2023-2024学年河南省漯河市高二（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省漯河市高二（下）第一次月考数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.89×90×91×…×100可以表示为( )
A. A10010B. A10011C. A10012D. A10013
2.若f(x)=ln(−x)，则f′(−2024)=( )
A. −12024B. −2024C. 12024D. 2024
3.书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有( )
A. 22种B. 350种C. 32种D. 20种
4.函数f(x)=2x+sinx在区间[0,π]上的( )
A. 最小值为0，最大值为π+1B. 最小值为0，最大值为2π
C. 最小值为π+1，最大值为2πD. 最小值为0，最大值为2
5.现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )
A. 120种
B. 180种
C. 60种
D. 48种
6.若f(x)=alnx+x2在x=1处有极值，则函数f(x)的单调递增区间是( )
A. (1,+∞)B. (0,1)C. (1,3)D. (12,1]
7.在0，1，2，3，4，5，6这7个数中任取4个数，将其组成无重复数字的四位数，则能被5整除，且比4351大的数共有( )
A. 54个B. 62个C. 74个D. 82个
8.已知f(x)为定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，已知f(1)=0，当x>0时，有2f(x)−xf′(x)>0，则使f(x)>0成立的x的取值范围为( )
A. (−∞,−1)∪(0,1)B. (−1,0)∪(1,+∞)
C. (−∞,−1)∪(1,+∞)D. (−1,0)∪(0,1)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2，3，3，4条，现要从一面上山，从剩余三面中的任意一面下山，则下列结论正确的是( )
A. 从东面上山有20种走法B. 从西面上山有27种走法
C. 从南面上山有30种走法D. 从北面上山有32种走法
10.如图是导函数y=f′(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A. (3,5)为函数y=f(x)的单调递减区间
B. (4,5)为函数y=f(x)的单调递增区间
C. 函数y=f(x)在x=3处取得极大值
D. 函数y=f(x)在x=4处取得极小值
11.有6名同学参加3个智力竞赛项目，则下列说法正确的是( )
A. 若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有729种不同的报名方案
B. 若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有216种不同的报名方案
C. 每项只报一人，每人报名参加的项目不限，则共有216种不同的报名方案
D. 每项只报一人，且每人至多报名参加一项，则共有120种不同的报名方案
12.已知函数f(x)=ex−ax2(a为常数)，则下列结论正确的有( )
A. a=e2时，f(x)≥0恒成立
B. a=1时，x=1是f(x)的极值点
C. 若f(x)有3个零点，则a的范围为(e24,+∞)
D. a=12时．f(x)有唯一零点x0且−1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有______条(用数值表示)
14.已知命题p：a=2，命题q：函数f(x)=x(x−a)2有极小值点2，则p是q的______条件(填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一)．
15.已知f(x)=2sinx+f′(0)csx，则f′(0)= ______．
16.若直线l：y=kx+b(k>12)与曲线f(x)=ex−1和g(x)=ln(x+1)均相切，则直线l的方程为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
求下列函数的导数：
(1)y=sinx+tanx(x∈(0,π2))；
(2)y=ln(3x2+5)．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=12x2−lnx．
(1)f(x)的单调区间．
(2)函数f(x)在区间[1,e]上的最大、最小值．
19.(本小题12分)
某学校共有20人自愿组成数学建模社团，其中高一年级5人，高二年级8人，高三年级7人．
(1)每个年级各选一名组长，有多少种不同的选法？
(2)选两人作为社团发言人，这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？
(作答要求：除了写清楚列式计算的步骤，还需要写清楚文字说明)
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=4x3−ax2+a2，a>0．
(1)当a=1时，求f(x)在(1,f(1))处的切线方程；
(2)若x>0时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
21.(本小题12分)
用0，1，2，3，…，9十个数字可组成多少个不同的．
(1)三位数？
(2)无重复数字的三位数？
(3)小于500且没有重复数字的自然数？
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=alnx+2x−12x2(a≠0)在定义域上有两个极值点x1，x2．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若f(x1)+f(x2)=2e+2，求a的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为89×90×91×…×100=100×99×...×(100−m+1)=A100m，m∈N，
所以100−m+1=89，解得m=12．
故选：C．
利用排列数公式化简建立方程即可求解．
本题考查了排列数公式的应用，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：f′(x)=1x，则f′(−2024)=1−2024．
故选：A．
根据求导公式计算即可．
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：根据题意，任选一本阅读，包括3种情况：
①一本语文有10种取法，
②一本数学有5种取法，
③一本英语有7种取法，
则不同的选法有10+5+7=22种；
故选：A．
根据题意，按选出科目的不同分3种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
本题考查分类计数原理的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：f′(x)=2+csx>0，
所以f(x)在区间[0,π]上单调递增，
因此f(x)的最小值为f(0)=0，最大值为f(π)=2π．
故选：B．
先求得函数f(x)的导数，进而得到f(x)在区间[0,π]上单调性，即可求得f(x)在区间[0,π]上的最小值和最大值．
本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：根据题意，
对于区域1，有5种颜色可选，
对于区域2，与区域1相邻，有4种颜色可选，
对于区域3，与区域1、2相邻，有3种颜色可选，
对于区域4，与区域2、3相邻，有3种颜色可选，
则一共有5×4×3×3=180种着色方法；
故选：B．
根据题意，依次分析4个区域的着色方法数目，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查分步计数原理，这种问题解题的关键是看清题目中出现的结果，几个环节所包含的事件数在计算时要做到不重不漏．
6.【答案】A
【解析】解：由f(x)=alnx+x2得f′(x)=ax+2x，f′(1)=a+2=0，
解得a=−2，
故f′(x)=−2x+2x=2x2−2x=2(x+1)(x−1)x(x>0)，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
故函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞)．
故选：A．
由f′(1)=0求得a，结合导数正负可求f(x)的单调递增区间．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了分步乘法和分类加法计数原理，属于中档题．
由题意分千位数为4，百位数为3；千位数为4，百位数为5；千位数为4，百位数为6；千位数为5；千位数为6五种情况分析求解即可．
【解答】
解：若这个数的千位数为4，百位数为3，则这个数可以是4360，4365，共2个，
若这个数的千位数为4，百位数为5，则这个数的个位只能是0，满足条件的数共有C41=4个，
若这个数的千位数为4，百位数为6，则满足条件的数共有C21C41=8个，
若这个数的千位数为5，这个数的个位只能是0，则满足条件的数共有A52=20个，
若这个数的千位数为6，则满足条件的数共有C21A52=40个，
故满足条件的数共有74个．
故选：C．
8.【答案】D
【解析】解：令g(x)=f(x)x2，x∈(−∞,0)∪(0,+∞)，
∵函数f(x)为定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，
∴f(−x)=f(x)，即g(−x)=f(−x)(−x)2=f(x)x2=g(x)，
∴函数g(x)为偶函数，
当x>0时，g′(x)=x2f′(x)−2xf(x)x4=xf′(x)−2f(x)x3<0，
∴函数g(x)在(0,+∞)上为减函数，且g(1)=f(1)12=0，
由f(x)>0得g(x)=f(x)x2>0，则g(x)=g(|x|)>0=g(1)，
∴|x|<1x≠0，解得−1故使f(x)>0成立的x的取值范围为(−1,0)∪(0,1)．
故选：D．
令g(x)=f(x)x2，其中x≠0，分析函数g(x)的奇偶性及其在(0,+∞)上的单调性，由f(x)>0可得出g(x)>0，可得出g(|x|)>g(1)，可得出关于x的不等式，求解即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若从东面上山，上山的路2条，下山的路有3+3+4=10条，则有2×10=20条，A正确；
对于B，若从西面上山，上山的路3条，下山的路有2+3+4=9条，则有3×9=27条，B正确；
对于C，若从南面上山，上山的路3条，下山的路有2+3+4=9条，则有3×9=27条，C错误；
对于D，若从北面上山，上山的路4条，下山的路有2+3+3=8条，则有4×8=32条，D正确；
故选：ABD．
根据题意，由分步计数原理依次分析选项，综合可得答案．
本题考查分步、分类计数原理的应用，注意分类、分步计数原理的不同，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：由图象可知，x∈(3,5)时，f′(x)<0，
所以(3,5)为函数y=f(x)的单调递减区间，故A正确；
由图象可知，x∈(4,5)时，f′(x)<0，
所以(4,5)为函数y=f(x)的单调递减区间，故B错误；
由图象可知，f′(3)=0，
且当x∈(0,3)时，f′(x)>0，当x∈(3,5)时，f′(x)<0，
所以f(x)在(0,3)上单调递增，在(3,5)上单调递减，
故函数y=f(x)在x=3处取得极大值，故C正确；
由图象可知，f′(4)≠0，故x=4不是函数的极值点，故D错误．
故选：AC．
对于AB选项，利用函数的单调性和导数的正负关系进行判断；对于CD选项，利用函数的极值点的定义判断．
本题考查导数的综合运用，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：若每人报名参加一项，每项的人数不限，则每个人有3个结果，则共有3×3×3×3×3×3=729种不同的方案，故A正确，B错误，
若每项只报一人，每人报名参加的项目不限，则每项6个人可报共有6×6×6=216种，故C正确，
若每项只报一人，且每人至多报名参加一项，则只能有3个人参加，则有A63=120种，故D正确，
故选：ACD．
根据分步计数原理分别进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用分步计数原理以及排列组合公式进行计算是解决本题的关键，是中档题．
12.【答案】CD
【解析】解：对于A，当a=e2时，f(x)=ex−e2x2,f′(x)=ex−ex，令g(x)=f′(x)，g′(x)=ex−e，
令g′(x)=ex−e>0，则x>1，f′(x)在(1,+∞)上单调递增，在(−∞,1)上单调递减，故f′(x)≥f′(1)=0，∴f(x)在R上单调递增，f(−1)=1e−e2<0，故A错误；
对于B，当a=1时，f(x)=ex−x2，f′(x)=ex−2x，令m(x)=f′(x)，m′(x)=ex−2，
令m′(x)=ex−2>0，则x>ln2，f′(x)在(ln2,+∞)上单调递增，在(−∞,ln2)上单调递减，故f′(x)≥f′(ln2)=2−2ln2>0，∴f(x)在R上单调递增，无极值，故B错误；
对于C，令f(x)=ex−ax2=0，当x=0时，显然f(0)≠0，故x=0不是函数的零点，当x≠0时，则a=exx2，记F(x)=exx2，则F′(x)=ex(x−2)x3，
令F′(x)=ex(x−2)x3>0得x<0或x>2，故F(x)=exx2在(−∞,0)，(2,+∞)单调递增，在(0,2)单调递减，且F(2)=e24，且当x→+∞和x→0时，F(x)→+∞，故f(x)有3个零点，则a的范围为(e24,+∞)，C正确，
对于D，当a=12时，f(x)=ex−12x2，f′(x)=ex−x，令h(x)=f′(x)，h′(x)=ex−1，h′(x)=ex−1>0，则x>0，f′(x)在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减，故f′(x)≥f′(0)=1，∴f(x)在R上单调递增，则此时f(x)至多只有一个零点x0，
又f(−1)=e−1−12=2−e2e<0,f(−12)=e−12−18=8− e8 e>0，
由零点存在性定理可知，存在唯一的x0，满足−1故选：CD．
对于AB，将a=e2和a=1代入，判断函数的单调性，即可求解，对于C，将问题转化为a=exx2，构造函数F(x)=exx2，利用导数求解函数的单调性即可求解；对于D，将a=12代入，利用零点存在性定理判断即可．
本题主要考查导数知识的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
13.【答案】30
【解析】解：若直线方程Ax+By+C=0经过坐标原点，则C=0，那么A，B任意取两个即可，有A62=30，
故答案为：30．
先根据条件知道C=0，再根据计算原理计算即可．
本题考查了直线过原点的条件和计数原理的应用．
14.【答案】充要
【解析】解：因为函数f(x)=x(x−a)2有极小值点2，
所以f′(x)=(x−a)2+2x(x−a)=(x−a)(3x−a)，
所以f′(2)=(2−a)(6−a)=0，解得a=2或a=6，
当a=2时，f′(x)=(x−2)(3x−2)，
当x<23或x>2时，f′(x)>0，当23所以f(x)在(−∞,23)，(2,+∞)上单调递增，(23,2)上单调递减，
所以当x=2时，f(x)取极小值；
当a=6时，f′(x)=(x−6)(3x−6)，
当x<2或x>6时，f′(x)>0，当2所以f(x)在(−∞,2)，(6,+∞)上单调递增，(2,6)上单调递减，
所以当x=2时，f(x)取极大值，不合题意，
综上所述，a=2．
所以p是q的充要条件．
故答案为：充要．
根据条件函数f(x)=x(x−a)2有极小值点2，则f′(2)=0，求出a，检验2是不是函数的极小值点，即可得到答案．
本题考查利用导数研究函数的极值，属中档题．
15.【答案】2
【解析】解：由f(x)=2sinx+f′(0)csx⇒f′(x)=2csx−f′(0)sinx，
所以f′(0)=2cs0−f′(0)×sin0⇒f′(0)=2．
故答案为：2．
利用基本初等函数的求导公式及加法运算法则计算即可．
本题考查导数的计算，属于基础题．
16.【答案】y=x
【解析】解：f′(x)=ex−1，g′(x)=1x+1，
则函数f(x)在点(x1,f(x1))处切线方程为y−ex1−1=ex1−1(x−x1)，
即：y=ex1−1x+ex1−1(1−x1)，
函数g(x)在点(x2,g(x2))处切线方程为：y−ln(x2+1)=1x2+1(x−x2)，
即：y=1x2+1x+ln(x2+1)−x2x2+1，
∵直线l：y=kx+b既是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线，
∴ex1−1=1x2+1ex1−1(1−x1)=ln(x2+1)−x2x2+1，
消去x1得ln(x2+1)−x2x2+1=e−ln(x2+1)⋅ln(x2+1)，
即x2ln(x2+1)=x2，
∴x2=0或x2=e−1，
若x2=0，则x1=1，此时直线l的方程：y=x；
若x2=e−1，则x1=0，此时直线l的方程：y=1ex+1e(舍去)．
综上所述：直线方程为y=x．
故答案为：y=x．
利用函数在某一点处的导数值即为函数在该点处切线的斜率，结合两切线为同一条直线联立方程组求解．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：(1)y=sinx+tanx(x∈(0,π2))，y′=(sinx)′+(sinxcsx)′=csx+csx⋅csx−sinx⋅(−sinx)(csx)2=csx+1cs2x,x∈(0,π2)；
(2)y=ln(3x2+5)，y′=(3x2+5)′3x2+5=6x3x2+5．
【解析】按照导数运算法则和复合函数的求导法则求导即可．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)已知f(x)=12x2−lnx，函数定义域为(0,+∞)，
可得f′(x)=x−1x=x2−1x，
当0当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；
(2)由(1)知函数f(x)在[1,e]上单调递增，
所以当x=1时，函数f(x)取得最小值，最小值f(1)=12，
当x=2时，函数f(x)取得最大值，最大值f(e)=12e2−1，
故函数f(x)在区间[1,e]上的最大值为12e2−1，最小值为12．
【解析】(1)由题意，对函数f(x)进行求导，利用导数的几何意义即可得到函数f(x)的单调区间；
(2)结合(1)中所得函数f(x)的单调区间，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理和运算能力．
19.【答案】解：(1)根据题意，分3步进行分析：
①从高一学生中选出1人，有5种选法；
②从高二学生中选出1人，有8种选法；
③从高三学生中选出1人，有7种选法．
由分步乘法计数原理可得，共有5×8×7=280种选法．
(2)根据题意，分3种情况讨论：
①选出的是高一、高二学生，有5×8=40种选法；
②选出的是高一、高三学生，有5×7=35种选法；
③选出的是高二、高三学生，有8×7=56种选法．
由分类加法计数原理可得，共有40+35+56=131种选法．
【解析】(1)根据题意，依次分析从高一、高二、高三学生中选出1人的选法，由分步计数原理计算可得答案；
(2)根据题意，按选出2个学生来自的年级分3种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
20.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=4x3−x2+1，f′(x)=12x2−2x，
则f(1)=4，f′(1)=10，
所以f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y−4=10(x−1)，即10x−y−6=0；
(2)f′(x)=12x2−2ax=2x(6x−a)，
又a>0，
令f′(x)<0，解得00，解得x>a6，
则函数f(x)在(0,a6)上单调递减，在(a6,+∞)上单调递增，
所以f(x)min=f(a6)=4×(a6)3−a×(a6)2+a2≥0，
解得0即实数a的取值范围为(0,108]．
【解析】(1)将a=1代入函数解析式，利用导数的几何意义即可得解；
(2)对函数f(x)求导，求出其单调性，进而得到其最小值，再根据题意即可得解．
本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题．
21.【答案】解：(1)百位不能为0，有9种选法，十位和个位各有10种选法，
故有9×10×10=900种，．
(2)百位上的数字有9种选法，
十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法，
个位上的数字应从剩余8个数字中选取，
所以共有9×9×8=648个无重复数字的三位数．
(3)满足条件的一位自然数有10个，
两位自然数有9×9=81个，
三位自然数有4×9×8=288个，
由加法计数原理知共有10+81+288=379个小于500且无重复数字的自然数．
【解析】分别根据分步计数原理可求出(1)，(2)，根据分类计数原理可可求出(5)．
本题考查排列组合以及简单计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题．
22.【答案】解：(1)由已知f′(x)=ax−2x2+1x3=ax2−2x+1x3,x>0，
因为函数f(x)在定义域上有两个极值点x1，x2，
所以Δ=4−4a>0x1+x2=2a>0x1x2=1a>0，解得0所以实数a的取值范围为(0,1)．
(2)由(1)得0即两个极值点x1，x2为方程ax2−2x+1=0的两根，
则x1+x2=2a,x1x2=1a，
所以f(x1)+f(x2)=alnx1+2x1−12x12+alnx2+2x2−12x22
=aln(x1x2)+2⋅x1+x2x1x2−12⋅x12+x22x12x22=aln(x1x2)+2⋅x1+x2x1x2−12⋅(x1+x2)2−2x1x2x12x22，
代入x1+x2=2a,x1x2=1a得f(x1)+f(x2)=aln1a+2×2a1a−12⋅(2a)2−2×1a1a2=a−alna+2，其中0则a−alna+2=2e+2，得a−alna=2e，
设g(x)=x−xlnx，0则g′(x)=1−(1+lnx)=−lnx，
当00，即g(x)在(0,1)上单调递增，
又g(1e)=1e−1eln1e=2e，
所以a=1e．
【解析】(1)求导，然后利用判别式以及韦达定理求解；
(2)计算f(x1)+f(x2)，然后代入x1+x2，x1x2的值计算整理后构造函数，求导，利用函数单调性来求解．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．