四川省遂宁中学校2024−2025学年高一下学期3月月考数学试卷（含解析）

这是一份四川省遂宁中学校2024−2025学年高一下学期3月月考数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向
B．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量
C．起点相同的单位向量，终点必相同
D．向量的模是一个正实数
2．要得到函数的图像，只需要将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
3．已知空间向量且则一定共线的三点是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
4．不等式在上的解集为（ ）
A．B．
C．D．
5．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
6．在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．内心C．垂心D．外心
7．已知设，求：的值（用a表示）.针对这一问题，有两位同学给出了不同的解答.小张同学的答案：；小姚同学的答案：；对此你的判断是（ ）
A．小张对，小姚错B．小张错，小姚对C．两人都错D．两人都对
8．定义，设函数，若 在区间 上单调递减，则ω的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数B．的图象关于对称
C．在上单调递增D．在上的值域为
11．已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，则下列结论正确的有（ ）
A．的取值范围是
B．若的图象关于点对称，则在上单调递增
C．在上的最小值可能为
D．若的图象关于直线对称，且函数，有奇数个零点，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．若，则 .
13．已知函数是R上的奇函数，在区间上单调递增，则ω的最大值是 .
14．已知为内切圆的圆心，且，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．设是两个不共线的向量，已知．
(1)求证：三点共线；
(2)若且，求实数的值．
16．（1）已知函数．
补全下列表格，用“五点法”画出在区间的大致图象；
（2）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求的单调递增区间和对称中心的坐标．
17．（1）已知，，，求的值．
（2）已知，，且，求的值．
18．已知函数的最小正周期为．
(1)求的值及函数图象的对称中心；
(2)若将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位长度，再将图象向下平移个单位长度得到函数的图象，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
19．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.位于滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点距地面145米时大约需要15分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.
(1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式；
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？
(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，从游客甲坐上摩天轮后开始计时，多长时间游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同？
参考答案
1．【答案】B
【详解】大小为零的向量为零向量，方向任意，故A错误，
大小相等，方向相反的向量为相反向量，故B正确；
大小为1的向量为单位向量，方向任意，故C错误，
零向量的模为0，故D错误.
故选B.
2．【答案】A
【详解】,
则将其往左平移个单位长度即可得.
故选A.
3．【答案】A
【详解】解：对于A选项， ，所以三点共线，A正确；
对于B选项，设 ，则 ，即 无解，B错误；
对于C选项，设 ，则 ,即 ,无解，C错误；
对于D选项， ，设 ，
即 ，即 ，无解，D错误．
故选A.
4．【答案】D
【详解】∵，则，
注意到，结合余弦函数图象解得.
故选D.
5．【答案】C
【详解】因为，
由，得，
所以函数的单调递增区间是.
故选C.
6．【答案】A
【详解】因为，，
则
若设中的的中点为，有，
则.
所以在三角形的中线上，因此动点的轨迹必通过的重心．
故选A．
7．【答案】D
【详解】由，
则小张同学正确；
由，即，
则，
则小姚同学正确.
故选D.
8．【答案】A
【详解】令，即，则，解得.
与的周期均为.
当时，在一个周期内，根据与的大小关系来确定：
当时，，,单调递增；
当时，，，单调递减区间为；
当时，，，单调递减区间为.
所以函数的单调递减区间为和.
因为在区间上单调递减，对其进行分类讨论：
情形1.，解得.
由得,.
由，解得,
所以或,
所以或;
情形2.，解得,
由得，解得,
由,解得,
所以,
所以.
综上，的取值范围是，
故选A.
9．【答案】BC
【分析】
根据正八边形的结构性质及向量的共线、线性运算逐项判断即可得解.
【详解】对于A，易得在正八边形中，，
但方向不同，所以不正确，故A错误；
对于B，由，所以正确，故B正确；
对于C，由正八边形的性质知，，且，
根据向量加法法则可知：
为以为邻边的正方形中以为始点的一条对角线所对应的向量，
所以，
又与以为邻边的正方形中以为始点的一条对角线所对应的向量共线，
所以，故C正确；
对于D，在正八边形中，，，
不妨设，又，
所以，
所以，故D错误.
故选：BC.
10．【答案】BD
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到
，显然不是奇函数，故A错误．
因为，
所以的图象关于对称，故B正确．
当时，，因为在上不单调，故C错误．
由，得，则，故D正确．
故选BD.
11．【答案】ABD
【详解】对于A：因为的图象在上有且仅有两条对称轴，
因为，所以，所以，
所以，即的取值范围是，故A正确；
对于B：因为的图象关于点对称，则有，
即，因为，所以，
当时，，则在上单调递增，故B正确；
对于C：当时，，因为，
所以，所以在上的最小值小于，故C错误．
对于D：因为的图象关于直线对称，则，
即，又，所以，所以，
令函数的根即为函数与的交点的横坐标，
作出图象如图所示，因为，，
要使有奇数个零点，则，
即有，故D正确.
故选ABD.
12．【答案】
【详解】由，得
即 .
13．【答案】
【详解】因为是奇函数，所以,又，所以,
因为在上单调递增．所以⊆，
于是解得，所以ω的最大值为.
14．【答案】/
【详解】如图，设的中点，圆与分别相切于点，由为的中点，知.
又，所以，即.则三点共线.
因为为的内切圆的圆心，所以.
不妨设，则.
在中，.
由，知，即，解得，且，
又，所以.
15．【答案】(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）由已知，得，
因为，
所以，又与有公共点，
所以三点共线．
（2）由（1），知，若，且，
可设，
所以，
即．
又是两个不共线的向量，所以，
解得．
16．【答案】（1）答案见解析；（2）的单调递增区间为，对称中心的坐标为
【详解】（1）
（2）易知，
令，解得，
所以的单调递增区间为．
令，解得，
所以对称中心的坐标为
17．【答案】（1）；（2）
【详解】（1）因为，所以．又，
所以．
因为，
所以．
所以
（2）由，得，
由，得，
由，得，
由，得，
，
所以．
18．【答案】(1)；，
(2).
【详解】（1）由题

.
∵最小正周期，∴，.
令，，解得，，
∴函数图象的对称中心，．
（2）将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象；
再向右平移个单位长度，得到函数的图象；再将图象向下平移个单位长度得到函数的图象.
所以
由题意对任意恒成立，
所以对任意恒成立.
令，
当时，；
当时，.令，则.
当时，，即；
当时，，由对勾函数性质可知，
所以
综上所述，的值域为，所以.
故实数的取值范围是.
19．【答案】(1)，；
(2)5分钟
(3)17.5分钟
【详解】（1）由题意知，，，解得，
又，所以，
时，，解得，
因为，所以，
所以，；
（2）令，得，解得，
即，因，依题意，需使，解得，
所以游客甲坐上摩天轮后5分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米；
（3）由题意知，，
因中间间隔5个座舱，则有，
依题意，，即，
即，所以，解得，；
所以，；时，，不合题意；当时，，
即从游客甲坐上摩天轮后开始计时，17.5分钟游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同.0
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