广东省汕头市濠江区2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试卷（解析版）

这是一份广东省汕头市濠江区2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了 下列是无理数的是， 下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题，共30分）
1. 下列是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，则是有理数，，都是有理数，是无理数，
故选：D
2. 中国是瓷器的故乡．如图是南宋青白瓷斗笠碗，以青白瓷为主题而设计，官窑制品．从上面观察这个图形，得到的平面图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】从上面观察这个图形，得到的平面图形是：
故选：．
3. 最近较火的一款软件ChatGPT横空出世，仅2024年2月9日当天，其下载量达到了次的峰值，用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
故选：B．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. 3a2﹣2a2=1B. a2•a3=a6
C. （a﹣b）2=a2﹣b2D. （a+b）2=a2+2ab+b2
【答案】D
【解析】根据合并同类项法则，可知3a2﹣2a2= a2，故不正确；
根据同底数幂相乘，可知a2•a3=a5，故不正确；
根据完全平方公式，可知（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故不正确；
根据完全平方公式，可知（a+b）2=a2+2ab+b2，正确.
故选D.
5. 甲、乙两人各在黑板上写了一个算式，则其中计算结果为有理数的算式（ ）
甲：
乙：
A. 只有甲是B. 只有乙是C. 甲和乙都是D. 甲和乙都不是
【答案】C
【解析】
，
故甲的算式符合题意；
，
故乙的算式符合题意；
故选：C
6. 某校运动员分组训练，若每组8人，余5人；若每组9人，则缺4人；设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设运动员人数为x人，组数为y组，
根据题意得：，
故选：C．
7. “给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话的意思，是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动.如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
8. 如图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，选择其中两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，
在中：，
∴，
在中：；
故选：B．
9. 如图1和图2，将一个成形状的楔子从木桩的底端点沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．如果楔子斜面的倾斜角为，楔子沿水平方向前进（如箭头所示），那么木桩上升（ ）厘米．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设木桩上升了，
根据题意，在中，，则，
解得：，则木桩上升了，
故选：A．
10. 如图，矩形中，是边上一动点，，，若，那么的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】连接，如下图，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴可设，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
二．填空题（共5小题，共15分）
11. 因式分解：_______．
【答案】
【解析】
．
12. 计算：______．
【答案】1
【解析】，
故答案为：1．
13. 关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是__________．
【答案】
【解析】∵没有实数根，
∴，
∴．
故答案为：．
14. 如图，已知，是的中线，是的中点，则___________．
【答案】
【解析】过点作交于，
则，
是的中线，是的中点，
，，
，
．
故答案为：．
15. 我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了 (n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将如图称为“杨辉三角”，这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为上方左右两数之和
……
请根据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ____
【答案】55
【解析】由题知，含项是展开式中的第三项，
观察每行中的第3个数，如图所示，
该列数中的第10个数为：，
故答案为：55．
三．解答题（共8小题）
16. 计算：．
解：原式
17. 先化简，再求值：，其中
解：
，
当时，
原式．
18. 如图，在每个小正方形边长为1个单位长的网格中，建立直角坐标系xOy，点A，B，C均在格点上．
（1）请在该网格内部画出△A1BC1，使其与△ABC关于点B成位似图形，且位似比为2：1；
（2）直接写出（1）中C1点的坐标为______．
解：（1）如图所示，△A1BC1为所求三角形；
（2）根据（1）得C1点的坐标为（1，0）．
故答案为（1，0）．
19. 为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．求实际施工时每天改造管网的长度．
解：设原计划每天改造管网米，则实际施工时每天改造管网米，
由题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
此时， (米)，
答：实际施工时，每天改造管网的长度是72米；
20. 如图，在正方形ABCD中，点G是对角线上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连接AG．
（1）求证：AG＝CG；
（2）求证：△AEG∽△FAG；
（3）若GE•GF＝9，求CG的长．
（1）证明：∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，
又AD＝CD，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴AG＝CG；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥CB，
∴∠FCB＝∠F，
由（1）可知△ADG≌△CDG，
∴∠DAG＝∠DCG，
∴∠DAB−∠DAG＝∠DCB−∠DCG，即∠BCF＝∠BAG，
∴∠EAG＝∠F，
又∠EGA＝∠AGF，
∴△AEG∽△FAG；
（3）解：∵△AEG∽△FAG，
∴，即GA2＝GE•GF，
∴GA＝3或GA＝−3（舍去），
根据（1）中的结论AG＝CG，
∴CG＝3．
21. 根据以下素材，探索完成任务．
解：任务一：，，长，
，
的值为：；
任务二：闸门没有打开，理由如下：
过点作于，
，，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
解得：，
，
车辆以最高限速行驶到达点的时间为：秒，，
闸门没有打开．
22. 如图，在锐角中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到．
（1）如图①，当点在线段的延长线上时，求的度数；
（2）如图②，连接，，若的面积为2，求的面积；
（3）如图③，点E为线段中点，点P是线段上的动点，在绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点，求线段长度的最大值与最小值．
解：（1）由旋转的性质可得：，，
∴，
∴．
（2）由旋转的性质可得：，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，而，，
∴，
∵面积为2，
∴．
（3）过点B作，D为垂足，
∵为锐角三角形，
∴点D在线段上，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∵点E为线段中点，
∴；
如图1，当P在上运动至垂足点D，绕点B旋转，使点P的对应点在线段上时，，此时最小，且最小值为： ；
②如图，当P在上运动至点C，绕点B旋转，使点P的对应点在线段的延长线上时，最大，且最大值为：．
综上分析可知，线段长度的最大值为与最小值为．
23. 如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点N，当的值最大时，求点D的坐标；
（3）P为抛物线上一点，连接，过点P作交抛物线对称轴于点Q，当时，请直接写出点P的横坐标．
解：（1）把点和代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）过点D作DH∥y轴，交AC于点H，如图所示：
设，直线AC解析式为，
由（1）可得：，
∴，解得：，
∴直线AC的解析式为，
∴，
∴，
∵DH∥y轴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，
∴；
（3）由题意可得如图所示：
分别过点C、Q作垂线，交过点P作y轴的平行线于点G、H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设点，由题意可知：抛物线的对称轴为直线，，
∴，
∴，
当时，解得：，
当时，解得：
综上：点P的横坐标为或或或．探究车牌识别系统的识别角度
素材1
某小区为解决“停车难”这个问题，改造一个地下停车库．图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，，出入口斜坡长．
素材2
图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，摄像头D点位于B点正上方，D，B，C三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭．（参考数据：，，）
素材3
汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速
问题解决
任务一
确定斜坡坡比：如图1，求的值．
任务二
判断车辆是否顺利通过：如图3，当时，请判断此时车辆以最高限速行驶到达B点时，闸门是否已经打开，请通过计算说明．