天津市河东区2025届高三第一次模拟考试数学试卷（解析版）

这是一份天津市河东区2025届高三第一次模拟考试数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了 已知集合，则， 已知为正数，则“”是“”的， 函数的图象大致是， 已知，则的大小关系为， 下列说法中，正确的有等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】且
所以，
故选：C
2. 已知为正数，则“”是“”的（ ）.
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】当时，所以为增函数，所以，
当时，当时，则，当时，则，此时；
所以“”是“”的充分非必要条件.
故选：A.
3. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题得，所以函数是奇函数，排除选项B,D.
由题得，所以排除选项C.
故选A
4. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，，，
又，
因为函数，在上单调递减，且，又因为，
所以，所以，即，所以，
，即．
故选：C．
5. 下列说法中，正确的有（ ）
①回归直线恒过点，且至少过一个样本点；
②根据列列联表中的数据计算得出，而，则有的把握认为两个分类变量有关系，即有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；
③是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当的值很小时可以推断两类变量不相关；
④某项测量结果服从正态分布，则，则.
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】回归直线的性质是恒过样本点的中心，但不一定会经过任何一个具体的样本点.所以说法①错误.
在独立性检验中，我们先提出一个假设.当根据列联表中的数据计算得出，且时，这意味着在假设成立的条件下，出现这样的值是一个小概率事件.小概率事件在一次试验中几乎不可能发生，但现在却发生了，所以我们有理由拒绝假设，从而有的把握认为两个分类变量有关系，同时也就意味着有的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误，所以说法②正确.
是用于判断两个分类变量是否相关的随机变量.当的值很小时，只能说明我们有较小的把握认为两类变量相关，但不能就此推断两类变量不相关.因为即使值小，也有可能是由于样本量等因素的影响，不能绝对地得出两类变量无关的结论，所以说法③错误.
已知某项测量结果服从正态分布，正态分布具有对称性，其对称轴为.又因为，这表明与关于对称轴对称.根据正态分布的对称性可知，与之和为，已知，那么，所以说法④正确.
故选：B.
6. 若将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，
再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
令，得，则直线与函数在区间上的图象有两个交点，
令，当时，，即，
作出函数与函数在区间上的图象如下图所示：
由图象可知，当时，即当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点.
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
7. 抛物线的焦点为，其准线与双曲线的渐近线相交于两点，若的周长为，则（ ）
A. 2B. C. 8D. 4
【答案】A
【解析】由题知，双曲线的渐近线为，
抛物线焦点，准线方程为，
由得两点坐标为，，
所以，因为的周长为，
所以，解得.故B，C，D错误.
故选：A.
8. 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，
，又，分别为、中点，
，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即 ，故选D．
解法二:设，分别为中点，
，且，为边长为2的等边三角形，
又
中余弦定理，作于，，
为中点，，，
，，又，两两垂直，，，，故选D.
9. 已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知，函数的图像如下图所示：
根据函数图像，函数在上单调递增，在上单调递减；
且时取最大值2，在时取最小值0，是部分图像的渐近线.
令，则关于的方程即可写成
此时关于的方程应该有两个不相等的实数根（其他情况不合题意），
设为方程的两个实数根，
显然，有以下两种情况符合题意：
①当时，此时，则
②当时，此时，则
综上可知，实数的取值范围是.
故选：C.
二､填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上.
10. 已知复数，则___________.
【答案】
【解析】因，
所以，所以；
故答案为：
11. 在的展开式中，的系数为_________．
【答案】
【解析】展开式的通项公式，
令可得，，
则项的系数为.
故答案为：60.
12. 若直线：被圆：截得线段的长为6，则实数的值为______.
【答案】24
【解析】把圆：化为标准方程有：，
所以圆心，半径，又直线：，
所以圆心到直线的距离为，
因为直线：被圆：截得线段的长为6，
根据勾股定理有：，解得，
所以，解得.
故答案为：24.
13. 已知，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】因为，所以.
所以
,
当且仅当时等号成立.
故的最小值为.
故答案为:.
14. 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有个小孩的家庭，随机选择一个家庭，则当已知该家庭个小孩中有女孩的条件下，个小孩中至少有个男孩的概率为_____.
【答案】
【解析】记事件该家庭个小孩中有女孩，事件该家庭中个小孩中至少有个男孩，
则，，
由条件概率公式可得.
故答案为：.
15. 如图，在中，，，为上一点，且满足，则______________；若的面积为，则的最小值为______________．
【答案】①. ②.
【解析】∵，又，
∴，∴，
又因为三点共线，则，即，
，
的面积为，∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：,.
三､解答题：本题共5个小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 在钝角中，角，，所对各边分别为，，，已知，，．
（1）求边长和角的大小；
（2）求的值．
解：（1）在中，由余弦定理得：，解得，
，由正弦定理得：，
由得，又是钝角三角形，则A为钝角，于是得，
所以，.
（2）由（1）知，，，
所以.
17. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的大小；
（3）已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，试确定点的位置.
（1）证明：取的中点为，连接，如下图：
因为为的中点，所以，由，则，
因为，所以四边形是平行四边形，则，且，
因为在正方形中，且，即且，
所以四边形为平行四边形，则，
因为平面，平面，所以平面.
（2）解：由，则，
在正方形中，，所以两两垂直，
以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图：
则，
可得，，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以平面的一个法向量；
设平面的法向量为，则，
令，则，所以平面的一个法向量，
设平面与平面的所成角为，
则，由，则.
（3）解：由题意作图如下：
设，则，
可得，
设异面直线与所成角为，
则，
整理可得，解得，
即，由，则，即，
故点为靠近的四等分点.
18. 设椭圆的右顶点为，上顶点为.已知椭圆的离心率为，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，且点在第二象限. 与延长线交于点，若的面积是面积的倍，求的值.
解：（1）设椭圆的焦距为，由已知得
解得，，所以，椭圆的方程为.
（2）设点，，由题意，且，如图所示：
由的面积是面积的3倍，可得，
所以，从而，
所以，即.
易知直线的方程为：，即.
由消去，可得.
由方程组消去，可得.
由，可得，
整理得，解得，或.
当时，，符合题意；当时，，不符合题意，舍去.
所以，.
19. 已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）对任意的正整数，设，求；
（3）若对于数列，在和之间插入个，组成一个新的数列，记数列的前项和为，求.
解：（1）在等差数列中，，而，解得，
公差，则；
设等比数列的公比为，，由，得，
即，解得，，
所以数列和的通项公式分别为，.
（2）由（1）得，当为奇数时，，
则；
当为偶数时，，，
，
则，
两式相减得，
因此，
所以.
（3）依题意，数列：
项为前的总项数为，
数列是递增，当时，，
当时，，
因此数列的前项中，有数列的前项，有个，
所以.
20. 已知函数，其中，
（1）若，
（i）当时，求的单调区间；
（ii）曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围．
（2）证明：当时，存在直线，使直线是曲线切线，也是曲线的切线．
解：（1）（i）由时，且，则，
令，即，令，即，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
（ii），
两侧同时取对数，有，
设函数，则，令，有，
当时单调递增，当时单调递减，
所以，又，且时，
所以与有且仅有两个交点，即与有两个交点的充要条件为，即，
所以的取值范围为．
（2）曲线在处的切线．
曲线在处的切线．
要证当时，存在直线是曲线的切线，也是曲线的切线，
只需证明当时，存在，使得和重合．
只需证明当时，①，②两式有解，
由①得：，代入②得：③，
因此，只需证明当时，关于的方程③存在实数解．
设，即证明当时存在零点．
对于：时，且时单调递减，
又，故存唯一，使．
由此，在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值．
因为，故，
下面证明存在实数，使得．
令且，则，
所以在上递增，故，即，
当时，有，
根据二次函数的性质，存在实数使得，因此当时，存在使得．
所以当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．