云南省昆明市第十中学、民族大学附属中学2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题（含解析）

这是一份云南省昆明市第十中学、民族大学附属中学2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，已知，则，已知，，，则，若复数，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号､姓名､考场号､座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知角的终边与单位圆的交点坐标为，则为（ ）
A. B. C. D.
3.设向量，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.若空间中三条不同的直线满足，且，则直线与直线必定（ ）
A.相交 B.垂直 C.平行 D.异面
5.已知向量，且，，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6.已知，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
8.某数学兴趣小组使用圆台形水杯，应用所学的数学､物理知识来测量球的半径.已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），测得杯口的半径为，杯底的半径为，高为，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若将半径为的小球放入水杯中（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则小球的半径（ ）cm.
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.若复数（为虚数单位），则（ ）
A. B.的虚部为
C.的共轭复数为 D.在复平面内对应的点位于第一象限
10.已知函数，则（ ）
A.为周期函数
B.的最大值为2
C.存在，使得的图象关于对称
D.存在，使得的图象关于点对称
11.已知中，内角的对边分别为，为的外心，，，且有.若.则下列结论正确的是（ ）
A. B.内切圆半径 C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若，则方程的解为__________.
13.已知中，，点是线段上的动点，则的取值范围是__________.
14.在我校高一年级举行的生物知识竞赛中，有5道必答题，均为判断题.计分的方法是：每道题答对的给2分，答错或不答的扣l分，每个人的基本分为10分.已知戴､王､姜､刘､倪､范6位同学的作答情况及前5位同学的得分情况如右表，则范同学的得分为________.
四､解答题：共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知中是直角，，点是的中点，为一点.
（1）设，当，请用来表示；
（2）当时，求证：.
16.（15分）已知函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，若将函数的图象向左平移个单位后，得到新函数，且新函数的图象关于轴对称.
（1）求的值及函数的解析式；
（2）已知为中的三个内角，，求的值.
17.（15分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，为边上一点.
（1）若为的中点，且，求；
（2）若的面积为，且平分，求的长.
18.（17分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
（1）求A；
（2）若，证明：△ABC是直角三角形.
（3）若是锐角三角形，，求面积的取值范围.
19.（17分）在中，，，对应的边分别为，，，.
（1）求；
（2）若为线段内一点，且，求线段的长；
（3）法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；若，求：的最小值.
2027届高—联考数学参考答案
一､二､选择题：
1.B
【详解】不等式，可解得：，则；
综合可得或，而，因此，.
故选：B.
2.D
【详解】由角的终边与单位圆的交点坐标为，可知，
则
故选：D.
3.C
4.B
5.C
【详解】由已知，得，所以在方向上的投影向量为
故选：C.
6.A
【详解】由，将代入，可得
故选：A.
7.C
【详解】；
构造函数，
因为，结合函数图像可以得到
即
故选：C.
8.D
【详解】依题意，球的体积为圆台的体积减去水的体积（容积）：
解得，即
故选D.
9.AD
【详解】由，易知选AD
10.ABC
【详解】依题意，显然的周期的公倍数显然为的周期故
A正确；
若的最大值为2，则，显然两者可以同时取到1，即，故B正确；
均为轴对称与中心对称函数，但二者在一个周期内的对称轴对齐而对称中心未对齐，如下图
故C正确，D错误；
故选ABC.
11.ACD.
【详解】对于A，（1）因为，所以，
即，解得，又，
所以，所以A正确；
对于B，的周长，
设内切圆为，由得，所以B错误；
对于C，如图，分别取的中点，连接，
，
所以，，
，所以C正确；
对于D，，
由，可知，
得，解得：，故，所以D正确.
故选：ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【详解】
13.
【详解】因为，所以，
即，
因为，且，所以当时，，
当最大，最大时，即两点均与重合时，，
所以的取值范围为.
14.14
【详解】（从相同分数入手）依题意，注意到戴姜刘的均为14分，所以都是3对2错，而王倪为11分，所以都是3错2对：
先观察戴姜，两人的第1､3､4､5道题的作答相反，所以应各对两道，则两人作答相同的第2道的答案应为正确答案；继续观察戴刘，同理可知两人作答相同的第3道的答案应为正确答案；
继续观察王倪，显然两人的第2､3道作答错误，而两人第4､5道题的作答相反，所以应各错一道，所以第一道是正确答案：
回过来再观察戴，综上可知戴的第1､2､3道作答正确，所以第4､
5道题的作答错误，所以范的第1､4､5道作答正确，其余错误；故答案为14.
解二：（从整体入手一从横向作答情况来整体分析并找出规律.相对于解
一，不易想到，规律也藏得更深些）依题意，（横向观察后）注意到戴､王､姜､刘､倪五人的每道题的作答总有3人相同（对或错）而剩余两人则相反；而且，范的作答总与那3人的作答相同（如下图）.所以：
当范的任意一道题作答正确时，戴､王､姜､刘､倪五人的该道题总得分比吴的得分多两分（即）：
当范的任意一道题作答错误时，戴､王､姜､刘､倪五人的该道题总得分也比范的得分多两分（即）：
综上，无论范的作答正确与否，每道题中戴､王､姜､刘､倪五人的总得分总比范的得分多两分，所以范的得分为，故答案为14.
四､解答题：
15.【解析】
（1）由题意知点是的中点，故，
则；
（2）以C为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
设，则，
当时，为的靠近的三等分点，则
，
故，
则，
即，故
16.【解析】
（1）
函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以的周期为，故图象关于轴对称，即函数为偶函数，故
（2）由得
.
17.【解析】
（1）在中，，因为为的中点，
所以，
两边平方得，
则，解得
（2）因为平分，
所以，
又，
即
所以，
解得，
18.【解析】
（1）由及正弦定理得
因为，
所以.
由于
所以.又，
故.
（2）因为，所以，即①，又②，
将②代入①得，，
即，而，解得，
所以，故，即是直角三角形.
（3）由题意得：，
由正弦定理得：，
又为锐角三角形，
故
从而.
所以面积的取值范围是
19.【解析】
（1），得到：
，
应用正弦定理有：，
即，
所以.
（2）因为，
所以，
所以
，所以.
（3）根据柯西不等式：
（当且仅当为正三角形时取等号）
即：的最小值为48. 人
题号
戴
王
姜
刘
倪
范
1
√
√
×
×
√
√
2
×
√
×
√
√
√
3
√
×
×
√
×
×
4
√
×
×
×
√
×
5
×
×
√
√
√
√
得分
14
11
14
14
11
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
D
C
B
C
A
C
D
AD
ABC
ACD.