云南省昆明市第十中学、民族大学附属中学2024−2025学年高一下学期3月联考 数学试题（含解析）

这是一份云南省昆明市第十中学、民族大学附属中学2024−2025学年高一下学期3月联考 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知角的终边与单位圆的交点坐标为，则为（ ）
A．B．C．D．
3．设向量，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．若空间中三条不同的直线满足，且，则直线与直线必定（ ）
A．相交B．垂直C．平行D．异面
5．已知向量，且，，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．某数学兴趣小组使用圆台形水杯，应用所学的数学、物理知识来测量球的半径．已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），测得杯口的半径为，杯底的半径为，高为，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若将半径为的小球放入水杯中（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则小球的半径（ ）cm．
A．B．C．D．
二、多选题
9．若复数（为虚数单位），则（ ）
A．B．的虚部为
C．的共轭复数为D．在复平面内对应的点位于第一象限
10．已知函数，则（ ）
A．为周期函数
B．的最大值为2
C．存在，使得的图象关于对称
D．存在，使得的图象关于点对称
11．已知中，内角的对边分别为，为的外心，，，且有．若．则下列结论正确的是（ ）
A．B．内切圆半径
C．D．
三、填空题
12．在复数范围内方程的解为 .
13．已知中，，点是线段上的动点，则的取值范围是 ．
14．某次考试共5道试题,均为判断题.计分的方法是:每道题答对的给2分,答错或不答的扣1分,每个人的基本分为10分.已知赵、钱、孙、李、周、吴6人的作答情况及前5个人的得分情况如下表,则吴的得分为____.
四、解答题
15．已知中，是直角，，点是的中点，为上一点．
（1）设，，当，请用，来表示，．
（2）当时，求证：．
16．已知函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，若将函数的图象向左平移个单位后，得到新函数，且新函数的图象关于轴对称．
（1）求的值及函数的解析式；
（2）已知为中的三个内角，，求的值．
17．在中，角的对边分别为，已知，，为边上一点．
（1）若为的中点，且，求；
（2）若的面积为，且平分，求的长．
18．在中，角的对边分别为，若．
（1）求；
（2）若，证明：是直角三角形．
（3）若是锐角三角形，，求面积的取值范围．
19．在中，内角对应的边分别为，，，．
（1）求；
（2）若为线段内一点，且，求线段的长；
（3）法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；若，求：的最小值．
参考答案
1．【答案】B
【详解】不等式，可解得：，则；
综合可得或，而，因此，．
故选B．
2．【答案】D
【详解】由角的终边与单位圆的交点坐标为，
可知，
则.
故选D．
3．【答案】C
【详解】对于A,由可得，故A错误，
对于B, ,故B错误，
对于C, ，所以，故C正确，
对于D,,故不平行，故D错误，
故选C
4．【答案】B
【详解】由于，且，则，
故选B
5．【答案】C
【详解】由已知，得，所以在方向上的投影向量为.
故选C．
6．【答案】A
【详解】由，
将代入，可得
故选A．
7．【答案】C
【详解】；
构造函数，
其中，，
其中，
同一坐标系内画出三个函数的图象，如下：

因为，结合函数图象可以得到，
即.
故选C．
8．【答案】D
【详解】依题意，球的体积为圆台的体积减去水的体积（容积），
可得
解得，即.
故选D．
9．【答案】AD
【详解】因为，则，故A正确；
的虚部为，故B错误；
的共轭复数为，故C错误；
在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D正确；
故选AD
10．【答案】ABC
【详解】所以是周期函数,A正确；
由于，若的最大值为2，则，显然两者可以同时取到1，即，故B正确；
取时， 均以为对称轴，因此是的对称轴，故C正确，
令，则，令，则，则，若则，由于故为奇数，而为偶数，因此与不可能相等，故不存在，使得的图象关于点对称，故D错误；
故选ABC．
11．【答案】ACD
【详解】对于A，因为，
所以，即即，
解得，又，所以，所以A正确；
对于B，，
由余弦定理得，
故，故的周长，
设内切圆为，由得，所以B错误；
对于C，如图，分别取的中点，连接，则，
所以，，
所以，所以C正确；
对于D，，
由，可知，
得，解得：，故，所以D正确．
故选ACD．
12．【答案】，
【详解】方程，即，
解得，.
13．【答案】
【详解】因为，所以，
即，
因为，且，
所以当分别位于时，此时时，，
当均位于时，最大，最大，，
所以的取值范围为．
14．【答案】14
【详解】对于第1题，吴选择“√”，前5人中恰有3人选“√”，2人选“×”，若第1题正确答案为“√”，则吴得2分，前5人共得2×3−2=4分，比吴多2分.若正确答案为“×”，则吴得−1分，前5人共得2×2−3=1分，比吴多2分，即无论正确答案是什么，前5人的得分总和比吴多2分.对第2,3,4,5题作同样的讨论，不难发现这一规律同样成立，所以吴的答题得分为(4+1+4+4+1)−2×5=4分，加上基础分，吴最终得分为14分.
15．【答案】（1），
（2）证明见解析
【详解】（1）由题意知点是的中点，故，
则；
.
（2）以C为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
设，则，
当时，E为线段靠近B的三等分点，则，
故，
则，
即，故.
16．【答案】（1），
（2）
【详解】（1）
函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以的周期为，故图象关于轴对称，即函数为偶函数，故，
因为则
故
（2）由得，
由于,所以．
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）在中，，因为为的中点，
所以，
两边平方得，
则，解得
（2）因为平分，
所以，
又，
即
所以，
解得，
18．【答案】（1）
（2）证明见解析
（3）
【详解】（1）由可知，从而由正弦定理得.
故，这就得到，故.
此即，故，得或，这里.
结合，就知道.
（2）因为，由余弦定理可得.
又因为，故.
这就得到
.
所以，即，从而必有是直角三角形．
（3）由正弦定理可得，故.
而因为为锐角三角形，故，解得的范围是.
从而的范围是，故的取值范围是.
19．【答案】（1）
（2）
（3）48
【详解】（1）由，得，
即，在中，由正弦定理得，
由余弦定理得，而，
所以．
（2）由，得，
则，
所以.
（3）依题意，
，
当且仅当为正三角形时取等号，所以所求的最小值为48.
题号
人
赵
钱
孙
李
周
吴
1
√
√
×
×
√
√
2
×
√
×
√
√
√
3
√
×
×
√
×
×
4
√
×
×
×
√
×
5
×
×
√
√
√
√
得分
14
11
14
14
11