湖北省荆州市公安县第三中学2023-2024学年高一上学期11月月考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省荆州市公安县第三中学2023-2024学年高一上学期11月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设集合，，若，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
2．设函数在区间的最大值是M，最小值为m，则( )
A.0B.2C.1D.3
3．已知，，则下列关系式正确的是( )
A.B.
C.D.
4．已知区间，则下列是“对任意的，”的必要不充分条件的是( )
A.B.C.D.
5．设集合，，则为( )
A.B.C.D.
6．已知是定义在R上的且以2为周期的偶函数，当时，，如果直线与曲线恰有两个不同的交点，则实数a的值为( )
A.B.或
C.0D.或
7．若实数x，y满足约束条件，则的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．已知函数是定义在R上的偶函数，且对任意的，都有，当时，.若函数在内恰有2个不同的零点，则实数k的取值范围是( )
A.B.
C.D.
9．已知集合，若实数，满足：对任意的，都有，则称是集合M的“和谐实数对”，则以下集合中，存在“和谐实数对”的是( )
A.B.
C.D.
10．定义在R上的函数，，若在区间上为增函数，且存在，使得.则下列不等式不一定成立的是( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
11．下列说法正确的有( )
A.若，则的最大值是
B.若x，y，z都是正数，且，则的最小值是3
C.若，，，则的最小值是2
D.若实数x，y满足，则的最大值是
12．若函数的定义域为，值域也为，则称为的“保值区间”.下列结论正确的是( )
A.函数不存在保值区间
B.函数存在保值区间
C.若函数存在保值区间，则
D.若函数存在保值区间，则
三、填空题
13．设集合，则集合M的非空真子集个数为___________.
14．对一切实数x，令为不大于x的最大整数.例，.若，则实数x的取值范围是___________.
15．二次函数恒有两个零点、，不等式恒成立，则实数l的最大值为____.
四、双空题
16．设实数x、y满足，则的最大值为__________，的最小值________.
五、解答题
17．已知集合，集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数a的取值范围.
18．已知函数为幂函数，且在上单调递增.
（1）求m的值，并写出的解析式；
（2）令，，求的值域.
19．已知
（1）若实数，证明：存在，使得恒成立
（2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围.
20．已知函数.
（1）用定义证明函数在区间上单调递增；
（2）对任意都有成立，求实数m的取值范围.
21．第24届冬奥会计划于2022年2月4日在北京召开，随着冬奥会的临近，中国冰雪运动也快速发展，民众参与冰雪运动的热情不断高涨.盛会的举行不仅带动冰雪活动，更推动冰雪产业快速发展.某冰雪产业器材厂商，生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本为万元，其中与x之间的关系为：，通过市场分析，当每千件产品售价为40万元时，该厂年内生产的商品能全部销售完.
（1）写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
22．设函数，a，b，，为的导函数.
（1）若，，求a的值；
（2）若，，且和的零点均在集合中，求的极小值.
参考答案
1．答案：D
解析：或.
因为集合，，所以.
故选：D.
2．答案：B
解析：令，则函数为奇函数，
在区间上的最大值与最小值之和为0，
即，
.
故选：B.
3．答案：A
解析：对于A、B：
，，
，故A正确，B错误；
对于C：当，时，，，故C错误；
对于D：当，时，，故D错误；
故选：A.
4．答案：B
解析：由“对任意的，”，得，即，
则原题等价于探求“”的必要不充分条件，
A选项“”为“”的充要条件，故A错误；
B选项“”为“”的必要不充分条件，故B正确；
C选项“”为“”的既不充分也不必要条件，故C错误；
D选项“”为“”的既不充分也不必要条件，故D错误；
故选：B.
5．答案：A
解析：因为，，
所以，
故选：A.
6．答案：D
解析：当时，，所以，因为是偶函数，所以，即，所以，，同理可得，，作出函数的图象如图所示：
在一个周期上，当时，直线与曲线恰有两个不同的交点；当时，直线与曲线相切，并和曲线在上的图象有一个交点.因为函数的最小正周期为2，所以实数a的值是或（），故选D.
7．答案：D
解析：画出满足条件的平面区域，如图所示，作出直线并平移.易知目标函数在点A处取得最小值，没有最大值.联立，解得.此时，所以的取值范围为.
故选：D.
8．答案：A
解析：已知对任意的，都有，
当时，，且函数是定义在R上的偶函数，
所以画出函数的图象，如图所示：
若函数在内恰有2个不同的零点，
又，已有一个交点，则转化为在内恰有1个零点，
即在内恰有1个交点，
由图可知，当过点时，，，
当与相切原点时，，，则此时，
当过点时，
故实数k的取值范围是.
故选A.
9．答案：C
解析：可知，所有满足题意的有序实数对所构成的集合为，将其看作点的集合，为中心在原点，，，，为顶点的正方形及其内部，A，B，D选项分别表示直线，圆，双曲线，与该正方形及其内部无公共点，选项C为抛物线，有公共点，故选C.
10．答案：D
解析：由条件可得
函数关于直线对称；
在上单调递增，且在时使得；
又
，，所以选项B成立；
，比离对称轴远，
可得，选项A成立；
，，可知比离对称轴远
，选项C成立；
，符号不定，，无法比较大小，
不一定成立.
故选：D.
11．答案：ABD
解析：对于A，因为，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，故A正确；
对于B，因为x，y，z都是正数，且，所以，，，
所以，
当且仅当，即，即时等号成立，所以的最小值为3，故B正确；
对于C，因为，，所，即（当且仅当时等号成立），
因为，所以，所以，
所以，解得（舍去）或，当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为4，故C错误；
对于D，，设，，
，
，当且仅当，即时，取等号
，
则的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
12．答案：ACD
解析：对于A，在和上单调递增，
令，得，，故不存在保值区间，故A正确，
对于B，当时，，当时，，
在单调递减，在单调递增，，
若存在保值区间，
若，令得x无解，
若，则，作差后化简得或，不合题意，
故不存在保值区间，故B错误，
对于C，若存在保值区间，
而在上单调递增，故，得，故C正确，
对于D，函数在上单调递减，
若存在保值区间，
则，作差得，
得，则原式等价于在上有两解，
令，则在上有两解，
而在上单调递减，在上单调递增，
当时，，故，故D正确，
故选：ACD.
13．答案：6
解析：因为有3个元素，
所以集合M的非空真子集个数为个.
故答案为：6.
14．答案：
解析：根据题意可得：，则或，
或.
故答案为：.
15．答案：
解析：由恒有两个零点，则，
令，
，而，
，若，
，
当时，有；当时，有；
综上，，要使恒成立，则，故l的最大值为.
故答案为：.
16．答案：；
解析：依题意，，则有，解得，
当且仅当时取“=”，由解得或，
所以当，时，取得最大值；
当x、时，，当且仅当时取“=”，因此，当且仅当时取“=”，
于是得，解得，
由解得或，
所以当，或，时，取得最小值.
故答案为：；.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，且，
所以，即是方程的根，
所以，得，
则，
所以.
（2）因为，所以，
对于方程，，
①当即时，，满足，
②当即或时，，
因为，所以或或，
当时，，得，
当时，，无解，
当时，，无解，
综上所述，.
18．答案：（1），
（2）
解析：（1）因为为幂函数，且在上单调递增，
则，解得，所以，.
（2），.
①当时，在上单调递减，
所以，，此时；
②当时，，
设，，可得，
，此时，
综上，的值域为.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）当时，，所以存在，使得恒成立.
（2）当时，对任意恒成立.
因为，设，则有，又，所以，所以在上单调递增，且有最小值.
当时，，即，所以在上单调递增且恒成立，即成立；
当时，，当时，，，使，则在上单调递减，在上单调递增，所以，，不符合题意，所以不成立；
综上所述：.
20．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）任取，，且，
因为，所以，，
所以，即.所以在上为单调递增.
（2）任意都有成立，即.
由（1）知在上为增函数，所以时，.
所以实数m的取值范围是.
21．答案：（1）
（2）年产量为72千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为360万元
解析：（1）当，时，；
当，时，，
所以.
（2）当，时，，对称轴为，
所以当时，取得最大值；
当，时，
，当且仅当，即时取等号.
所以取得最大值，
综上所述，当时，取得最大值
即年产量为72千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为360万元.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，所以.
因为，所以，解得.
（2）因为，
所以，
从而.令，得或.
因为a，b，都在集合中，且，所以，，.
此时，.
令，得或.列表如下：
所以的极小值为.
x
-3
1
+
0
-
0
+
极大值
极小值