2024-2025学年第一学期高二开学测试模拟卷数学-5（19题型 新高考区专用）

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注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶3∶3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为100的样本，则应从高一年级抽取的学生人数为（ ）
A．40B．45C．60D．70
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD（如图所示），若，，，则这个平面图形的面积为
A．B．C．D．
4．在平面直角坐标系中，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，已知正三棱柱为的中点，则与所成角的余弦值为（ ）

A．1B．C．D．
6．已知某地最近10天每天的最高气温（单位：℃）分别为，则10天最高气温的第80百分位数是（ ）
A．15B．21C．21.5D．22
7．在△中，，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，，，平面ABC，若球O的体积为，则该三棱锥的体积是（ ）
A．B．5C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知不是直角三角形，内角所对的边分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
10．下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（ ）
A．
B．复数的共轭复数的虚部为2
C．若复数满足，则的最大值为2
D．若是关于的方程的一个根，则
11．如图，在直三棱柱中，，P为线段上的动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．点A到平面的距离为
B．平面与底面ABC的交线平行于
C．三棱柱的外接球的表面积为
D．二面角的大小为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在对某中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，若只知道抽取了男生24人，其平均数和方差分别为170.5和12.96，抽取了女生26人，其平均数和方差分别为160.5和36.96，则据此可得高一年级全体学生的身高方差的估计值为 .
13．若满足条件，的有两个，则边长的取值范围是 ．
14．在平面直角坐标系中，点为单位圆上的任一点，、．若，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，求外接圆的面积.
16．现行国家标准GB2762-2012中规定了10大类食品中重金属汞的污染限量值，其中肉食性鱼类及其制品中汞的最大残留量为1.0mg/kg，近日某水产市场进口了一批冰鲜鱼2000条，从中随机抽取了200条鱼作为样本，检测鱼体汞含量与其体重的比值（mg/kg），由测量结果制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求a的值，并估计这200条鱼汞含量的样本平均数；
(2)用样本估计总体的思想，估计进口的这批鱼中共有多少条鱼汞含量超标；
(3)从这批鱼中顾客甲购买了2条，顾客乙购买了1条，甲乙互不影响，求恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率.
17．如图，在三棱锥中，平面PAB，E，F分别为BC，PC的中点，且，，.
(1)证明：.
(2)求二面角的正切值.
18．如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，.

(1)已知，且
（i）当时，求的面积；
（ii）若，求.
(2)已知，且，求AC的最大值.
19．地球自西向东自转，造成了太阳每天东升西落运动．因这种现象是地球自转造成的人的视觉效果，所以天文学上把这种运动称为太阳周日视运动，其实质是地球自转的一种反映．研究太阳周日视运动轨迹对分析地球气候、计算当地日出日落时间、理解昼夜长短变化现象、设计建筑物日照时长等有重要意义．太阳周日视运动轨迹与太阳直射地球点有关，也与观测者当地的纬度有关．下图为春分（或秋分）日北纬某地（如我国哈尔滨、松原、鸡西等地区）的太阳周日视运动轨迹图，为当地观测者位置，圆平面是观测者所在的地平面．直线为天轴，其垂直于太阳视运动轨迹所在圆平面，且与直线在同一圆面上．两直线和相交于点，夹角为．太阳早上从正东方点的地平面升起，中午处于天空最高点，傍晩从正西方点处落入地平面．

(1)太阳视运动轨迹所在圆平面与地平面所成锐二面角的平面角为多少？
(2)若图上点为下午太阳所在位置，此时阳光入射当地地平面的角度（即直线与地平面的夹角）为多少？