y1,Qx2y2是此二次函数的图象上的两个动点.
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图①，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点 B，点P在直线AB的上方，过点P作 PC⟂x轴于点C,交AB 于点D,连接AC,DQ,PQ,若 x2=x1+3,求证 S△PDQS△ADC的值为定值；
(3)如图②，点P 在第二象限， x2=−2x1,若点 M在直线PQ上，且横坐标为 x1−1,过点 M 作 MN⟂x轴于点 N，求线段 MN 长度的最大值.
6. (2024广州)已知抛物线 G:y=ax2−6ax−a3+2a2+1a0)过点A x12和点 Bx22,直线 l:y=m2x+n过点C(3,1),交线段AB 于点D，记 △CDA的周长为 C1,△CDB的周长为 C2,且 C1=C2+2
(1)求抛物线G的对称轴；
(2)求m的值;
(3)直线l绕点 C以每秒 3∘的速度顺时针旋转t秒后( (0≤slantt0,均有 S≥slantk成立，求k的最大值及此时抛物线G的解析式.
类型三 与角度有关的问题
7. (2024烟台)如图,抛物线 y1=ax2+bx+c与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点 C.OC=OA,AB=4,对称轴为直线 l1:x=−1.将抛物线y y1绕点O 旋转 180∘后得到新抛物线y₂，抛物线y₂与y轴交于点 D， y2, y2顶点为E、对称轴为直线 l2.
(1)分别求抛物线y₁和 y1 y2的表达式；
(2)如图①，点F的坐标为( −60,动点M 在直线 l1上，过点M作MN//x轴与直线 l2交于点 N,连接FM,DN.求 FM+MN+DN的最小值；
(3)如图②,点H 的坐标为( 0−2,,动点 P 在抛物线y₂. y2上，试探究是否存在点 P，使 ∠PEH=2∠DHE?若存在，请直接写出所有符合条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由.
8.(2024重庆B卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx−3与x轴交于 A−10,B两点，交y轴于点 C，抛物线的对称轴是直线 x=52.
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P 是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点 P 作PD∥x轴交抛物线于点D，作. PE⊥BC于点E，求 PD+52PE的最大值及此时点 P的坐标；
(3)将抛物线沿射线BC 方向平移 5个单位，在 PD+52PE取得最大值的条件下，点F 为点 P 平移后的对应点，连接AF交y轴于点M，点N为平移后的抛物线上一点，若 ∠NMF−∠ABC=45∘,请直接写出所有符合条件的点 N的坐标.
类型四 与特殊三角形判定有关的问题
9. (2024达州)如图①,抛物线 y=ax2+kx−3与x轴交于点 A−30和点B(1，0)，与y轴交于点C，点D 是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图②，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点 M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且 S△PMC=2S△DMC,求点 P的坐标；
(3)若点N是抛物线对称轴上位于点 D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.
10. (2024泰安)如图,抛物线 C1:y=ax2+43x−4的图象经过点 D(1， −1),与x轴交于点A，点B.
(1)求抛物线 C1的表达式；
(2)将抛物线( C1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线 C2,求抛物线 C2的表达式，并判断点D 是否在抛物线( C2上；
(3)在x轴上方的抛物线( C2上，是否存在点 P，使 △PBD是等腰直角三角形.若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
11.(2024长沙)已知四个不同的点 Ax1y1,Bx2y2,Cx3y3, Dx4y4都在关于x的函数 y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,( a≠0)的图象上.
(1)当A，B两点的坐标分别为( −1−4,,(3,4)时,求代数式 2024a+1012b+37的值；
(2)当A，B两点的坐标满足 a2+2y1+y2a+4y1y2=0时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，并说明理由；
(3)当 a>0时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足： a2+2y1+y2a+y12+y22=0,2a2−2y3+y4a+y32+ y42=0.请问是否存在实数 mm1),,使得AB,CD,m·EF这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3?若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由(注：m·EF 表示一条长度等于EF的m倍的线段).
类型五 与特殊四边形判定有关的问题
12.(2024泸州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 y=ax2+ bx+3经过点A(3，0)，与y轴交于点B，且关于直线 x=1对称.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当 −1≤x≤t时，y的取值范围是 0≤y≤slant2t−1,求t的值；
(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形?若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由.
13.(2024广元)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F y=−x2+bx+c经过点 A−3−1,与y轴交于点 B(0,2).
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图①，在直线AB上方抛物线上有一动点 C，连接OC 交AB于点 D，求 CDOD的最大值及此时点C的坐标；
(3)如图②，作抛物线F关于直线 y=−1上一点的对称图象 F',抛物线F与 F'只有一个公共点E(点E在y轴右侧)，G为直线AB上一点，H为抛物线 F'对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标.
14. (2023本溪)如图,抛物线 y=−12x2+bx+c与x轴交于点A 和点B(4,0),与y轴交于点 C(0,4),点E在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E在第一象限内,过点E作EF∥y轴,交BC于点F,作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段EF，EH为邻边作矩形 EFGH,当矩形EFGH 的周长为11时,求线段 EH的长;
(3)点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM 是正方形时，请直接写出点N的坐标.
15.(2023呼伦贝尔)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=−x2+bx+c与x轴的交点分别为A 和B(1，0)(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，3)，点P是直线AC上方抛物线上一动点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，过点P作x轴平行线交AC于点 E，过点P作y轴平行线交x轴于点 D，求 PE+PD的最大值及点P的坐标；
(3)如图②，设点M为抛物线对称轴上一动点，当点 P.点M 运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形 PMCN为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标.
类型六 与三角形全等、相似有关的问题
16.如图，抛物线 y=−12x2−32x+2与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.
(1)求直线AC的解析式；
(2)点E是第二象限内抛物线上一点，点E 的横坐标为m，过点E作直线 DE⟂x轴于点 D，交线段AC于点 F，在点 E运动的过程中，当 S△ACE=S△BOC时，求此时m的值；
(3)直线l与x轴交于点 K−60,，与y轴交于点 G0−4,若点M是y轴上的一个动点，点N是第三象限抛物线上一点，当 △KMN与 △GMN全等时，请直接写出点 N的坐标.
17.(2024呼伦贝尔)如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx +ca≠0的图象经过原点和点A(4，0).经过点A 的直线与该二次函数图象交于点B(1，3)，与y轴交于点 C.
(1)求二次函数的解析式及点 C 的坐标；
(2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点 P在直线AB上方时，过点P作 PE⟂x轴于点 E，与直线AB交于点 D，设点 P 的横坐标为m.
①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点 P，使得 △BPD与 △AOC相似.若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由.
18. (2023武汉)抛物线 C1:y=x2−2x−8交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点 C.
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)如图①，作直线 x=t(00，得该抛物线顶点 P的坐标为 1−32,
∴该抛物线的解析式为 y=ax−12−32.
∵点 M321在该抛物线上，
∴1=a32−12−32,
∴a=10;
(Ⅲ)如解图②,过点M作MH⊥x轴,垂足为H,m>1,则∠MHO=90°,HM=1,OH=m.
由(Ⅱ)易知,抛物线对称轴为直线x=1,则D(1,0),∴DH=OH-OD=m-1,
∴在Rt△DMH中, DM2=DH2+HM2=m−12+1.
过点 N作NK⊥x轴,垂足为K,则∠DKN=90°.
∵∠MDN=90°,DM=DN,易得∠DNK=90°-∠NDK=∠MDH,
∴△NDK≌△DMH(AAS),
∴DK=MH=1,NK=DH=m-1,
∴点N的坐标为(2,1-m).
在Rt△DMN中,∠DMN=∠DNM=45°,
MN2=DM2+DN2=2DM2,即 MN=2DM.
∵NE+NF=2DM,∴ME=NF.
在△DMN的外部,作∠DNG=∠DME=45°,且 NG=DM,连接GF,MF,DE,
得∠MNG=∠DNM+∠DNG=90°.
∴△GNF≌△DME(SAS).
∴GF=DE.
∴DE+MF=GF+MF≥GM.
当满足G，F，M三点共线，即点 F落在线段GM上时，DE+MF取得最小值，即 GM=15.
在 Rt△GMN中, GM2=NG2+MN2=3DM2,
∴152=3DM2,得 DM2=5,
∴m−12+1=5,解得 m1=3,m2=−1(舍去),
∴点M的坐标为(3,1),点N的坐标为(2,-2).
∵点M(3,1),N(2,-2)都在抛物线 y=ax2−2ax+c 上，则
解得a=1.
解题技巧
由题意可知ME=FN,观察发现 DE 所在△DME 中含45°特殊角，于是可以利用ME 和 FN 构造全等三角形，将MF，DE 转化为共顶点线段，然后利用两点之间线段最短确定取最值时的情况，从而进行求解.
2. 解:(1)∵抛物线 y=ax−ℎ2+k的顶点为B(2,2 3), ∴y=ax−22+23.
∵y=ax−22+23交x轴于点A(4,0),
∴4a+23=0,解得 a=−32,
∴抛物线的表达式为 y=−32x−22+23;
(2)如解图①,过点 B作BG⊥OA于点 G.
∵CH⊥OA,
∴CH∥BG,
∵B(2,2 3),
∴OG=2,BG=23.
∵点C为OB的中点，
∴C(1, 3),
∴CH=3,OH=1.
当x=1时, EH=−321−22+23=332. ∴CE=EH−CH=332−3=32;
(3)①如题图②,当▱OCFD的顶点 F 落在抛物线上时，点 F，C的纵坐标都等于 3
∴−32x−22+23=3,解得 x1=2−2(舍去), x2= 2+2.
∴F2+23;
②如解图②，
∵四边形OCFD是平行四边形，
∴OB∥DF,OC=DF.
∵OC=BC,
∴ BC=DF.
连接CD,∵ BC∥DF,
∴四边形 BCDF 是平行四边形，
∴BF=CD.
作点B 关于OA的对称点M,连接BM,交CF于点 N,交OA 于点 G,连接DM,CM.
∴BM=2BG=2×23=43,,OA垂直平分BM,
∴BD=DM,
∴ BD+BF=DM+CD≥CM.
当C,D,M三点共线时,DM+CD=CM,即 BD+BF的最小值等于 CM 的长.
∵BM⊥OA,OA∥CF,∴BM⊥CF,
∵C是OB的中点,
∴CN=12OG=1,BN=12BG=3.
∴NM=BM−BN=43−3=33,
∴CM=CN2+NM2=12+332=27.
即BD+BF的最小值为2 7
解题技巧
在第(3)②问中，利用平行四边形的判定与性质得到BF=CD,作点B 关于OA的对称点 M,将求解BD+BF最小值的问题转化为求解DM+CD最小值的问题，即求解CM最小值的问题.
3. 解:(1)将点A(-1,0),B(3,0)代入 y=x2+bx+c中，得 {1−b+c=09+3b+c=0,解得
∴图象 C₁对应的函数表达式为 y=x2−2x−3;
(2)
解题思路
第一步：根据题意求出C₂的函数表达式及对称轴，在图象上作出对称轴直线x=1，交直线l于点H；
设C₂对应的函数表达式为y=a(x+1)(x-3)(a0,
∴当a=1时,EF最小值为4 2
此时 S=12×42=22,
对于任意的a>0，均有S≥k成立，
∴k的最大值为2 2
此时抛物线的表达式为 y=x2−6x+2
7.解:(1)由题意可知,点A 和点 B 关于直线x=-1对称，
又∵AB=4,
∴A(-3,0),B(1,0),
设抛物线y₁的函数表达式为y=a(x+3)(x-1),
∵OC=OA,
∴C(0,3),将其代入y=a(x+3)(x-1)中,解得a=-1，∴抛物线y₁的函数表达式为 y1=−x+3x−1= −x2−2x+3,
∵将抛物线y₁绕点 O 旋转180°后得到新抛物线y₂，
∴抛物线y₂的表达式为 y2=x2−2x−3;
解题技巧
中点坐标公式： x中=x1+x22,x1=2x中−x2,x2=2x中−x1.
(2)由(1)可得,D(0,-3),∵F(-6,0),设M(-1,m),N(1,m),
∴MN=2,
∴ FM+MN+DN最小,即为 FM+DN最小,如解图①，连接DM，
∵y轴垂直平分 MN，且垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
∴FM+DN=FM+MD,
∴ 当 F,M,D 三点共线时,FM+MD的值最小,连接DF,交直线l₁于点 M',
即点 M 与点 M'重合时，FM+MD的值最小，最小值为DF的长,
∵在 Rt△DOF中, DF=OD2+OF2=32+62=35,
∴ FM+MN+DN的最小值为 35+2;
(3)存在,点 P 的坐标为(3,0)或 911−480121.
【解法提示】分情况讨论：①当点 P 在直线l₂右侧时，如解图②，在直线l₂右侧作∠BEH的对称角∠BEP，设∠BEH=α,则∠BEH=∠BEP=α,∵直线l₂∥y轴,∴∠DHE=∠BEH=α,∴∠DHE=∠BEH=∠BEP=α,∴∠PEH=2∠DHE=2α,易得此时点 P 的坐标为(3,0)；②当点P在直线l₂左侧时，作点 E关于y轴的对称点,如解图③,得到点G(-1,-4),设过点 G,H的直线的解析式为 yGH=kx+qk≠0,将点G(-1,-4),点H(0,-2)代入,可得 {−k+q=−4q=−2,解得 {k=2q=−2,∴直线yc n的解析式为y=2x-2,作线段HE 的中点 J,则点 J的坐标为 12−3,过点 J作直线l垂直于 EH，交直线ycH于点 L,∵H(0,-2),E(1,-4),易得 yHE=−2x− 2,∴kJL=−1kHE=12,∴设直线 JL的解析式为 y=12x+n，将点 J12−3代入，得 n=−134,∴yJL=12x−134,则 2x−2=12x−134,解得 x=−56,∴L−56−113,易得直线LE 的解析式为 yLE=−211x−4211,设直线 LE 与抛物线y₂交于点 P，则 x2−2x−3=−211x−4211,解得 x1= 911,x2=1(舍去)，将 x=911代入 yLE=−211x−4211中可得y =−480121,∴点 P911−480121,综上所述，点P 的坐标为(3,0)或 911−480121.
8. 解:(1)∵抛物线 y=ax2+bx−3与x轴交于A(-1,0),B两点，交y轴于点 C，抛物线的对称轴是直线 x=52,解得
∴该抛物线的表达式为 y=12x2−52x−3;
(2)
解题思路
第一步：过点 P 作PH∥y轴交 BC 于点H，先求解出BC的长和sin∠BCO的值;
如解图①,过点 P 作 PH∥y轴交直线BC于点H,
当 y=12x2−52x−3=0时，
解得 x1=−1,x2=6,
∴B(6,0),即OB=6,
当x=0时,y=-3,
∴C(0,-3),即OC=3,
∴在Rt△BCO中, BC=32+62=35,
∴sin∠BCO=OBBC=635=255,
第二步：利用平行线的性质得到∠PHE=∠BCO，进而可以得到 PH 与 PE间的数量关系；
∵PH∥y轴,
∴∠PHE=∠BCO,
∴在 Rt△PEH中, sin∠PHE=PEPH=255,
∴PE=255PH,
第三步：设点P的坐标，可得PH，PD，建立二次函数求解即可.
∵B(6,0),C(0,-3),
∴ 直线 BC 的函数表达式为 y=12x−3,
设 Px12x2−52x−3,
∴Hx12x−3,
∴PH=−12x2+3x,
∵抛物线 y=12x2−52x−3的对称轴为直线 x=52,
∴PD=2x-5,
∴PD+52PE=2x−5+52×255−12x2+3x= −12x2+5x−5,
∵−12