江西省赣州市大余县部分学校联考2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试卷（解析版）

这是一份江西省赣州市大余县部分学校联考2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A.是二元一次方程，此项不符合题意；
B.是一元一次方程，此项不符合题意；
C.是一元二次方程，此项符合题意；
D.含有两个未知数，不是一元二次方程，则此项不符合题意．
故选：C．
2. 在平面直角坐标系中，把点向右平移6个单位长度得到点，点关于原点的对称点是，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵将点向右平移6个单位得到点，
∴点的坐标是，
∴点关于原点的对称点的坐标是．
故选：D．
3. 下列事件中，是必然事件的是（ ）
A. 同位角相等
B. 圆内接四边形对角互补
C. 抛掷一枚硬币，正面朝上
D. 打开电视，正好播放神舟十九号载人飞船发射回放
【答案】B
【解析】A.同位角相等，是随机事件，故此选项不符合题意；
B.圆内接四边形对角互补，是必然事件，故此选符合题意；
C.抛掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故此选不符合题意；
D.打开电视，正好播放神舟十九号载人飞船发射回放，是随机事件，故此选不符合题意；
故选：B．
4. 如图，点，，，都在上，是的直径，．若，，则的半径为（ ）
A. 5B. 6C. D. 10
【答案】A
【解析】∵是的直径，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
而，，
∴，
∴的半径为；
故选：A
5. 如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，点在该抛物线上，且，则线段的长为（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】B
【解析】抛物线的对称轴为直线，
当时，，
∴；
∵，
∴，
∴，
故选：B．
6. 一个立体图形，俯视图是，左视图是，要搭一个这样的立体图形，需要小正方体个数的情况有（ ）
A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种
【答案】D
【解析】由俯视图可知，这个立体图形的底层小正方体分布情况确定，底层小正方体的个数为6个，
由左视图可知，左视图显示该立体图形有两层，从左视图看，二层左面可以放1个，2个，3个，4个小正方体。
综上，需要小正方体个数的情况有4种，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 若反比例函数的图象经过点，则的值为________．
【答案】
【解析】∵反比例函数的图象经过点，
∴，
解得：，
故答案为：
8. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小为 ________．

【答案】40°
【解析】根据旋转的性质，可得：，
∴．
故答案为：．
9. 在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及三个式子：①；②；③．当从这三个式子中，任意选择一个作为已知条件时，能得到与相似的概率为________．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，而不一定等于，
∴与不一定相似；
∴当从这三个式子中，任意选择一个作为已知条件时，能得到与相似的概率为；
故答案为：
10. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为_______．
【答案】
【解析】，是一元二次方程的两实根，
，，
则．
故答案为：．
11. 七巧板是我国一款传统的益智玩具，能够启迪智慧，陶冶情操．七巧板是由五块含45°角的直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成的．某同学利用图1中七巧板的部分图形拼成图2中的图形．若，则的值为________．
【答案】
【解析】如图所示，
由题意得，，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
故答案为：．
12. 如图，的半径为6，，是的中点．在中，，，，在平面上，移动，点在上移动（含点与点），点始终在上随之移动．若的长是整数，则点到的距离为________．
【答案】或或
【解析】如图，连接，，过作于，过作于，

∵的半径为6，，是的中点，
∴，，，
∴，
∵点在上移动（含点与点），点始终在上随之移动，
∴，
∵的长是整数，
∴或或；
当时，重合，连接，
∵，，，
∴，
∴，
即，
如图，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
当时，如图，连接，过作于，
，，
，
，
，
，
，
当时，重合，如图，连接，过作于，
同理可得：，
∴；
综上：点到的距离为或或；
故答案为：或或
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：．
（2）杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为（单位：），动力臂为（单位：），求动力关于动力臂的函数解析式．
解：（1）
；
（2）由题意可得，，
∴，即，
∴动力关于动力臂的函数解析式：．
14. 如图，小树在路灯的照射下形成投影．
（1）此光源（路灯）形成的投影属于________．（填“平行投影”或“中心投影”）
（2）已知树高为，树影为，树与路灯的水平距离为，求路灯的高度．
解：（1）此光源属于点光源，
此光源下形成的投影属于中心投影；
（2），，
，
，
，
∵树高为，树影为，树与路灯的水平距离为，
∴，
解得：，
路灯的高度为米．
15. 某学校元旦将举行文艺汇演活动，计划从音乐社团，，，四名同学中随机选取若干名，其中，，同学来自八年级，同学来自九年级．
（1）若需要从这四名同学中，随机抽取一人，则恰好抽到的同学来自八年级的概率为________．
（2）若需要从这四名同学中，随机抽取两人，请用画树状图法或列表法求抽到的两名同学均来自八年级的概率．
解：（1）由题意可得：
从这四名同学中，随机抽取一人，则恰好抽到的同学来自八年级的概率为；
故答案为：；
（2）画树状图如下：
总共有12种可能结果，其中两名均来自八年级的结果有6种，
∴P（两名均来自八年级）．
16. 已知关于的方程．
（1）当时，求原方程的解．
（2）求证：在实数范围内，无论取何值，原方程总有两个不相等实数根．
（1）解：当时，则原方程变成，
，即或
解得：，
（2）证明：∵
∴在实数范围内，无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
17. 如图，这是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中作点，连接，，使得．
（2）在图2中作点，连接，，使得．
解：（1）如图，取格点，且，，，连接，则点即为所求；
由网格特点可得：，，，
∴；
（2）如图，取格点，且，，，与格线的交点为，点即为所求；
理由如下：由作图可得：
，，，
∴，
∵，
∴，
∴
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 春节将近，某商家抓住商机，购进一批坚果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋的成本为5元．试销期间发现每天的销售量（单位：袋）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，其中，另外每天还需支付其他各项费用100元．
（1）求与之间的函数关系式．
（2）若该商家每天获得200元的利润，求此时小包装坚果的销售单价．
解：（1）设．
将，；，代入，
得，
解得．
则与之间的函数关系式为．
（2）由题意得：，
整理得：，
解得：，
又∵，
∴，
答：如果每天获得元的利润，销售单价为6元．
19. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，点在上运动，连接，，的面积为6．
（1）直接写出的值．
（2）已知．
①若，求直线的解析式；
②当时，，求的值．
解：（1）∵矩形，的面积为6．
∴矩形的面积为，
∴，
（2）①∵矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，，
∴，
解得：（舍去）
∴，
∴，，
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为；
②∵，
∴，
当时，结合①得：，，
∴，
∴，
解得：，，经检验符合题意；
∴当或时，．
20. 追本溯源
题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，并用（1）中得到的结论完成题（2）．
（1）如图1，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作和边上的高）
结论应用
（2）如图2，绳金塔位于南昌市西湖区，始建于唐天佑年间，已有1100多年的历史，绳金塔古朴秀丽，具有中国江南建筑的典型艺术风格．如图3，某数学实践小组想测量绳金塔的高度，他们在塔底的正东方的点处测得塔顶的仰角为，然后从点处出发，沿着南偏西的方向行进了到达点（，，三点位于同一水平面内），且点在点南偏东方向上．根据以上信息，求绳金塔的高度．（结果精确到；参考数据：，）
解：（1）过点C作与点F，过点A作与点D，
∵，
∴，，
∴，即
同理可证：，
∴．
（2）由题意可得出：，，，，
∴，
由（1）结论可知：，
即，
把，，代入，
则：，
在中，，
即
则绳金塔的高度为．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图1，在中，，，是半圆的直径，点在半圆上运动，射线与射线相交于点．
（1）判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
（2）如图2，，，连接．
①求证：是半圆的切线．
②求图2中阴影部分的面积．
（1）解：是定值，理由如下：
如图，连接，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，而，
∴，
∴是定值．
（2）①证明：如图，连接，
∴，而，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为半径，
∴是半圆的切线；
②解：过作于，
∵，，，
∴，，，，，
∴，
，
∴阴影部分面积为：．
22. 综合与实践
【主题】大棚苗木种植方案设计
【素材】图是一个大棚苗木种植基地的截面图，其下半部分是一个长为、宽为的矩形，其上半部分的形状是一条抛物线，现测得大棚顶部的最高点距离地面．
【素材】种植苗木时，每棵苗木高，为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布（苗木的数量为偶数个）．
【解决问题】
（1）大棚上半部分的形状是一条抛物线，设大棚的高度为，种植点的横坐标为．根据图建立的平面直角坐标系，通过素材提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式（无需写出自变量的取值范围）．
（2）探究种植范围．在图的平面直角坐标系中，在不影响苗木生长的情况下，确定种植点的横坐标的取值范围．
（3）拟定种植方案．求出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标．
解：（1）如图，根据平面直角坐标系以及题意可知，点的坐标为，点的坐标为，
抛物线的顶点坐标为点，
可设抛物线的解析式为．
把点代入可得，
解得:，
抛物线的解析式为；
（2）种植苗木时，每棵苗木高，
当时．
解得：，．
苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布，
种植点的横坐标的取值范围为．
（3）由题意可知，种植后苗木成轴对称分布，且相邻两棵苗木种植点之间间隔，
在距离轴的两侧开始种植，最前排可种植（棵），
则最左边一棵苗木种植点的横坐标为．
答：最前排符合所有种植条件的苗木数量为棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标为．
六、解答题（本大题共12分）
23. 综合与实践
如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，，，将绕点旋转，为直线与直线的交点．
观察发现
（1）如图1，当点在线段上时，求证：．
类比迁移
（2）如图2，当点在延长线上时，求的长．
拓展应用
（3）在绕点旋转的过程中，当的长最小时，求的面积．
（1）证明：∵和是等腰直角三角形， ，
∴，，
∴，
∴，
∴
又∵是等腰直角三角形 ，
∴，
∴；
（2）解：∵和是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：如图，记与的交点为，记与的交点为，
同理可得：，
∴，，
∵，
∴，
∴四点共圆，
∵，，
∴，在直径为的圆上，
当过圆心，即为的中点时，最大，
此时，最大，
∴，此时最小，此时，
∴，
∴.销售单价/元
销售量/袋
330
150