2024-2025学年上学期高二开学测试模拟卷数学-4（19题型 新高考区专用）

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注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知复数z满足(1－i)z＝2＋i，则z的共轭复数为( )
A．B．C．D．
2．已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2且面积为的扇形，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．B．C．1D．2
3．已知，，且，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为（ ）
A．900B．1200C．1500D．1800
5．已知：表示不同的直线，表示不同的平面，现有下列命题：①，②，③，④，其中真命题有
A．0个B．1个C．2个D．3个
6．如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是（ ）．
A． B． C．D．
7．如图，在中，，，，M是边上的中点，P是上一点，且满足，则（ ）．
A．B．C．D．
8．如图，四边形中，，，且、的周长相等，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知向量，若与共线，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．直线是图象的一条对称轴
C．在上单调递增 D．图像关于原点对称
11．如图，直角梯形中，，E是边中点，将沿翻折，得到四棱锥，在翻折的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．面B．
C．三棱锥体积的最大值是D．点C到面距离的最大值是
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为，则这个正四棱台的体积为 .
13．某公园有一座摩天轮，其旋转半径米，最高点距离地面米，匀速运行一周大约分钟某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第分钟时，他距地面大约为 米
14．如图，中，为钝角，，，过点B向的角平分线引垂线交于点P，若，则的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知C是平面上一点，，．
(1)若，求的值；
(2)若，求的最大值．
16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)证明：；(2)若，，求a的值．
17．如图，在三棱锥S—ABC中，SA＝SB，AC＝BC，O为AB的中点，SO⊥平面ABC，AB＝4，OC＝2，N是SA的中点，CN与SO所成的角为α，且tanα＝2.
(1)证明：OC⊥ON；(2)求三棱锥S—ABC的体积．
18．某滑雪场开业当天共有600人滑雪，滑雪服务中心根据他们的年龄分成，，，，，六个组，现按照分层抽样的方法选取20人参加有奖活动，这些人的样本数据的频率分布直方图如下图所示，从左往右分别为一组、二组、三组、四组、五组、六组．
(1)求并估计开业当天所有滑雪的人年龄在有多少人？
(2)由频率分布直方图估计样本平均数和中位数；（求得数据四舍五入保留两位小数，同一组的数据用该组区间的中点数值代替）
(3)在选取的这20人样本中，从年龄不低于35岁的人中任选两人参加抽奖活动，求这两个人来自同一组的概率．
19．如图，在正方体中，点E，F分别为棱，AB的中点．

(1)求证：E、F、C、四点共面：
(2)求异面直线与BC所成角的余弦值．