北京市第十二中学2024-2025学年高一下学期3月练习数学试题（原卷版+解析版）

这是一份北京市第十二中学2024-2025学年高一下学期3月练习数学试题（原卷版+解析版），共23页。
1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、教育ID号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的教育ID号、姓名、在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码．
2．本次练习所有答题均在答题卡上完成．选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项．非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚．
3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在练习卷、草稿纸上答题无效．
4．本练习卷满分共150分，作答时长90分钟．
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本部分共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项．
1. 已知向量，，则（ ）
A. B. C. 3D. 5
2. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知角的终边与单位圆交于点，则（ ）
A. B. C. D.
4. 在中，已知，，三边分别对应，，三角，，，，则（ ）
A 3B. C. D.
5. 向量，， 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若为与同方向的单位向量，则（ ）
A. 1.5B. 2C. -4.5D. -3
6. 在中，为的重心，满足，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 若，，，，则（ ）
A. B. C. D.
9. 若不共线的两个向量，满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 向量集合，对于任意，，以及任意，都有，则称集合是“凸集”，现有四个命题：
①集合是“凸集”；
②若为“凸集”，则集合也是“凸集”；
③若，都是“凸集”，则也是“凸集”；
④若，都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”．
其中，所有正确的命题的序号是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
第II卷（非选择题 共100分）
二，填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 已知向量，，若，则实数______．
12. 已知，，则______．
13. 已知角为第二象限角，且，则______．
14. 已知为所在平面内一点，满足，且，，设为向量的夹角，则__________；__________．
15. 乾坤八卦由乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八个卦象组成，分别代表天、地、雷、风、水、火、山、泽八种自然现象．如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列命题：

①；
②；
③在上的投影向量为；
④若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4．
其中正确命题序号是______．
三、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 在中，．
（1）求的大小；
（2）若，再从条件①、条件②中任选一个作为已知，求的值．
条件①：的面积为；
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
17. 如图，在梯形中，，，，为线段的中点，记，．
（1）用，表示向量；
（2）求的值；
（3）求与夹角余弦值．
18. 已知函数．
（1）求单调递减区间；
（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19. 已知向量，．
（1）求与平行的单位向量的坐标；
（2）设，，若存在，使得成立，求的取值范围．
20. 如图，已知是边长为2的正三角形．如图，、是边的两个四等分点．
（1）求的值；
（2）若为线段上一点，且，求实数值；
（3）若为线段上的动点，求的最小值．
2024－2025学年度第二学期北京市第十二中学高一3月练习
数学
考生须知：
1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、教育ID号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的教育ID号、姓名、在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码．
2．本次练习所有答题均在答题卡上完成．选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项．非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚．
3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在练习卷、草稿纸上答题无效．
4．本练习卷满分共150分，作答时长90分钟．
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本部分共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项．
1. 已知向量，，则（ ）
A. B. C. 3D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量线性运算的坐标表示，再利用坐标计算模即得.
【详解】向量，，则，
所以.
故选：B
2. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用平面向量基底的定义及共线的充要条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】对于选项A，因为，则与共线，
所以不能作为平面向量的基底，故选项A正确，
对于选项B，因为，则与共线，
所以不能作为平面向量的基底，故选项B正确，
对于选项C，，则与共线，
所以不能作为平面向量的基底，故选项C正确，
对于选项D，因为不存在实数，使，即与不共线，
所以能作为平面向量的基底，故选项D错误，
故选：ABC.
3. 已知角的终边与单位圆交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先由三角函数的定义求出，再由二倍角公式即可求出.
【详解】角的终边与单位圆交于点，
，
.
故选：C.
4. 在中，已知，，三边分别对应，，三角，，，，则（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】已知边角边，可由余弦定理求第三边即可.
【详解】由余弦定理可得，
，
故选:B.
5. 向量，， 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若为与同方向的单位向量，则（ ）
A. 1.5B. 2C. -4.5D. -3
【答案】D
【解析】
【分析】首先建系，确定向量的坐标，根据向量数量积的坐标表示求解.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，由图可知，，，
则，所以.
故选：D
6. 在中，为的重心，满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意作图，根据重心的几何性质，得到线段的比例关系，利用平面向量的运算可得，结合平面向量基本定理可求，由此可得答案.
【详解】设相交于点，为的重心，
可得为中点，，
，
所以，
所以.
故选：A.
7. 已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分必要条件的定义，结合向量平行定理，即可判断.
【详解】若，，
所以，，
当时，，当时，，此时
故“”是“”的不充分条件，
因为，若，则，当且仅当方向相同时取到等号，则恒成立，故 ，但两个向量间的系数不确定，不能推出“”；
综上可知，，那么“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
8. 若，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意求得和的值，结合两角差的余弦公式，即可求解.
【详解】由题意，可得，，
因为，，可得，，
则
.
故选：C.
9. 若不共线的两个向量，满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画出图形如图所示，设，，由题设知三角形 等腰三角形，由可得，从而得出结论.
【详解】如图，
设，，
则，
由已知，有，
所以三角形 为等腰三角形.
设C为 的中点，则 ，且，
所以，即，
所以.
故选：C.
10. 向量集合，对于任意，，以及任意，都有，则称集合是“凸集”，现有四个命题：
①集合是“凸集”；
②若为“凸集”，则集合也是“凸集”；
③若，都“凸集”，则也是“凸集”；
④若，都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”．
其中，所有正确的命题的序号是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据题目中“凸集”的定义，结合集合的运算，证明命题的正确性；利用举反例的方法，证明命题的错误，可得答案.
【详解】由题意得，若对于任意，线段上任意一点，都有，
则集合是“凸集”，由此对结论逐一分析
对于①，，若对于任意满足，则，
由函数的图象知，对线段上任意一点，都有，
即，故为“凸集”，①正确
对于②，若为“凸集”，则对于任意，
此时，其中，
对于任意，，故为“凸集”，②正确
对于③，可举反例，若，，
任取，，
则对于任意任意，，
所以集合是“凸集”，
任取，，
则对于任意任意，，
所以集合是“凸集”，
取，，
但，
所以不是“凸集”，故③错误，
对于④，若都是“凸集”， 则对于任意，
任意，则，且，
故，故也是“凸集”，④正确；
故选：B.
第II卷（非选择题 共100分）
二，填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 已知向量，，若，则实数______．
【答案】
【解析】
【分析】根据平面向量共线的坐标表示求解即可.
【详解】由，则，解得.
故答案为：.
12. 已知，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】可先对两边平方，求出的值，再将展开并代入的值，最后结合的取值范围确定的值.
【详解】将两边平方可得.
则， .
将
因为，在这个区间内，，所以.
可得.
故答案为：
13. 已知角为第二象限角，且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】先利用诱导公式求出，再利用三角函数同角关系求出的值，然后利用正切的二倍角公式可求得结果
【详解】因为，所以，
因为是第二象限角，
所以，
所以，
所以，
故答案为：
14. 已知为所在平面内一点，满足，且，，设为向量的夹角，则__________；__________．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】由已知可知，两边同时平方可求，然后利用向量数量积公式即可求解；同理可求，即可求得.
【详解】，，
，即，解得，
.
同理可得：，即，解得.
.
故答案为：；.
15. 乾坤八卦由乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八个卦象组成，分别代表天、地、雷、风、水、火、山、泽八种自然现象．如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列命题：

①；
②；
③在上的投影向量为；
④若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4．
其中正确命题的序号是______．
【答案】②③④
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算判断①，利用向量加法的坐标运算判断②，利用投影向量公式判断③，找到最大时的条件，合理作出图形，将目标式的最大值转化为求的最大值，最后结合二倍角公式求解最大值判断④即可.
【详解】由题意，正八边形每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离都是2，
有，，
如图，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，

因为，所以由正八边形性质得，
则，，，，，，
下面，我们开始逐个分析题目中给定结论的正确性，
对于①，易得，，则，故①错误，
对于②，易得，，，
则，，满足，故②正确，
对于③，易得，，
由投影向量公式得在上的投影向量为，故③正确，
对于④，易得，且设的夹角为，
而，则，易得，故，
如图，延长交的延长线于，连接，此时在上的投影为，

当点在线段上时，此时在上的投影最大，
易得是等腰直角三角形，，则，
由勾股定理得，在直角三角形中，，
在等腰三角形中，，
则的最大值为，故④正确.
故答案为：②③④
三、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 在中，．
（1）求的大小；
（2）若，再从条件①、条件②中任选一个作为已知，求的值．
条件①：的面积为；
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将已知等式化为，由此可得；
（2）若选①，利用三角形面积公式可直接构造方程求得；若选②，由同角三角函数关系可求得，利用正弦定理可得，根据余弦定理可构造方程求得.
【小问1详解】
由得：，即，
，.
【小问2详解】
若选条件①，，；
若选条件②，，，，
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
解得：（舍）或，.
17. 如图，在梯形中，，，，为线段中点，记，．
（1）用，表示向量；
（2）求的值；
（3）求与夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用向量加减法的三角形法则，结合向量的线性运算得到结果即可.
（2）由向量的数量积定义和向量模的求法求解即可.
（3）由向量的数量积和向量的夹角公式计算即可.
【小问1详解】
如图，连接，
因为为线段的中点，，
所以，因为，所以，
由向量的加法法则得，
故，即成立.
【小问2详解】
由于，可得，又有，
所以；
，故.
【小问3详解】
由向量的减法法则得，
由于，可得，又有，
得到，故，
则，
由上问得，故.
18. 已知函数．
（1）求的单调递减区间；
（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）参变分离可得在上恒成立，求出，即可得解.
【小问1详解】
因为．
令，解得，
所以的单调递减区间为．
【小问2详解】
当时，不等式恒成立，即不等式在上恒成立，
因为，所以，所以，
所以，
所以，即实数的取值范围为．
19. 已知向量，．
（1）求与平行的单位向量的坐标；
（2）设，，若存在，使得成立，求取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）先由坐标计算模长，再得到与其平行的单位向量即可；
（2）由数量积的坐标运算化简，转化为方程有解问题，构造函数，利用二次函数的对称轴的取值范围和单调性以及判别式讨论即可.
【小问1详解】
由题意可得，所以与平行的单位向量为或，
即或.
【小问2详解】
因为，，所以，
，
，，
.问题转化为关于t的二次方程在内有解.
令，
①当，即时，在内为增函数， ，
方程在内无解.
②当，即时，由，解得或.
③当，即时，在内为减函数，由得.解得.
综上，实数k的取值范围为.
20. 如图，已知是边长为2的正三角形．如图，、是边的两个四等分点．
（1）求的值；
（2）若为线段上一点，且，求实数的值；
（3）若为线段上的动点，求的最小值．
【答案】（1）6 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）以、为基底表示出，代入原式根据数量积的定义及运算法则进行计算即可.
（2）利用平面向量基本定理列方程组进行求解
（3）由平面向量数量积的运算，结合二次函数的最值的求法求解即可.
【小问1详解】
因为，
所以
.
【小问2详解】
设，则，
所以，解得.
【小问3详解】
记，
，
设，
则，，
，，
所以当，即时，取得最小值，为.