四川省遂宁中学校2022-2023学年高二下学期3月月考数学（理）试卷(含答案)

这是一份四川省遂宁中学校2022-2023学年高二下学期3月月考数学（理）试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件D.充分必要条件
2．双曲线的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
3．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则p的值为( )
A.4B.2C.-2D.-4
4．已知椭圆的左、右焦点为,,上顶点为A,若为直角三角形,则该椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
5．已知点P是抛物线上的动点,点P在y轴上的射影是M,点,则的最小值是( )
A.5B.C.4D.
6．加斯帕尔·蒙日（如图甲）是18~19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”（图乙）,则椭圆的蒙日圆的半径为( )
A.3B.4C.5D.6
7．设O为坐标原点,直线与双曲线的两条渐近线分别交于D,E两点,若的面积为8,则C的焦距的最小值为( )
A.4B.8C.16D.32
8．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线就是“心形”曲线.给出以下列两个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）;
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2;
则正确的判断是( )
A.①正确②错误B.①错误②正确
C.①②都错误D.①②都正确
9．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,抛物线的准线交双曲线于A,B两点,交双曲线的渐近线于C、D两点,若.则双曲线的离心率为( )
A. B. C.2D.3
10．已知M是抛物线上一点,F为抛物线的焦点,点,若,则的面积为( )
A. B. C.D.
11．如图,抛物线的焦点为F,准线与y轴交于点D,O为坐标原点,P是抛物线上一点,且,则( )
A.B.C.D.
12．设B是椭圆的上顶点,若C上的任意一点P都满足,则C的离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．抛物线的焦点到准线的距离是____________.
14．若双曲线的渐近线与圆相切,则___________.
15．已知F是椭圆的左焦点,P为椭圆上的动点,椭圆内部一点M的坐标是,则的最大值是___________.
16．已知椭圆,C的上顶点为A,两个焦点为,,离心率为.过且垂直于的直线与C交于D,E两点,,则的周长是__________.
三、解答题
17．已知命题,,命题.
（1）若命题p是真命题,求实数a的取值范围;
（2）若是真命题,是假命题,求实数a的取值范围.
18．记为数列的前n项和,已知,是公差为的等差数列.
（1）求的通项公式;
（2）证明：.
19．已知椭圆的左、右焦点分别为、,点P在椭圆C上,,,且椭圆C的离心率为.
（1）求椭圆C的方程;
（2）设过点的直线l与椭圆C相交于A,B两点,求面积的最大值.
20．已知四棱锥的底面ABCD为矩形,底面ABCD,且,设E、F、G分别为PC、BC、CD的中点,H为EG的中点,如图.
（1）求证：平面PBD;
（2）求直线FH与平面PBC所成角的正弦值.
21．已知抛物线的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
（1）若,求l的方程;
（2）若,求.
22．椭圆的左,右焦应分别是,,离心率为,过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
（1）求椭圆C的方程;
（2）已知直线与椭圆C切于点,直线平行于OT,与椭圆C交于不同的两点A、B,且与直线交于点M.证明：存在常数,使得,并求的值;
（3）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接,,设后的角平分线PM交C的长轴于点,求m的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：
2．答案：A
解析：
3．答案：A
解析：
4．答案：D
解析：
5．答案：B
解析：
6．答案：C
解析：
7．答案：B
解析：
8．答案：D
解析：
9．答案：A
解析：
10．答案：C
解析：
11．答案：D
解析：
12．答案：B
13．答案：
解析：
14．答案：
解析：
15．答案：21
解析：
16．答案：13
17．答案：（1）
（2）
（1）命题p是真命题时,在R范围内恒成立,
①当时,有恒成立;
②当时,有,解得：;
a的取值范围为：.
（2）是真命题,是假命题, p,q中一个为真命题,
一个为假命题,由q为真时得由,解得,
故有：①p真q假时,有或,解得：;
②p假q真时,有或,解得：;
a的取值范围为：.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）,, ,
又是公差为的等差数列,
, ,当时,,
,
整理得：,
即,
,
显然对于也成立, 的通项公式;
（2）,
.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为P在椭圆C上,,所以,
在中,由余弦定理可得,
所以,化简得①,
又椭圆的离心率,所以②,
由①②,解得,,所以椭圆C的方程为.
（2）由题意,直线l的斜率存在且不为0,
设直线l的方程为,联立,
得,
由,解得,设,,
则,,
所以,
设点到直线l的距离d,又,
则,所以,
令,则,
所以,当且仅当时,等号成立,
此时,所以面积的最大值为.
20．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明： E、F、G分别为PC、BC、CD的中点, ,,
平面PBD,平面PBD, 平面PBD,同理可证平面PBD,
,EF、平面EFG,平面平面PBD,
平面EFG,平面PBD.
（2）平面ABCD,四边形ABCD为矩形,
以点A为坐标原点,AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则、、、、、、,
,,,
设平面PBC的法向量为,则,
取,可得, ,
所以,直线FH与平面PBC所成角的正弦值为.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）设直线l方程为：,
由抛物线焦半径公式可知：, ,
联立得：,
则, ,
,解得：,
直线l的方程为：,即：;
（2）设,则可设直线l方程为：,联立,得：,
则, , ,,
, , ,, ,
则.
22．答案：（1）
（2）存在满足条件
（3）
解析：（1）由,得,所以椭圆C的方程为;
（2）, ,又,设方程为,
由, ,
设,,则,
由, ,
即存在满足条件.
（3）由题意可知：,,
设其中,将向量坐标代入并化简得：
,因为,所以,
而,所以.