福建省平和广兆中学2024−2025学年高一下学期3月月考数学试卷（含解析）

这是一份福建省平和广兆中学2024−2025学年高一下学期3月月考数学试卷（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．在△ABC中，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，，那么向量可以是（ ）
A．B． C． D．
3．已知，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，已知平行四边形ABCD，，E为CD中点，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量，，则（ ）
A．B．1C．D．2
6．已知点，，，O为坐标原点，若与共线，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
7．在中，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知均为单位向量．若，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．在中，D在边上，，是的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最小值为2
D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
11．对于，下列说法错误的有（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则
C．若，，则符合条件的有两个
D．若，则是钝角三角形
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，与的夹角为，则
13．已知分别为三个内角的对边，若，，则= .
14．已知非零向量满足，，则在方向上的投影向量的模为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量、的夹角为．
(1)求·的值
(2)当时，对于任意的，证明，和都垂直．
16．在中，已知
(1)求角
(2)若，求边的取值范围.
17．如图所示，已知在△AOB中，BC=2AC，OD=2DB，DC和OA交于点E，设，．
(1)用和表示向量、；
(2)若，求实数λ的值
18．△ABC中，角的对边分别为，已知，且，
(1)若，求边长b的值；
(2)求△ABC的面积S的最大值．
19．某景区为吸引游客，拟在景区门口的三条小路之间划分两片三角形区域用来种植花卉（如图中阴影部分所示），已知，三点在同直线上，.

(1)若，求的长度；
(2)求面积的最小值.
参考答案
1．【答案】D
【详解】.
故选D.
2．【答案】A
【详解】向量，，则存在，使得
故只有向量符合.
故选A.
3．【答案】D
【详解】由题意知，，
故，
所以，
故选D.
4．【答案】D
【详解】.
故选D.
5．【答案】A
【详解】.
故选A.
6．【答案】B
【详解】，，
由与共线，故有，
解得.
故选B.
7．【答案】D
【详解】由于，所以为钝角，所以，
由正弦定理得.
故选D.
8．【答案】D
【详解】由，可得，所以，
则在上的投影向量为.
故选D.
9．【答案】BCD
【详解】对于选项A: 由向量得减法法则可知，故A错误;
对于选项B：,故B正确;
对于选项C：,
而，所以，
故C正确;
对于选项D：,故D正确.
故选BCD.
10．【答案】AB
【详解】A，若，则，得，故A正确；
B，若，则，得，故B正确；
C，，则，
则当时，取最小值，故C错误；
D，若向量与向量的夹角为钝角，则且向量与向量不共线，
结合A项可得，且，故的取值范围为，故D错误.
故选AB.
11．【答案】AC
【详解】对于选项A：因为在三角形中，，
故若，则或，可得或，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A不正确，
对于选项：若，则，由正弦定理可得成立．故B正确；
对于选项C：由余弦定理可得：，
即，只有一解，故C错误；
对于选项D：若，由正弦定理得，
由余弦定理，且
所以C为钝角，即是钝角三角形，故D正确；
故选AC．
12．【答案】
【详解】因为，与的夹角为，
所以.
13．【答案】/
【详解】由余弦定理，则，
又，所以.
14．【答案】
【详解】在方向上的投影向量为，为与同向的单位向量，
在方向上的投影向量的模长为；
，，，
，即所求模长为.
15．【答案】(1)2
(2)证明见解析
【详解】（1）．
（2）当时，，
则，与实数的值无关，
即当时，对于任意的，和都垂直．
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，得到，
所以，又，则，
得到，所以.
（2）由正弦定理知，又，所以，，
由，得到，整理得到，
所以，又，
所以，
得到，其中，，
则，解得，
所以边的取值范围为.
17．【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）由题意知，A是BC的中点，且，
由平行四边形法则，，
所以，
.
（2）因为，又，
，
所以＝，解得．
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
由余弦定理可知
∵
又，
∴由正弦定理可知：，∴，．
（2）
由(1)可知
又
由余弦定理可知
当且仅当b＝c时，bc有最大值为12
则△ABC面积最大值．
19．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以在中，由余弦定理可得，
所以，解得.
由正弦定理得，即，解得，
所以.
可得
.
在中，由正弦定理得，则，
解得，所以.

（2）设，则，由于，则.
在中，由正弦定理得，解得.
过点作的垂线，交于点，设的面积为.
则.
所以，所以.
所以
，
即面积的最小值为.