湖北省荆州市公安县第三中学2024-2025学年高一下学期5月考试数学试卷 含解析

这是一份湖北省荆州市公安县第三中学2024-2025学年高一下学期5月考试数学试卷 含解析，共15页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。）
1．设复数 ，则 的共轭复数 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点 则与 同方向的单位向量为（ ）
A． B． C． D．
3．在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，已知 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． 或 D． 或
4．若 ， 且 ， 则 和 的夹角是（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量 ，向量 在 方向上的投影向量为 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
6．在 中， ，则最大角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 的面积 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
8．在 中， ， ， 是 外接圆的圆心， 在线段 上，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分。）
试卷第 1 页，共 3 页
9．已知函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数 的图象关于点 中心对称
C．将 的图象向左平移 个单位长度，可得到 的图象
D．函数 在区间 上单调递增
10．已知复数 ，其中 为虚数单位，在复平面内 对应的点为 ，则下列说
法正确的是（ ）
A．当 时， 为纯虚数
B．满足 的点 的集合是以原点为圆心，以 2 为半径的圆
C． 的虚部为
D．若 且复数 是方程 的一个根，则方程 的另一
个复数根为
11．已知点 是三角形 的边 上的点，且 ，以下结论正确
的有（ ）
A．若点 是 的中点， ，则
B．若 平分 ，则
C．三角形 外接圆面积最大值为
D．若 ，则内切圆半径为 2
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。）
12．如图，在 中， 是 的中点，若
，则实数 的值是 .
13．已知 ， ，则
．
14．在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，且
，则 的面积 .
试卷第 1 页，共 3 页
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（13 分）（1）已知 ，若 与 平行，求 ；
（2）已知 与 的夹角为 ，若 与 垂直，求实数 的值．
16．（15 分）在 中，角 所对的边分别为 ，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ， ， 为 的中点，求 ．
17．（15 分）在 中， 对应的边分别为 ，已知向量
,且 为边 上一点， ,且
.
(1)求 ；
(2)求 面积的最大值.
试卷第 1 页，共 3 页
18．（17 分）已知函数 的部分图象如图所示，
且 ， 的面积等于 ．
(1)求函数 的解析式；
(2)求函数 的对称轴和对称中心；
(3)将 图象上所有的点向左平移 个单位长度，得到
函数 的图象，若对于任意的 ，当 时，
恒成立，求实数 的最大值．
19．（17 分）在 中， ， ， 对应的边分别为 ， ， ，
(1)求 ；
(2)若 为线段 内一点，且 ，求线段 的长；
(3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字
来命名，如对于任意的 ，都有 被称为柯西
不等式；在（1）的条件下，若 ，求：
的最小值；
试卷第 1 页，共 3 页
《公安三中 2024 级高一下学期 5 月考试数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C B C A D B ABC BD
题号 11
答案 AB
1．D
【分析】先对复数化简，然后求出其共轭复数，从而可求出 的虚部.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 的共轭复数 的虚部为 .
故选：D
2．A
【详解】试题分析： ,所以与 同方向的单位向量为
，故选 A.
考点：向量运算及相关概念.
3．C
【分析】根据正弦定理可求得答案.
【详解】解：由正弦定理，得 .
∵ ，∴ ，∴ 或 .
故选：C.
4．B
【分析】根据向量垂直列方程，化简求得正确答案.
【详解】设 的夹角为 ，
由于 ，所以 ，
所以 ，由于 ，所以 .
故选：B
答案第 1 页，共 2 页
5．C
【分析】利用向量 在 方向上的投影向量为 ，代入数据计算可得 .
【详解】由题意： .
故选：C
6．A
【分析】由正弦定理与余弦定理求解即可.
【详解】由题意可知 ，所以 ，所以 最大，
设 ，
由余弦定理得： ，
故选：A
7．D
【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解： 的面积 ，
，
，
则 ，
，
，
，
， ， ，
，
．
故选：D．
8．B
答案第 1 页，共 2 页
【分析】设 的中点分别为 ，连接 ，根据外心的性质可得
， ，结合三点共线设
，进而运算求解即可.
【详解】设 的中点分别为 ，连接 ，则 ，
可得 ，
同理可得 ，
因为 在线段 上，设 ，
则
，
所以 的取值范围是 .
故选：B.
9．ABC
【分析】根据正弦函数的周期即可判断 A；根据正弦函数的对称性即可判断 B；根据左右平
移的原则即可判断 C；根据正弦函数的单调性即可判断 D.
【详解】对于 A， 的周期 ，所以 A 正确；
对于 B，因为 ，
所以函数 的图象关于点 中心对称 ，故 B 正确；
对于 C，将 的图象向左平移 个单位长度，
得到 的图象，故 C 正确；
答案第 1 页，共 2 页
对于 D 中，因为 ，所以 ，
所以 在 上不单调，故 D 错误.
故选：ABC.
10．BD
【分析】结合复数的概念，复数的几何意义，复数的运算，即可求解.
【详解】对于 A，当 时，则 不为纯虚数，故 A 错误；
对于 B， 即到原点距离为 2 的点构成，故点 的集合是以原点为圆心，以 2 为半径的
圆，故 B 正确；
对于 C， 的虚部为 ，故 C 错误；
对于 D， ，且复数 是方程 的一个根，则方程 的另一
个复数根是其中一个根的共轭复数，为 ，故 D 正确.
故选：BD.
11．AB
【分析】将 平方求解即可判断 A；由角平分线定理可判断 B；利用正弦定
理表示出半径，根据正弦函数的性质可判断 C；注意到内切圆直径必小于 边上的高，结
合 A 即可判断 D.
【详解】对于 A，因为点 是 的中点，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
故 ，故 A 正确；
对于 B，由角平分线定理可知 ，故 B 正确；
对于 C，根据正弦定理可得三角形 外接圆半径 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以三角形 外接圆面积最小值为 ，故 C 错误；
对于 D，由上知 ，则 边上的中线长为 ，则 边上的高小于 ，
所以内切圆直径小于 ，即半径小于 ，因为 ，故 D 错误.
故选：AB
答案第 1 页，共 2 页
12． /
【分析】根据平面向量基本定理结合已知条件将 用 表示即可求出 的值
【详解】因为 ，所以 为 的中点，
因为 是 的中点，
所以 ，
所以 ,
因为 ，
所以 ，
故答案为：
13．
【分析】根据题意，由 的范围可得 的范围，从而可得 的值，再由
，结合余弦的差角公式代入计算即得.
【详解】因为 ，则 ，则 ，
又 ，所以 ，
则 ，
所以
.
故答案为：
14．
【分析】应用正弦边角关系及三角形内角的性质得 ，根据已知有 ，再
应用余弦定理、三角形面积公式求结果.
答案第 1 页，共 2 页
【详解】由 及正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，故 ，
又因为 ，所以 ，
由 ，得 ，
由余弦定理得 ，
所以 的面积 .
故答案为：
15．（1） ；（2） ．
【分析】（1）先求出 ， ，再由平行向量的坐标表示求出 ，再由模长公式求
解即可；
（2）由数量积的定义求出 ，再由数量积的运算律结合 与 垂直即可得出答案.
【详解】（1）因为 ，
且 与 平行，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ．
（2）已知 与 的夹角为 ，
所以 ，
因为 与 垂直，
所以
所以 ．
16．(1) (2)
【分析】（1）根据余弦定理或正弦定理进行边角转化，可求角 .
答案第 1 页，共 2 页
（2）法一：在 中，利用余弦定理，先求边 与 ，再在 中利用余弦定理
求 .
法二：利用 ，在 和 中利用余弦定理列式，可求 的值.
法三：在 中，利用余弦定理，先求边 ，再利用 ，结合平面向量数
量积的有关运算，可求 的值.
【详解】（1）法一：因为 ，由余弦定理： ，
得： ，则 ，因为 ，所以 ．
法二：因为 ，由正弦定理得：
， ，
， ，
因为 ，所以 ，因为 ，所以 ．
（2）在 中，由余弦定理得： ，
得： ，
法一： ，
在 中，由余弦定理得： ，得： ．
法二：因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，解得： ．
法三：因为 ，所以 ，
，所以 ．
17．(1) (2)
答案第 1 页，共 2 页
【分析】（1）由 得 ，从而计算 ；
（2）由题意 ，两边平方结合基本不等式可得 ，利用面积公式即可求.
【详解】（1）因为 ，且 ，
所以 ，
利用二倍角公式和边化角可得： ，
即 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，即 .
（2）
因为 ，
所以 ，
两边平方得： ，
所以 ，当且仅当 时取等号.
由 ，可得： ，
所以 .
所以 面积的最大值为 .
18．(1)
(2)对称轴为直线 ， ，对称中心为 ， (3)
【分析】（1）由图象可得函数的最值、周期与相位，分别建立方程，可得答案.
答案第 1 页，共 2 页
（2）根据正弦函数的对称轴与对称中心，建立方程，可得答案；
（3）由函数图象变换可得新函数的解析式，整理不等式构造函数，根据正弦函数的单调性，
可得答案.
【详解】（1）由图可得 ，则 ， ，则 ，
解得 或 ， ，由 ，则 ，
由 ，则 ，由图可得周期 ，易得 ，
所以 .
（2）令 ， ，解得 ， ，
令 ， ，解得 ， ，
所以 的对称轴为直线 ， ，
对称中心为 ， .
（3）由题意可得 ，
要证 ，只需证 ，
令 ，
由题意可得 ，则 ，即求函数 的单调递减区间，
令 ， ，解得 ， ，
由题意可得 ， ，
则 ， ，解得 ， ，
当 时，令 ，则 ，此时 ，不合题意，
令 ，则 ，此时 ，符合题意；
当 时，令 ，则 ，此时 ，不
合题意，
令 ，则 ，不符合题意；易知当 时，都不符合题意
答案第 1 页，共 2 页
所以 的最大值为 .
19．(1) (2) (3)48
【分析】（1）利用同角三角函数关系和正弦定理边角互化对等式进行化简，再结合余弦定理
即可求解.
（2）法一：用基向量法，将 用 表示，等式左右两边同时平方，利用模长和数量
积公式即可求解；法二：用坐标系法，以 AB 所在的直线为 轴，A 为坐标原点建立坐标系，
将 用坐标表示，结合坐标表示求模长即可；
（3）根据柯西不等式的定义直接化简，当且仅当 为正三角形时取等号，即可得到最
小值.
【详解】（1）因为
所以 ，
由正弦定理 ，
所以
即： ，又 ，所以 ；
（2）（方法一）因为 ，所以 ，
所以 ，
所以
，及
（方法二）以 AB 所在的直线为 轴，A 为坐标原点建立坐标系，如图，
则
则：
答案第 1 页，共 2 页
所以 ；
（3）根据柯西不等式：
（当且仅当 为正三角形时取等号）
即： 的最小值为 48.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是仿照柯西不等式的形式进行代入构造，找到所求要素与
柯西不等式的联系，再运用正弦定理进行求解.
答案第 1 页，共 2 页