安徽省A10联盟2024-2025学年高一下学期3月阶段考（人教A版）（B卷）数学试卷（解析版）

这是一份安徽省A10联盟2024-2025学年高一下学期3月阶段考（人教A版）（B卷）数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求.
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题，可得，所以.
故选：B.
2. 已知角，向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】若，则有，即，
因为，所以.
故选：D.
3. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题可知的根为1和2，代入方程可得，，
不等式等价于，则解集为，
故选：D.
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 向量与向量的模相等
B. 若，则
C. 共线向量是在同一条直线上的向量
D. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
【答案】A
【解析】对于A选项，对于向量与向量，它们的大小是相等的，只是方向相反.
根据向量模的定义，向量的模与向量的模是相等的，所以A选项正确.
对于B选项，当时，因为零向量与任意向量平行，所以对于任意向量和，
都有且，但此时与不一定平行，B选项错误.
对于C选项，共线向量也叫平行向量，是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量共线.
共线向量不一定在同一条直线上，只要它们的方向相同或相反即可，所以C选项错误.
对于D选项，两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同.
向量不仅有大小还有方向，只有当两个向量的大小和方向都相同时，它们才相等.
所以即使起点相同且长度相等，方向不同时，终点也不相同，D选项错误.
故选：.
5. 已知是的中线，在直线上，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为是的中线，
所以.
又因为，
所以.
所以.
故选：C.
6. 若函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】函数的图象向右平移个单位后得到，
所以，
，解得，
又，令，得，
所以的最小值为.
故选：B.
7. 一扇中式实木仿古正方形花窗如图1所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形（它们有共同的对称中心与对称轴）单独拿出来放置于同一平面，如图2所示.已知分米，分米，点在正方形的四条边上运动，当取得最大值时，与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】以点为原点建立直角坐标系如图：
又因为分米，分米，且两个正方形有共同的对称中心与对称轴，
所以点，，则，，
又因为，且因为，
则当最大时，最大，
由图象可知，当与点重合时最大，
所以.
故选：D.
8. 已知函数，则方程实数根的个数为（ ）
A. 10B. 8C. 6D. 5
【答案】C
【解析】设，则，
若，则，解得或，则或，
当时，，不合题意，则，或，
解得，此时方程仅一个根；
若，则，解得或，即或，
当时，或，
方程即在仅一个根，
方程，即，
，且，，两根均为负，合题意，
当时 ，，解得或，方程有两根，
综上，方程的实根个数为6.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 若向量，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 与平行
C. 在上的投影向量为D.
【答案】ACD
【解析】A选项：，则，，则，
所以，故A正确；
B选项：，又，因为，
所以与不平行，故B错误；
C选项：，又，
所以，，
所以在上的投影向量为，故C正确；
D选项：，又，
所以，故D正确.
故选：ACD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若一个扇形所在圆的半径为2，圆心角为1弧度，则扇形的周长为6
D. 函数的最小值为2
【答案】BC
【解析】对于选项A，当时，若，则；
若，则，故A错误；
对于选项B，若，则，
所以，
所以，故B正确；
对于选项C，由扇形的弧长公式可知，
所以扇形的周长为，故C正确；
对于选项D，若，则，故D错误.
故选：BC.
11. 对于任意的，表示不超过的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（ ）
A. 函数，的图象关于原点对称
B. 设，，则有
C. 函数，的值域为
D. 不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】对于A：当时，，当时，，
即点，都在函数的图象上，它们关于原点不对称，
则函数的图象关于原点不对称，故A错误；
对于B，因为，
所以，故B正确；
对于C：由取整函数的定义知，，则，
因此函数，的值域为，故C正确；
对于D：由，得，解得，
而，则，因此，不等式的解集为，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设和是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为_____.
【答案】
【解析】由题意，，
由三点共线，得，
所以存在唯一实数，使得，即，
又和不共线，所以，解得.
13. 若，且，则的最小值为______.
【答案】5
【解析】因为，且，所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为5.
14. 若定义在上的函数同时满足：①为偶函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】令，由条件③可得，，且，
所以函数在上单调递减，
又偶函数，且，
则，所以为奇函数，且，
所以在上单调递减，，
所以当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
所以不等式的解集为.
四、解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量.
（1）若向量与共线，求的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围.
解：（1）由题意得，，，
由向量与共线，得，解得.
（2）由向量与的夹角为锐角，得，且与不共线，
则，
解得，即的取值范围为.
16. 已知函数，且.
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有2个实数解，求实数的取值范围.
解：（1）
.
由，得，
即或，
则，解得，
又因为，所以当时，；
则.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度后得，
再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得函数.
由，得，
当时，函数单调递增，此时，
当时，函数单调递减，此时，
函数在上的图象，如图所示：
因此，若关于的方程在区间上有2个实数解，则.
17. 已知为奇函数，为常数.
（1）求的值；
（2）若，不等式恒成立，求实数取值范围.
解：（1）由于，函数为奇函数，
故，即，
则，即，
则，
当时，，不符合题意；
当时，，令，则或，
即函数定义域为，
，即函数为奇函数，符合题意，
故.
（2）对于区间上的每一个的值，不等式恒成立，
即对于区间上每一个的值，不等式恒成立，
所以，
令，则在上单调递增，
而在上单调递增，故在上单调递增，
在上单调递增，故在上单调递增，
则的最小值为，故.
18. 在中，设，点是线段中点，点是线段靠近点的三等分点．
（1）求的值；
（2）请用来表示
解：（1），
注意到，
所以，
，
，
所以.
（2）由三点共线，
可设，
由于不共线，所以只能，
所以
.
19. 双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（是自然对数的底数）．
（1）求的值；
（2）证明：两角和的双曲余弦公式；
（3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）由题意，
.
（2）因为左边
右边.
所以.
（3）由题意可知在上恒成立，
整理得在上恒成立，
令，则，
令，
因为，所以，所以，所以，
所以，
因为，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，
故，即的取值范围为.