安徽省滁州市部分学校2024-2025学年高一下学期3月调研考试数学试卷（解析版）

这是一份安徽省滁州市部分学校2024-2025学年高一下学期3月调研考试数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列说法错误的是（ ）
A. 向量与向量长度相等
B.
C. 若向量与共线，与共线，则与共线
D. 任一向量平移后都和原向量相等
【答案】C
【解析】对于A，向量与向量互为相反向量，方向相反、长度相等，故A正确；
对于B，若，则方向相同、长度也相等，而方向相同的两向量一定是平行向量，故B正确；
对于C，若，对任意两个非零向量与，都有，，故C不正确；
对于D，任一向量在平移过程中保持向量的方向和长度并不改变，故平移后的向量都和原向量相等，故D正确.
故选：C.
2. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，
，则.
故选：B.
3. 已知是单位向量，若，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，即；
所以，
因为，所以向量与的夹角为.
故选：A.
4. 已知平面向量，则向量在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，，
所以向量在上的投影向量为.
故选：D.
5. 如图，在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】是边的中点，，
，
是边上靠近点的三等分点，，
，
又，.
故选：C.
6. 已知向量满足，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】因为，所以；
因为，所以，所以.
故选：A.
7. 已知为所在平面内一点，且，若表示面积，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，过作，，
因，则，
设，则，
则.
故选：A.
8. 如图，在平面四边形中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，
在△中，，则，
又，
故由正弦定理可得：，即；
在中，，故，，
故，
又，故由正弦定理可得：，
即，；
联立，消去可得：，
即，
也即，，
整理得：，故.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，且在区间上单调递减，则（ ）
A. 在上单调递减且无最小值
B. 在上单调递增且无最大值
C. 在定义域内既不是奇函数，也不是偶函数
D. 的图象关于直线对称
【答案】ACD
【解析】对于选项A、B，因为函数在上单调递增，
又因为函数，且在区间上单调递减，
所以， 所以在上单调递减且无最小值，故A正确，B错误；
对于选项C，因为的定义域为，关于原点不对称，
所以在定义域内既不是奇函数，也不是偶函数，故C正确；
对于选项D，因为，
所以的图象关于直线对称，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知的外接圆半径为，内角所对的边分别是，则（ ）
A. 是锐角三角形
B. 是钝角三角形
C.
D. 面积的最大值为
【答案】BCD
【解析】由可得，
由正弦定理，，代入化简得：，
因，解得，故B正确，A错误；
因，，解得，故C正确；
由余弦定理，，可得，
解得，当且仅当时，等号成立，
于是，的面积为，
即面积的最大值为，故D正确.
故选：BCD.
11. 引入平面向量之间的一种新运算“”如下：对任意的向量，，规定，则对于任意的向量，，，下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】A．因为，所以，故正确；
B．因为，故正确；
C．，
此时不恒成立，故错误；
D．因为，
，
所以，
所以，且，，所以，故正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数的定义域是，则函数的定义域是__________.
【答案】
【解析】要使函数有意义，则，
，取交集得.
13. 高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，为山的两侧共线的三点，且与山脚处于同一水平线上，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山遂道，现已测得三条线段的长度分别为，则隧道的长度为__________.
【答案】
【解析】过作于，如图所示：
设，由题意可知设，
则有，，
所以，解得，
所以，
在中，，
所以，
所以.
14. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由题意可得，则，，
由，，则，，
可得，解得，当且仅当时，等号成立，
由图易知，所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量.
（1）当与的夹角为钝角时，求实数的取值范围；
（2）若，且三点共线，求实数的值.
解：（1）因为，
所以.
因为与夹角为钝角，所以，
得且，故的取值范围为.
（2）.
因为三点共线，
所以，得.
16. 已知向量满足，且与的夹角为.
（1）若，求实数的值；
（2）求与的夹角的余弦值.
解：（1）因为，所以，
即，即，
所以，解得.
（2）因为，
，
所以，
即与的夹角的余弦值为.
17. 在2025年春晚的舞台设计中，有一个“灵蛇”造型的灯光图案，其形状可以近似看作由函数的图象组成，其中.下面是该函数的部分图象.
（1）求的解析式；
（2）将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所在点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，若在时有两个不同的实数解，求实数的取值范围.
解：（1）设的最小正周期为，根据题图，由三角函数图象的对称性，
可得，解得，
由，得，又，所以.
故.
由，得，所以.
又因为，所以，所以.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）
得到函数的图象.
要使在时有两个不同的实数解，
需在时有两个不同的实数解，
即需函数的图象与直线在时有两个不同的交点，
画出函数的部分图象与直线，如图，
因为，所以，
由图可知，，解得，
故实数的取值范围是.
18. 已知函数.
（1）设函数，求在区间上的值域；
（2）设，证明：的图象是中心对称图形；
（3）若函数，且在区间上有零点，求实数的取值范围.
解：（1）
，
当时，单调递增，
又，
故在区间上的值域为.
（2）因为，
所以
，
故的图象关于点对称.
（3）由题意得.
设，当时，.
则在区间上有零点，等价于函数在区间上有零点，
即在时有实数解，
即在时有实数解，
即在时有实数解.
设，则，
易知在时单调递增，且当时，，
当时，，所以，
故实数的取值范围是.
19. 在中，内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）求的面积；
（3）以为坐标原点，以方向为轴正方向，垂直于的直线为轴（使点在轴上方）建立平面直角坐标系，在所在的平面内有一动点，满足，求的最小值.
解：（1）因为，
所以，
因为，所以，
由正弦定理得，所以.
（2）由余弦定理，（*）.
因为，则有，
即，
两边同时除以，得，
由于，当且仅当时等号成立，
而，当且仅当时等号成立，
故得，
此时，代入（*），可得，解得，
故的面积为.
（3）由（1），（2）可知，所以，如图建立直角坐标系，
则，
于是，，
即，
故可设（为变量，且），
则，
因，则，
故当，即时，取得最小值为.