湖北省公安县第三中学2024-2025学年高一下学期4月月考 数学试卷（含解析）

这是一份湖北省公安县第三中学2024-2025学年高一下学期4月月考 数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在中，，，若点满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量满足，且与夹角的余弦值为，
则（ ）
A．B．C．D．
3．已知一个扇形的圆心角为，且面积为，则该扇形的弧长为（ ）
A．B．C．D．
4．函数的定义域为（ ）．
A．B．
C．D．
5．已知平面向量满足，，且，则（ ）
A．B．C．2D．1
6．把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B． C．D．
7．设，则的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
8．如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（ ）
A．点第一次到达最高点需要20秒
B．当水轮转动155秒时，点距离水面1米
C．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米
D．点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分。）
9．计算下列各式的值，其结果为2的有（ ）
A．B．
C．D．
10．是边长为3的等边三角形，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量是
11．已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数图象向右平移个单位可得函数的图象
D．若方程在上有两个不等实数根，，则．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。）
12．已知，则
13．若平面向量，，两两的夹角为，且，，则 ．
14．已知函数（）的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是 .
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（13分）设是不共线的两个非零向量．
(1)若，求证：三点共线；
(2)若与共线，求实数k的值，并指出与反向共线时k的取值
16．（15分）已知平面向量，的夹角为，且，，．
(1)当时，求；
(2)当时，求的值．
17．（15分）已知角顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点．
(1)求；
(2)求的值；
(3)若角是三角形内角，且，求的值．
18．（17分）已知函数的最大值为．
(1)求的值；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性．运用上述思想，计算的值：结果精确到小数点后位，参考数据：，
19．（17分）已知函数的最小正周期为．
(1)求的解析式；
(2)设函数,若对任意的,总存在,使得成立,求的取值范围；
(3)若函数在上有3个零点,求的取值范围．
《公安三中2024级高一下学期4月考试数学试卷》参考答案
1．B
【分析】由题可得，进一步化简可得.
【详解】，，
.
故选：B.
2．A
【分析】运用平面向量的数量积运算可求得结果.
【详解】因为，且与夹角的余弦值为，
所以.
故选：A.
3．C
【分析】由扇形的弧长和面积公式可直接求解.
【详解】设扇形的弧长为l，圆心角为，面积为S，
由题意得，解得，
故选：C.
4．D
【分析】由对数式的真数大于0，然后解三角不等式可得答案.
【详解】函数的定义域为：，
则，解得：，
所以函数的定义域为
故选：D.
5．C
【分析】根据向量垂直得到向量的数量积，再将模长转化为数量积即可求得结果.
【详解】因为，所以，即，
因为，所以，
，又，
所以.
故选：C.
6．A
【分析】根据图象的平移变化求解析式即可.
【详解】向右平移个单位长度得到，
然后所有点的横坐标缩短到原来的倍得到，
所以.
故选：A.
7．D
【分析】将分别与进行比较即可得到结果.
【详解】
因为为第二象限角，所以，
，
所以.
故选：D.
8．B
【分析】根据题意求出点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，结合选项依次判断即可.
【详解】设点距离水面的高度为（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，，
由题意，，，解得,
，则.
当时，，则，
又，则.
综上，，故D正确；
令，则，
若，得秒，故A正确；
当秒时，米，故B不正确；
当秒时，米，故C正确.
故选：B.
9．AC
【分析】利用三角恒等变形公式逐一化简计算即可.
【详解】对于A：
，A正确；
对于B：
，B错误；
对于C：
，C正确；
对于D：，D错误.
故选：AC.
10．BCD
【分析】根据向量线性运算、向量的模的计算、向量数量积、向量投影等知识对选项分别进行分析，由此确定正确选项.
【详解】如图：
对于A，．故A不正确；
对于B，
所以，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，在上的投影向量是．故D正确．
故选：BCD.
11．AB
【分析】根据图象确定函数的解析式，然后由正弦函数性质判断各选项．
【详解】由图可知，，所以，于是A正确，所以，
则，将点代入得：，
所以，，又，所以，所以，
对于B，因为，为最小值，
所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，将函数图象向右平移个单位，
可得函数，故C错误；
对于D，由条件结合图象可知，于是，所以，故D错误．
故选：AB．
12．/
【分析】由，根据二倍角公式即可求解.
【详解】由，所以
，
故答案为：.
13．2
【分析】先计算，，，再利用求模公式计算.
【详解】由题意可得，
则
，
故答案为：2.
14．/5.25
【分析】根据最小正周期求法及得，结合函数的区间单调性及对称轴有值为和和，再验证是否符合题设，即可得答案.
【详解】函数的最小正周期且，得，
由于在上单调，该区间长度小于等于半个周期，即，得，
综上，，
又关于直线对称，所以，解得，，
在的范围内，满足条件的值为和和，
验证可知，这三个值均满足函数在上单调，
因此，符合要求的所有值的和为故答案为：
15．(1)证明见解析 (2)，
【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可.
（2）由共线性质求出参数即可.
【详解】（1）由，
得，
，
所以，且有公共点B，所以三点共线.
（2）由与共线，
则存在实数，使得，
即，
又是不共线的两个非零向量，因此，
解得，或，实数k的值是.
当时，与反向共线
16．(1)； (2)．
【分析】（1）先得到，然后展开计算即可；
（2）由条件知，使用向量内积的坐标表示即可得到关于的方程，进而求出.
【详解】（1）
，故．
（2）由条件知，故，
所以．
17．(1)； (2) (3)或1
【分析】（1）根据角终边过点，利用三角函数的定义求解；
（2）由（1）得到，根据，利用商数关系求解；
（3）由，得到，由（1）得到，再和，利用两角差的正弦公式求解.
【详解】（1）解：因为角终边过点，
所以点P到原点的距离为，
所以；
（2）由（1）知：，
所以，；
（3）因为是三角形内角，且， 所以，
由（1）知：，
所以，
当时，，
；
当时，，
.
18．(1) (2)， (3)
【分析】（1）先利用两角差的正弦余弦公式，结合辅助公式化简解析式，再根据函数最大值为列方程可求的值；
（2）根据正弦函数的单调性列不等式可求函数的单调递减区间；
（3）先求出，再利用泰勒公式求出的近似值，从而可得答案.
【详解】（1）
，所以，即；
（2），
令，即，，
所以函数的单调递减区间，
（3）因为，
所以，
由泰勒公式得：
所以．
【点睛】关键点点睛:解答本题（3）的关键是对泰勒公式的理解与应用，遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
19．(1) (2) (3)
【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简得，再由最小正周期为，求得，即可得到的解析式；
（2）利用指数函数和正弦函数的性质可得，的值域，再根据值域的包含关系列不等式组求解即可；
（3）由题意，令，则函数有两个零点，且的图象与直线，共有3个公共点，结合的图象求的取值范围即可.
【详解】（1）因为
，
函数的最小正周期为，又，则，所以，
所以.
（2）因为是增函数，当时，
当时，，则，
所以，由题意可知，
则解得，即的取值范围为．
（3）令，由（2）知当时，，即，
则函数有两个零点，
且的图象与直线，共有3个公共点，
由的图象可知，当，时，，得，
由，得，，符合题意．
当，时，，解得，
综上，的取值范围为．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
D
C
A
D
B
AC
BCD
题号
11









答案
AB