上海市宝山区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份上海市宝山区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了可使用符合规定的计算器答题等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；
2.本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；
3.在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；
4.可使用符合规定的计算器答题.
一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.
1. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为__________.
2. 在等差数列中，，则的值是__________.
3. 若双曲线的一条渐近线方程为，则实数___________．
4. 若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为__________.
5. 经过点，且与直线平行的直线的方程为___________.
6. 已知向量，，则在方向上的投影向量为__________.
7. 如图，在四面体中，是的中点，，设，，，则__________.（用表示）

8. 中中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.其意思是：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了__________里.
9. 在数列中，，且，则__________.
10. 抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为__________.
11. 已知点在椭圆上，为椭圆右焦点，直线与圆相切，且（为原点），则椭圆的离心率为______.
12. 我国著名数学家华罗庚说“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”，包含意思是：几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述，通过“数”与“形”的相互转化，常常可以巧妙地解决问题，所以“数形结合”是研究数学问题的重要思想方法之一.比如：这个代数问题可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点可得，方程的解为__________.
二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分），每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得多分.
13. “”是“曲线表示椭圆”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
14. 已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ）
A. ⊥B.
C 与相交但不垂直D. 或
15. 已知曲线，过点作该曲线的5条弦，这些弦的长度构成一个递增的等差数列，则该数列公差的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
16. 已知实数满足，则取值范围是（ ）
A. B. C. D.
三､解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤.
17. 已知直线和直线.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
18. 已知等差数列首项为1，前项和为，且是3与的等比中项.
（1）求数列的通项公式：
（2）若是数列的前项和，求的最小值.
19. 从空间一点出发作三条两两互相垂直的坐标轴，可以建立空间直角坐标系.如果坐标系中的坐标轴不垂直；那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.设是空间中相互成角的三条坐标轴，其中分别是轴､轴､轴正方向的单位向量.
（1）计算的值，
（2）若向量，则把有序数对叫做向量在该斜坐标系中的坐标.已知
①求的值；
②求的面积：
20. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，且.
（1）求证：；
（2）当为钝角时，求实数的取值范围；
（3）若二面角的大小为，求点到平面的距离.
21. 已知椭圆的离心率为，左､右顶点分别为，左､右焦点分别为，过右焦点的直线交椭圆于点，且的周长为16.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记直线的斜率分别为，证明：为定值：
（3）记的面积分别为，求的取值范围.2023学年第二学期期末
高二年级数学学科教学质量监测试卷
考生注意：
1.本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；
2.本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；
3.在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；
4.可使用符合规定的计算器答题.
一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.
1. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据直线方程可得斜率，从而利用可求倾斜角.
【详解】因为直线的方程为，
所以直线的斜率1，
令直线倾斜角为，则，
因为，
所以.
故答案为：.
2. 在等差数列中，，则的值是__________.
【答案】12
【解析】
【分析】应用等差数列的性质即可求解.
【详解】等差数列中， ，则，
所以.
故答案为：12
3. 若双曲线的一条渐近线方程为，则实数___________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据双曲线的焦点在 轴上的渐近线为 即可解决.
【详解】由题知双曲线的焦点在 轴上，
所以 即
解得
故答案为：9.
4. 若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为__________.
【答案】
【解析】
【分析】变形得到方程组，求出定点坐标.
【详解】令，解得，故经过定点坐标为.
故答案为：
5. 经过点，且与直线平行的直线的方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据直线平行得到，得到，整理得到答案.
【详解】直线与直线平行，则，直线方程为，
即.
故答案为：
6. 已知向量，，则在方向上的投影向量为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量定义和向量坐标运算直接求解即可.
【详解】，又，
在方向上的投影向量为.
故答案为：.
7. 如图，在四面体中，是的中点，，设，，，则__________.（用表示）

【答案】
【解析】
【分析】根据向量线性运算直接求解即可.
【详解】为中点，；
，；
.
故答案为：.
8. 中中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.其意思是：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了__________里.
【答案】96
【解析】
【分析】由等比数列前项和公式即可求解.
【详解】由题意，此人每天走的路程可以构成等比数列，
公比，，
因为，解得，
所以（里）.
故答案为：96.
9. 在数列中，，且，则__________.
【答案】5
【解析】
【分析】用累加法求解.
【详解】
，
，
…
，
各式累加得.
故答案为：5.
10. 抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意结合抛物线的定义求出，设点关于直线对称点为，则，从而可求出的最小值.
【详解】由，得，所以，准线为，
不妨设点在第一象限，过作于，则，得，
则，得，所以，
设点关于直线对称点为，则，
所以，
当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为，
故答案为：
11. 已知点在椭圆上，为椭圆的右焦点，直线与圆相切，且（为原点），则椭圆的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】如图，左焦点为，由几何性质得，即可由相似求得，即可由勾股定理，及椭圆定义建立齐次式，从而求得离心率.
【详解】如图所示，左焦点为，设圆的圆心为，切圆C于A，则半径.
∵，∴，
则，∴，
∴，化简得.
∴ 椭圆的离心率为.
故答案为：.
12. 我国著名数学家华罗庚说“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”，包含的意思是：几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述，通过“数”与“形”的相互转化，常常可以巧妙地解决问题，所以“数形结合”是研究数学问题的重要思想方法之一.比如：这个代数问题可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点可得，方程的解为__________.
【答案】
【解析】
【分析】将原方程配方，方程的解转化为直线与双曲线的交点的纵坐标。
【详解】原方程可化为，
其几何意义为点到，距离之差的绝对值等于，
则该点的轨迹满足双曲线的定义，根据双曲线的定义得：，，，所以，
又因为双曲线焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为：，
令得，所以原方程的解为。
故答案为：
二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分），每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得多分.
13. “”是“曲线表示椭圆”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据曲线表示椭圆，可求得t的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.
【详解】因为曲线为椭圆，
所以，解得且，
所以“”是“且”的必要而不充分条件.
故选：B
14. 已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ）
A. ⊥B.
C. 与相交但不垂直D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据，所以，进而可以得到与的关系.
【详解】因为，
所以，所以或.
故选：D.
15. 已知曲线，过点作该曲线的5条弦，这些弦的长度构成一个递增的等差数列，则该数列公差的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由直线与圆的位置关系求出最短弦长和最长弦长，然后利用等差数列基本量运算求解即可.
【详解】曲线，即
由已知圆的圆心为，半径为，因为，
所以点在圆内，且，
所以过点的最短弦长为，最长弦长为直径长，
从而公差.
故选：B
16. 已知实数满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】去绝对值分别列出每个象限解析式，数形结合利用距离求解范围.
【详解】当，表示椭圆第一象限部分；
当，表示双曲线第四象限部分；
当，表示双曲线第二象限部分；
当，不表示任何图形；
以及两点，
作出大致图象如图：
曲线上的点到的距离为，
根据双曲线方程可得第二四象限双曲线渐近线方程都是，
直线与距离为，
曲线二四象限上的点到的距离为小于且无限接近1，
联立，消得，
，且，
所以直线与椭圆第一象限部分由两个交点，
考虑曲线第一象限的点到距离得最小值为，
所以，
所以的取值范围是.
故选：A
【点睛】关键点点睛：解决本题问题的关键是确定方程表示的图形，以及通过曲线上的点到直线的距离为的取值范围，间接求解的取值范围.
三､解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤.
17. 已知直线和直线.
（1）若，求实数值；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）0或2 （2）
【解析】
【分析】（1）根据两直线垂直的公式，即可求解；
（2）根据两直线平行，，求解，再代回直线验证.
【小问1详解】
若，则
，解得或2；
【小问2详解】
若，则
，解得或1.
时，，满足，
时，，此时与重合，
所以.
18. 已知等差数列的首项为1，前项和为，且是3与的等比中项.
（1）求数列的通项公式：
（2）若是数列的前项和，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为，由等比中项的性质即可得，再由等差数列的通项公式和前n项和公式代入化简可求出，即可求出数列的通项公式；
（2）由裂项相消法求和即可得，根据数列单调性可求得答案.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，由题意，
即，解得，
所以，
即数列的通项公式为.
【小问2详解】
由，
.
因为，即，
所以为严格增数列，
所以时，有最小值.
19. 从空间一点出发作三条两两互相垂直的坐标轴，可以建立空间直角坐标系.如果坐标系中的坐标轴不垂直；那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.设是空间中相互成角的三条坐标轴，其中分别是轴､轴､轴正方向的单位向量.
（1）计算的值，
（2）若向量，则把有序数对叫做向量在该斜坐标系中的坐标.已知
①求的值；
②求的面积：
【答案】（1）
（2）①，②
【解析】
【分析】（1）直接根据数量积定义求解；
（2）①根据数量积定义求的值；②求出各边长，再求其面积.
【小问1详解】
同理，
所以.
【小问2详解】
①，
，
所以
②，
同理，
，
，
等腰三角形中，可计算得边上的高为，
所以的面积为.
20. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，且.
（1）求证：；
（2）当为钝角时，求实数的取值范围；
（3）若二面角的大小为，求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，由，即可证明；
（2）首先求出点坐标，即可表示出，，依题意可得，即可求出的取值范围；
（3）利用空间向量法求出二面角二余弦值，即可求出，从而得到平面的法向量，再由向量法求出点到平面的距离.
【小问1详解】
因为底面为正方形，底面，
如图以点为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
因为，
所以；
【小问2详解】
因为，
所以，
所以，，
当为钝角时，，
化简得，解得，
显然不平行，所以；
【小问3详解】
因为，，显然，
设是平面的一个法向量，
则，
令，则，则，
又平面的一个法向量为，
则有，解得，
又由已知，所以.
所以，，
由，
所以点到平面的距离为.
21. 已知椭圆的离心率为，左､右顶点分别为，左､右焦点分别为，过右焦点的直线交椭圆于点，且的周长为16.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记直线的斜率分别为，证明：为定值：
（3）记的面积分别为，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据条件，确定的值，确定椭圆的标准方程.
（2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到，，再把用，表示出来，努力化简即可.
（3）把用，表示出来，写成的函数，利用换元的思想，转化成利用对勾函数的单调性求值域的问题解决.
【小问1详解】
由的周长为16可知：，即
又离心率为所以
.
所以椭圆的方程为：.
【小问2详解】
如图：
设
设直线的方程为：.
联立得：
所以.
所以，即：
又，则
所以为定值.
【小问3详解】
由题意可知：
由（2）知.
所以
.
令，则
则
因为在上严格增，
所以当，即时，取得最大值为.
所以的取值范围是.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为，；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.