云南省昆明市2024-2025学年高一下学期3月联考数学数学试题（解析版）

这是一份云南省昆明市2024-2025学年高一下学期3月联考数学数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题.等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】不等式，可解得：，则；
综合可得或，而，
因此，．
故选：B．
2. 已知角的终边与单位圆的交点坐标为，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由角的终边与单位圆的交点坐标为，
可知，则.
故选：D．
3. 设向量，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对于A，由可得，
故A错误，
对于B，，故B错误，
对于C，，所以，故C正确，
对于D，，故不平行，故D错误.
故选：C.
4. 若空间中三条不同的直线满足，且，则直线与直线必定（ ）
A. 相交B. 垂直C. 平行D. 异面
【答案】B
【解析】由于，且，则.
故选：B.
5. 已知向量，且，，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由已知，得，
所以在方向上的投影向量为.
故选：C．
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，
将代入，可得.
故选：A．
7. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】；
构造函数，
其中，，
其中，
同一坐标系内画出三个函数的图象，如下：
因，结合函数图像可以得到，
即.
故选：C．
8. 某数学兴趣小组使用圆台形水杯，应用所学的数学、物理知识来测量球的半径．已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），测得杯口的半径为，杯底的半径为，高为，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若将半径为的小球放入水杯中（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则小球的半径（ ）cm．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意，球的体积为圆台的体积减去水的体积（容积），
可得，
解得，即.
故选：D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 若复数（为虚数单位），则（ ）
A.
B. 的虚部为
C. 的共轭复数为
D. 在复平面内对应的点位于第一象限
【答案】AD
【解析】因为，则，故A正确；
的虚部为，故B错误；
的共轭复数为，故C错误；
在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D正确.
故选：AD.
10. 已知函数，则（ ）
A. 为周期函数
B. 的最大值为2
C. 存在，使得的图象关于对称
D. 存在，使得的图象关于点对称
【答案】ABC
【解析】，
所以是周期函数，A正确；
由于，若的最大值为2，
则，显然两者可以同时取到1，即，故B正确；
取时，均以为对称轴，
因此是的对称轴，故C正确；
令，则，令，则，
则，若则，
由于故为奇数，而为偶数，因此与不可能相等，
故不存在，使得的图象关于点对称，故D错误.
故选：ABC．
11. 已知中，内角的对边分别为，为的外心，，，且有．若．则下列结论正确的是（ ）
A. B. 内切圆半径
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，
所以，即，即，
解得，又，所以，所以A正确；
对于B，，
由余弦定理得，
故，故的周长，
设内切圆为，由得，所以B错误；
对于C，如图，分别取的中点，连接，则，
所以，，
所以，所以C正确；
对于D，，
由，可知，
得，解得：，故，所以D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在复数范围内方程的解为________.
【答案】，
【解析】方程，即，
解得，.
13. 已知中，，点是线段上的动点，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为，所以，
即，
因为，且，
所以当分别位于时，此时时，，
当均位于时，最大，最大，，
所以的取值范围为．
14. 某次考试共5道试题，均为判断题．计分的方法是：每道题答对的给2分，答错或不答的扣1分，每个人的基本分为10分．已知赵，钱，孙，李，周，吴6人的作答情况及前5个人的得分情况如下表，则吴的得分为______．
【答案】14分
【解析】解法一：分析可得，无论每道题的结果如何，每道题前五人的得分比吴的得分多2分，则吴的得分为：，加上基本分后为14．
解法二：由于前四个人只有钱得分是11分，则钱答对两个题，答错三个题，
不妨将钱的答案全部考虑反面，则钱答对三个题，答错两个题，共14分；
对于6个人而言，前4个题，6个人答案都是三个√，三个错，那前4个题，
每个题都是3个人对，3个人错；前4个题的总分为：分；
现在考虑第5题，共5个√，一个×，若第5题正确答案是“×”，那么第5个题的得分是：分，最终5个题的总得分为69分；
而从得分来看，分，于是吴得分是2分，矛盾；
于是第5题正确答案是“√”，第5题的得分是：分，
6个题的总分为：81分，于是吴得14分．
解法三：考虑第一，二题孙的答案是对的，
（1）若孙第三题答案也是对的，与赵14分矛盾；
（2）若孙第三题答案是错的，钱最后两题只能全对，与周11分矛盾；
考虑孙第一题对，第二题答案是错的.
（3）若孙第三题答案是对的，则赵最后两题全对，与孙14分矛盾；
（4）若孙第三题答案是错的，则孙最后两题全对，与赵14分矛盾；
考虑孙第一题错，第二题答案是对的.
（5）若孙第三题答案是对的，则李最后两题全对，
与孙14分矛盾；
（6）若孙第三题答案是错的，则孙最后两题全对，此时正确答案是√，×，√，×，√，
吴此时14分；
考虑孙第一题错，第二题答案是错的，则孙后三题全对，与赵14分矛盾；
综上所述：正确答案是√，×，√，×，√，吴此时14分．
四、解答题.
15. 已知中，是直角，，点是的中点，为上一点．
（1）设，，当，请用，来表示，．
（2）当时，求证：．
解：（1）由题意知点是的中点，故，
则；.
（2）以C为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
设，则，
当时，E为线段靠近B的三等分点，则，
故，则，
即，故.
16. 已知函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，若将函数的图象向左平移个单位后，得到新函数，且新函数的图象关于轴对称．
（1）求的值及函数的解析式；
（2）已知为中的三个内角，，求的值．
解：（1），
函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以的周期为，
故图象关于轴对称，
即函数为偶函数，故，
因为则故.
（2）由得，
由于，所以．
.
17. 在中，角的对边分别为，已知，，为边上一点．
（1）若为的中点，且，求；
（2）若的面积为，且平分，求的长．
解：（1）在中，，因为为的中点，
所以，两边平方得，
则，解得.
（2）因为平分，所以，
又，
即，
所以，
解得，.
18. 在中，角的对边分别为，若．
（1）求；
（2）若，证明：是直角三角形．
（3）若是锐角三角形，，求面积的取值范围．
解：（1）由可知，
从而由正弦定理得.
故，这就得到，
故.
此即，故，
得或，这里.
结合，就知道.
（2）因为，由余弦定理可得.
又因为，故.
这就得到
.
所以或，即或，
从而必有是直角三角形．
（3）由正弦定理可得，
故.
而因为为锐角三角形，故，解得的范围是.
从而的范围是，故的取值范围是.
19. 在中，内角对应的边分别为，，，．
（1）求；
（2）若为线段内一点，且，求线段的长；
（3）法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；若，求：的最小值．
解：（1）由，
得，
即，在中，由正弦定理得，
由余弦定理得，而，
所以．
（2）由，得，
则，
所以.
（3）依题意
，
当且仅当为正三角形时取等号，所以所求的最小值为48.题号 人
赵
钱
孙
李
周
吴
1
√
√
×
×
√
√
2
×
√
×
√
√
√
3
√
×
×
√
×
×
4
√
×
×
×
√
×
5
×
×
√
√
√
√
得分
14
11
14
14
11
题号 人
赵
钱
孙
李
周
吴
1
√
×
×
×
√
√
2
×
×
×
√
√
√
3
√
√
×
√
×
×
4
√
√
×
×
√
×
5
×
√
√
√
√
√
得分
14
14
14
14
11
赵
钱
孙
李
周
吴
1
√
√
×（2）
×（2）
√
√
2
×（2）
√
×（2）
√
√
√
3
√
×（2）
×（2）
√
×（2）
×（2）
4
√
×
×
×
√
×
5
×
×
√
√
√
√
得分
14
11
14
14
11
赵
钱
孙
李
周
吴
1
√
√
×（2）
×（2）
√
√
2
×（2）
√
×（2）
√
√
√
3
√（2）
×
×
√（2）
×
×
4
√
×（2）
×（2）
×（2）
√
5
×（2）
×（2）
√
√
√
√
得分
14
11
14
14
11
赵
钱
孙
李
周
吴
1
√
√
×（2）
×（2）
√
√
2
×
√（2）
×
√（2）
√（2）
√（2）
3
√
×（2）
×（2）
√
×（2）
×（2）
4
√（2）
×
×
×
√
×
5
×（2）
×
√
√
√
√
得分
14
11
14
14
11
赵
钱
孙
李
周
吴
1
√
√
×（2）
×（2）
√
√
2
×
√（2）
×
√（2）
√（2）
√（2）
3
√（2）
×
×
√（2）
×
×
4
√
×
×（2）
×
√
×
5
×
×
√（2）
√
√
√
得分
14
11
14
14
11
赵
钱
孙
李
周
吴
1
√（2）
√（2）
×
×
√（2）
√（2）
2
×（2）
√
×（2）
√
√
√
3
√
×（2）
×（2）
√
×（2）
×（2）
4
√2
×
×（2）
×（2）
√
×
5
×
×
√（2）
√（2）
√
√
得分
14
11
14
14
11
赵
钱
孙
李
周
吴
1
√（2）
√（2）
×
×
√（2）
√（2）
2
×（2）
√
×（2）
√
√
√
3
√（2）
×
×
√（2）
×
×
4
√
×（2）
×（2）
×（2）
√
×（2）
5
×
×
√（2）
√（2）
√（2）
√（2）
得分
14
11
14
14
11
14
赵
钱
孙
李
周
吴
1
√（2）
√（2）
×
×
√（2）
√（2）
2
×
√（2）
×
√（2）
√（2）
√（2）
3
√
×（2）
×（2）
√
×（2）
×（2）
4
√
×
×（2）
×
√
×
5
×
×
√（2）
√
√
√
得分
14
11
14
14
11