还剩25页未读，
继续阅读
安徽省滁州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附解析）
展开
这是一份安徽省滁州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附解析），共28页。试卷主要包含了 若，则， 下列说法正确的是， 若函数，则， 若，，，则，，的大小关系为， 若函数的图象经过点，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答題卡上对应題目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 若，则（ ）
A. 最大值为B. 最小值为C. 最大值为6D. 最小值为6
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 如果一条直线与一个平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
B. 如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面
C. 如果一个平面内的两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
D. 如果一条直线与一个平面内的两条直线垂直，那么该直线与此平面垂直
5. 若函数，则（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
6. 若，，，则，，的大小关系为（ ）
A B. C. D.
7. 将一枚质地均匀的骰子抛掷2次，表示事件“没有出现1点”，表示事件“出现一次1点”，表示事件“两次抛出的点数之和是8”，表示事件“两次掷出的点数相等”，则下列结论中正确的是（ ）
A. 事件与事件是对立事件
B. 事件与事件是相互独立事件
C. 事件与事件是互斥事件
D. 事件包含于事件
8. 设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.在该坐标系下向量，，若有，则的值是（ ）
A. 或B. 或2C. 或D. 或2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 截至2021年，中国铁路营运总里程突破15万公里，其中中国高铁运营里程突破4万公里，位于世界榜首，为中国经济的高速发展提供有力的交通保障.下图为2012年至2021年中国高铁每年新增里程折线图，根据图示下列说法正确的有（ ）
A. 2012年至2021年中国高铁里程平均每年新增约34.5百公里
B. 2012年至2021年中国高铁每年新增里程的中位数为33百公里
C. 2012年至2021年中国高铁每年新增里程上四分位数为21百公里
D. 2012年至2016年中国高铁每年新增里程的方差大于2017年至2021年中国高铁每年新增里程的方差
10. 若函数的图象经过点，则（ ）
A. 点为函数图象的对称中心
B. 函数的最小正周期为
C. 函数在区间上函数值范围为
D. 函数的单调增区间为
11. 如图，在正四棱柱中，，是中点，则（ ）
A. 异面直线与所成的角为60°
B. 二面角的平面角正切值为
C. 点到平面的距离为
D. 若平面满足且，则平面截正四棱柱所得截面多边形的周长为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则______.
13. 已知向量，满足，则与的夹角为__________.
14. 如图，正四面体，为该正四面体高的中点，过直线的平面与棱平行，且平面截正四面体上半部分得到的棱锥内切球半径为，正四面体的内切球半径为，则__________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知内角，，所对边分别为，，，是边上一点，，，.
（1）求角；
（2）求的长度.
16. 如图，在矩形中，，，是上靠近的三等分点，是的中点，是与的交点.
（1）用向量，表示，；
（2）求余弦值.
17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，是中点，是中点.
（1）证明：平面；
（2）证明：.
18. 生物医药的开发和应用对解决全球性疾病具有重要意义，生物医药的开发可以帮助解决全球范围内存在的疑难杂症，如癌症、艾滋病、糖尿病等，同时也可以为未来的新病毒和新疾病提供有效的治疗手段.而试验是生物制药中不可缺少的重要环节.某生物制药公司对甲、乙两种新药物的某项指标值（）进行实验.对注射甲种药物的20只小白鼠，测量得出该项指标值的数据并绘制表格如图1；对注射乙种药物的30只小白鼠，测量得出该项指标值的数据并绘制频率分布直方图如图2.临床观察表明当值越大，药物对病毒的抑制效果越好.当值大于40时，认为药物有效；当值大于80时，认为药效显著.（假设同一组中的每个数据可用该组区间的中间值代替）.
（1）求图2中的值以及注射乙种药物指标值的中位数；
（2）若按分层抽样从注射甲、乙两种药物且药效显著样本中抽取5件，再从这5件中抽取2件样本作进一步临床实验.记事件表示“2件样本均是来自注射同一种药物的实验组”，事件表示“2件样本中至少有1件样本来自注射乙药物的实验组”，求；
（3）从注射甲药物有效组中随机抽取10个样本.其指标值平均数为，方差；从注射乙药物的有效组中随机抽取20个样本.其指标值平均数为，方差.计算上述30个样本数据均值，方差.
19. 1715年英国数学家泰勒发现了如下公式：（其中，为自然对数的底数，）.已知.
（1）证明：；
（2）设，证明：；
（3）若，恒成立，求的取值范围.值
频数
2
3
7
4
3
1
2024年滁州市高一教学质量监测
数学
注意事项：
1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答題卡上对应題目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由集合的运算，代入计算，即可求解.
【详解】由题意可得，，则.
故选：D
2. 复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件，结合复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除运算，即可求解.
【详解】因为，所以，则的虚部为；
故选：A
3. 若，则（ ）
A. 最大值为B. 最小值为C. 最大值为6D. 最小值为6
【答案】A
【解析】
【分析】先用定义法证明函数在单调递增，在单调递减，从而即可求出函数最大值.
【详解】任取，
则，
因为，所以，，故，
所以即，
所以在单调递增；同理可证在单调递减，
所以.
故选：A.
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 如果一条直线与一个平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
B. 如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面
C. 如果一个平面内的两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
D. 如果一条直线与一个平面内的两条直线垂直，那么该直线与此平面垂直
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间线、面之间的位置关系，依次判断选项即可.
【详解】对于A，如果这条直线在平面内，则该直线与平面不平行；故A错误；
对于B，如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，故B正确；
对于C，如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，故C错误；
对于D，如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直，故D错误；
故选：B
5. 若函数，则（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】将变量依次代入变量相应范围所定义的解析式即可求解.
【详解】由题.
故选：D.
6. 若，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数,指数函数单调性，引入中间值，比较，根据指数,对数函数单调性，引入中间值，比较即可.
【详解】根据函数在单调递增，知道，
根据函数在单调递减，知道，
根据函数在单调递减，知道，
综上所得，.
故选：C.
7. 将一枚质地均匀的骰子抛掷2次，表示事件“没有出现1点”，表示事件“出现一次1点”，表示事件“两次抛出的点数之和是8”，表示事件“两次掷出的点数相等”，则下列结论中正确的是（ ）
A. 事件与事件是对立事件
B. 事件与事件是相互独立事件
C. 事件与事件是互斥事件
D. 事件包含于事件
【答案】D
【解析】
【分析】对于A,C,D选项直接列举出事件，根据对立事件，互斥事件，事件包含的概念可以判断真假；对于B选项，用相互独立事件的概率定义公式验证即可判断.
【详解】将一枚质地均匀的骰子抛掷2次，总共有36种．
表示事件“没有出现1点”，包含,共25种.
表示事件“出现一次1点”，包含共10种，则A错误．
表示事件“两次抛出的点数之和是8”，包含，共5种,
表示事件“两次掷出的点数相等”，包含，共6种．事件与事件不互斥．故C错误．
由上面分析知道包含,5种情况.且，，，由于，则事件与事件不是相互独立事件.故B错误．
显然事件包含于事件，故D正确．
综上所得，正确的只有D．
故选：D.
8. 设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.在该坐标系下向量，，若有，则的值是（ ）
A 或B. 或2C. 或D. 或2
【答案】C
【解析】
【分析】由向量坐标转化为基底表示，根据向量垂直的数量积公式，即可求解.
【详解】由题可得，且，
，，所以，，
由于，则，
即，
即，解得：或；
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 截至2021年，中国铁路营运总里程突破15万公里，其中中国高铁运营里程突破4万公里，位于世界榜首，为中国经济的高速发展提供有力的交通保障.下图为2012年至2021年中国高铁每年新增里程折线图，根据图示下列说法正确的有（ ）
A. 2012年至2021年中国高铁里程平均每年新增约34.5百公里
B. 2012年至2021年中国高铁每年新增里程的中位数为33百公里
C. 2012年至2021年中国高铁每年新增里程的上四分位数为21百公里
D. 2012年至2016年中国高铁每年新增里程的方差大于2017年至2021年中国高铁每年新增里程的方差
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意，由平均数，中位数以及百分位数的计算公式即可判断ABC，由方差的计算公式，即可判断D
【详解】将2012年至2021年中国高铁每年新增里程从小到大排序为，
则平均数为，故A错误；
中位数为，故B正确；
，则上四分位数为，故C错误；
2012年至2016年中国高铁每年新增里程的平均数为，
则方差为，
2017年至2021年中国高铁每年新增里程的平均数为，
则方差为，
故D正确；
故选：BD
10. 若函数的图象经过点，则（ ）
A. 点为函数图象的对称中心
B. 函数的最小正周期为
C. 函数在区间上的函数值范围为
D. 函数的单调增区间为
【答案】ACD
【解析】
【分析】先求出解析式，对于A，求出函数的对称中心即可判断；对于B，由解析式及最小正周期公式求解即可；对于C，根据变量范围得出角的范围即可得出函数的函数值范围；对于D，求出正切型函数的单调递增区间以及零点即可根据正切（型）函数图象性质得出函数的单调增区间.
【详解】由题，又，故，所以，
对于A，令，则，
所以的对称中心为，
当时，，故点为函数图象的一个对称中心，故A正确；
对于B，由上的最小正周期为，故B错误；
对于C，当，，故，故C正确；
对于D，令，所以，
所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间，
令即，所以即，
所以函数的零点为，
所以函数的单调递增区间为，故D正确.
故选：ACD.
11. 如图，在正四棱柱中，，是中点，则（ ）
A. 异面直线与所成的角为60°
B. 二面角的平面角正切值为
C. 点到平面的距离为
D. 若平面满足且，则平面截正四棱柱所得截面多边形的周长为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，连接，则可得为异面直线与所成的角，然后利用余弦定理求解判断，对于B，设，连接，可得为二面角的平面角，在直角中求解判断，对于C，利用求解判断，对于D，连接，可证得平面，则平面截正四棱柱所得截面多边形为，从而可求出的周长判断.
【详解】对于A，连接，则∥，所以为异面直线与所成的角，
因为在正四棱柱中，，
所以，，
所以，
所以，所以A错误；
对于B，设，连接，则,
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
因平面，所以，
所以为二面角的平面角，
因为，
所以，
所以二面角的平面角正切值为，所以B正确，
对于C，设点到平面的距离为，
因为，
所以，
因为，所以，
所以，得，所以C正确；
对于D，连接，
因为在正四棱柱中，，是中点，
所以，
，
所以，所以，同理可证，
因为，平面，
所以平面，
所以平面截正四棱柱所得截面多边形为，
因为，所以的周长为，
所以平面截正四棱柱所得截面多边形的周长为，所以D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：此题考查异面直线所成的角，考查二面角，考查点到面的距离，考查线面垂直的判断，解题的关键是根据条件结合图形作出异面直线所成的角和二面角的平面角，然后在三角形中计算，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用诱导公式计算即可.
【详解】解：.
故答案为：.
【点睛】本题考查诱导公式的应用，是基础题.
13. 已知向量，满足，则与的夹角为__________.
【答案】
【解析】
【分析】两边平方，得到．再根据夹角的余弦值公式求解即可.
【详解】，
，则与的夹角为.
故答案为：．
14. 如图，正四面体，为该正四面体高的中点，过直线的平面与棱平行，且平面截正四面体上半部分得到的棱锥内切球半径为，正四面体的内切球半径为，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出的外接球半径，再根据截面棱锥的体积求出内切球的半径最后 求比即可.
【详解】
正四面体的各条棱相等，各个面都是全等的正三角形.
设正四面体的棱长为 ，其体积可以通过将正四面体分割成四个等体积的三棱锥来计算，每个三棱锥的高为内切球半径 ，
则正四面体的体积 为 .
取中点N，连接,直线交于T,过作的平行线,交于E,交于F,连接，
因为，不在平面内，平面，
所以平面，平面，
所以截面是平面.
在中，，
设，所以，
又因为三点共线，可以得出，
设截面棱锥的内切球半径为，
，
因为，所以,，
在中，，
，
，
所以，
所以，
，
，
，
.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：先根据要求得出截面，再应用多面体体积与表面积及内切球关系求解即可.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知内角，，所对边分别为，，，是边上一点，，，.
（1）求角；
（2）求的长度.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据结合余弦定理可求出角；
（2）在中利用余弦定理直接求解即可.
【小问1详解】
因为，所以，
所以由余弦定理得，
因为，所以；
【小问2详解】
在中，,，
所以由正弦定理得，
所以，得.
16. 如图，在矩形中，，，是上靠近的三等分点，是的中点，是与的交点.
（1）用向量，表示，；
（2）求的余弦值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据几何图形的边长关系以及向量运算法则直接计算即可.
（2）先由（1）计算、、，再根据向量夹角余弦公式计算即可得解.
【小问1详解】
由题意可得，，
所以，.
【小问2详解】
由图可知，
由（1）得，
且，
，
所以
17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，是中点，是中点.
（1）证明：平面；
（2）证明：.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，，可得四边形为平行四边形，即，从而证明平面；（2）连接与交于，可得与相似，求出，，由勾股定理的逆定理可得，由已知条件可得从而可得平面，即可证明.
【小问1详解】
取的中点，连接，，
因为为中点， 是中点，
所以，，
又因为底面是矩形，是中点，
所以，，
所以，，
则四边形平行四边形；
所以，
又平面，平面，
所以平面
【小问2详解】
连接与交于，
设，底面是矩形，
则，，
因为，
所以，，
则与相似，所以，
所以，，
则，
所以
即，
又因为平面，平面，
所以，
由于，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以
18. 生物医药的开发和应用对解决全球性疾病具有重要意义，生物医药的开发可以帮助解决全球范围内存在的疑难杂症，如癌症、艾滋病、糖尿病等，同时也可以为未来的新病毒和新疾病提供有效的治疗手段.而试验是生物制药中不可缺少的重要环节.某生物制药公司对甲、乙两种新药物的某项指标值（）进行实验.对注射甲种药物的20只小白鼠，测量得出该项指标值的数据并绘制表格如图1；对注射乙种药物的30只小白鼠，测量得出该项指标值的数据并绘制频率分布直方图如图2.临床观察表明当值越大，药物对病毒的抑制效果越好.当值大于40时，认为药物有效；当值大于80时，认为药效显著.（假设同一组中的每个数据可用该组区间的中间值代替）.
（1）求图2中的值以及注射乙种药物指标值的中位数；
（2）若按分层抽样从注射甲、乙两种药物且药效显著的样本中抽取5件，再从这5件中抽取2件样本作进一步临床实验.记事件表示“2件样本均是来自注射同一种药物的实验组”，事件表示“2件样本中至少有1件样本来自注射乙药物的实验组”，求；
（3）从注射甲药物有效组中随机抽取10个样本.其指标值平均数为，方差；从注射乙药物的有效组中随机抽取20个样本.其指标值平均数为，方差.计算上述30个样本数据均值，方差.
【答案】（1）；注射乙种药物指标值的中位数为
（2）
（3）；
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为1即可求解；根据频率分布直方图确定频率之和为0.5所在的组从而确定中位数所在的范围即可求解.
（2）先确定甲、乙两种药物药效显著的频数，从而确定其被抽取的件数，再将总样本空间和事件A、B的样本空间求出来即可得到事件的样本空间及其样本点，进而得解.
（3）根据分层随机抽样样本平均数公式和方差公式直接计算即可得解.
【小问1详解】
由频率之和为1以及频率分布直方图得，，
则前3组频率之和为，
前4组频率之和为，
所以注射乙种药物指标值的中位数在内为.
【小问2详解】
由题甲、乙两种药物药效显著的频数分别为、，
故按比例从中抽取5件则从甲种药物中抽件，记为M、N，从乙种药物中抽件，记为a、b、c，
再从这5件中抽取2件样本的样本空间为共10个样本点，
则共4个样本点，共9个样本点，
所以，故.
【小问3详解】
由题，
故.
19. 1715年英国数学家泰勒发现了如下公式：（其中，为自然对数的底数，）.已知.
（1）证明：；
（2）设，证明：；
（3）若，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用分别计算和即可得证.
（2）利用泰勒公式得，进而得，再进行放缩即可得证.
（3）先求得的奇偶性和单调性，再根据单调性及其奇偶性性质得恒成立，接着解该不等式即可得解.
【小问1详解】
由题，
，
故.
【小问2详解】
由题，
所以
，即得证.
【小问3详解】
由题定义域为，且，
故函数是偶函数，
任取，则，
因为，所以、，，
所以，所以，故，
所以，即，
所以在上单调递减，则由函数的奇偶性得在上单调递增，
所以在上恒成立，
则在上恒成立，
又因为当时，，所以
所以即在上恒成立，
所以，，
令
，，
因为，所以，，
所以，
故，即，
令
因，所以，故，
所以，
故，即，
综上得，即的范围为.
【点睛】思路点睛：求解，恒成立时的参数的取值范围问题，可利用函数的奇偶性和单调性性质将问题转化为在上恒成立求参数的取值范围，再问题转化成研究和，的最值问题即可.
值
频数
2
3
7
4
3
1
注意事项：
1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答題卡上对应題目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 若，则（ ）
A. 最大值为B. 最小值为C. 最大值为6D. 最小值为6
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 如果一条直线与一个平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
B. 如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面
C. 如果一个平面内的两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
D. 如果一条直线与一个平面内的两条直线垂直，那么该直线与此平面垂直
5. 若函数，则（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
6. 若，，，则，，的大小关系为（ ）
A B. C. D.
7. 将一枚质地均匀的骰子抛掷2次，表示事件“没有出现1点”，表示事件“出现一次1点”，表示事件“两次抛出的点数之和是8”，表示事件“两次掷出的点数相等”，则下列结论中正确的是（ ）
A. 事件与事件是对立事件
B. 事件与事件是相互独立事件
C. 事件与事件是互斥事件
D. 事件包含于事件
8. 设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.在该坐标系下向量，，若有，则的值是（ ）
A. 或B. 或2C. 或D. 或2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 截至2021年，中国铁路营运总里程突破15万公里，其中中国高铁运营里程突破4万公里，位于世界榜首，为中国经济的高速发展提供有力的交通保障.下图为2012年至2021年中国高铁每年新增里程折线图，根据图示下列说法正确的有（ ）
A. 2012年至2021年中国高铁里程平均每年新增约34.5百公里
B. 2012年至2021年中国高铁每年新增里程的中位数为33百公里
C. 2012年至2021年中国高铁每年新增里程上四分位数为21百公里
D. 2012年至2016年中国高铁每年新增里程的方差大于2017年至2021年中国高铁每年新增里程的方差
10. 若函数的图象经过点，则（ ）
A. 点为函数图象的对称中心
B. 函数的最小正周期为
C. 函数在区间上函数值范围为
D. 函数的单调增区间为
11. 如图，在正四棱柱中，，是中点，则（ ）
A. 异面直线与所成的角为60°
B. 二面角的平面角正切值为
C. 点到平面的距离为
D. 若平面满足且，则平面截正四棱柱所得截面多边形的周长为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则______.
13. 已知向量，满足，则与的夹角为__________.
14. 如图，正四面体，为该正四面体高的中点，过直线的平面与棱平行，且平面截正四面体上半部分得到的棱锥内切球半径为，正四面体的内切球半径为，则__________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知内角，，所对边分别为，，，是边上一点，，，.
（1）求角；
（2）求的长度.
16. 如图，在矩形中，，，是上靠近的三等分点，是的中点，是与的交点.
（1）用向量，表示，；
（2）求余弦值.
17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，是中点，是中点.
（1）证明：平面；
（2）证明：.
18. 生物医药的开发和应用对解决全球性疾病具有重要意义，生物医药的开发可以帮助解决全球范围内存在的疑难杂症，如癌症、艾滋病、糖尿病等，同时也可以为未来的新病毒和新疾病提供有效的治疗手段.而试验是生物制药中不可缺少的重要环节.某生物制药公司对甲、乙两种新药物的某项指标值（）进行实验.对注射甲种药物的20只小白鼠，测量得出该项指标值的数据并绘制表格如图1；对注射乙种药物的30只小白鼠，测量得出该项指标值的数据并绘制频率分布直方图如图2.临床观察表明当值越大，药物对病毒的抑制效果越好.当值大于40时，认为药物有效；当值大于80时，认为药效显著.（假设同一组中的每个数据可用该组区间的中间值代替）.
（1）求图2中的值以及注射乙种药物指标值的中位数；
（2）若按分层抽样从注射甲、乙两种药物且药效显著样本中抽取5件，再从这5件中抽取2件样本作进一步临床实验.记事件表示“2件样本均是来自注射同一种药物的实验组”，事件表示“2件样本中至少有1件样本来自注射乙药物的实验组”，求；
（3）从注射甲药物有效组中随机抽取10个样本.其指标值平均数为，方差；从注射乙药物的有效组中随机抽取20个样本.其指标值平均数为，方差.计算上述30个样本数据均值，方差.
19. 1715年英国数学家泰勒发现了如下公式：（其中，为自然对数的底数，）.已知.
（1）证明：；
（2）设，证明：；
（3）若，恒成立，求的取值范围.值
频数
2
3
7
4
3
1
2024年滁州市高一教学质量监测
数学
注意事项：
1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答題卡上对应題目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由集合的运算，代入计算，即可求解.
【详解】由题意可得，，则.
故选：D
2. 复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件，结合复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除运算，即可求解.
【详解】因为，所以，则的虚部为；
故选：A
3. 若，则（ ）
A. 最大值为B. 最小值为C. 最大值为6D. 最小值为6
【答案】A
【解析】
【分析】先用定义法证明函数在单调递增，在单调递减，从而即可求出函数最大值.
【详解】任取，
则，
因为，所以，，故，
所以即，
所以在单调递增；同理可证在单调递减，
所以.
故选：A.
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 如果一条直线与一个平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
B. 如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面
C. 如果一个平面内的两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
D. 如果一条直线与一个平面内的两条直线垂直，那么该直线与此平面垂直
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间线、面之间的位置关系，依次判断选项即可.
【详解】对于A，如果这条直线在平面内，则该直线与平面不平行；故A错误；
对于B，如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，故B正确；
对于C，如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，故C错误；
对于D，如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直，故D错误；
故选：B
5. 若函数，则（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】将变量依次代入变量相应范围所定义的解析式即可求解.
【详解】由题.
故选：D.
6. 若，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数,指数函数单调性，引入中间值，比较，根据指数,对数函数单调性，引入中间值，比较即可.
【详解】根据函数在单调递增，知道，
根据函数在单调递减，知道，
根据函数在单调递减，知道，
综上所得，.
故选：C.
7. 将一枚质地均匀的骰子抛掷2次，表示事件“没有出现1点”，表示事件“出现一次1点”，表示事件“两次抛出的点数之和是8”，表示事件“两次掷出的点数相等”，则下列结论中正确的是（ ）
A. 事件与事件是对立事件
B. 事件与事件是相互独立事件
C. 事件与事件是互斥事件
D. 事件包含于事件
【答案】D
【解析】
【分析】对于A,C,D选项直接列举出事件，根据对立事件，互斥事件，事件包含的概念可以判断真假；对于B选项，用相互独立事件的概率定义公式验证即可判断.
【详解】将一枚质地均匀的骰子抛掷2次，总共有36种．
表示事件“没有出现1点”，包含,共25种.
表示事件“出现一次1点”，包含共10种，则A错误．
表示事件“两次抛出的点数之和是8”，包含，共5种,
表示事件“两次掷出的点数相等”，包含，共6种．事件与事件不互斥．故C错误．
由上面分析知道包含,5种情况.且，，，由于，则事件与事件不是相互独立事件.故B错误．
显然事件包含于事件，故D正确．
综上所得，正确的只有D．
故选：D.
8. 设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.在该坐标系下向量，，若有，则的值是（ ）
A 或B. 或2C. 或D. 或2
【答案】C
【解析】
【分析】由向量坐标转化为基底表示，根据向量垂直的数量积公式，即可求解.
【详解】由题可得，且，
，，所以，，
由于，则，
即，
即，解得：或；
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 截至2021年，中国铁路营运总里程突破15万公里，其中中国高铁运营里程突破4万公里，位于世界榜首，为中国经济的高速发展提供有力的交通保障.下图为2012年至2021年中国高铁每年新增里程折线图，根据图示下列说法正确的有（ ）
A. 2012年至2021年中国高铁里程平均每年新增约34.5百公里
B. 2012年至2021年中国高铁每年新增里程的中位数为33百公里
C. 2012年至2021年中国高铁每年新增里程的上四分位数为21百公里
D. 2012年至2016年中国高铁每年新增里程的方差大于2017年至2021年中国高铁每年新增里程的方差
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意，由平均数，中位数以及百分位数的计算公式即可判断ABC，由方差的计算公式，即可判断D
【详解】将2012年至2021年中国高铁每年新增里程从小到大排序为，
则平均数为，故A错误；
中位数为，故B正确；
，则上四分位数为，故C错误；
2012年至2016年中国高铁每年新增里程的平均数为，
则方差为，
2017年至2021年中国高铁每年新增里程的平均数为，
则方差为，
故D正确；
故选：BD
10. 若函数的图象经过点，则（ ）
A. 点为函数图象的对称中心
B. 函数的最小正周期为
C. 函数在区间上的函数值范围为
D. 函数的单调增区间为
【答案】ACD
【解析】
【分析】先求出解析式，对于A，求出函数的对称中心即可判断；对于B，由解析式及最小正周期公式求解即可；对于C，根据变量范围得出角的范围即可得出函数的函数值范围；对于D，求出正切型函数的单调递增区间以及零点即可根据正切（型）函数图象性质得出函数的单调增区间.
【详解】由题，又，故，所以，
对于A，令，则，
所以的对称中心为，
当时，，故点为函数图象的一个对称中心，故A正确；
对于B，由上的最小正周期为，故B错误；
对于C，当，，故，故C正确；
对于D，令，所以，
所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间，
令即，所以即，
所以函数的零点为，
所以函数的单调递增区间为，故D正确.
故选：ACD.
11. 如图，在正四棱柱中，，是中点，则（ ）
A. 异面直线与所成的角为60°
B. 二面角的平面角正切值为
C. 点到平面的距离为
D. 若平面满足且，则平面截正四棱柱所得截面多边形的周长为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，连接，则可得为异面直线与所成的角，然后利用余弦定理求解判断，对于B，设，连接，可得为二面角的平面角，在直角中求解判断，对于C，利用求解判断，对于D，连接，可证得平面，则平面截正四棱柱所得截面多边形为，从而可求出的周长判断.
【详解】对于A，连接，则∥，所以为异面直线与所成的角，
因为在正四棱柱中，，
所以，，
所以，
所以，所以A错误；
对于B，设，连接，则,
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面，
因平面，所以，
所以为二面角的平面角，
因为，
所以，
所以二面角的平面角正切值为，所以B正确，
对于C，设点到平面的距离为，
因为，
所以，
因为，所以，
所以，得，所以C正确；
对于D，连接，
因为在正四棱柱中，，是中点，
所以，
，
所以，所以，同理可证，
因为，平面，
所以平面，
所以平面截正四棱柱所得截面多边形为，
因为，所以的周长为，
所以平面截正四棱柱所得截面多边形的周长为，所以D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：此题考查异面直线所成的角，考查二面角，考查点到面的距离，考查线面垂直的判断，解题的关键是根据条件结合图形作出异面直线所成的角和二面角的平面角，然后在三角形中计算，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用诱导公式计算即可.
【详解】解：.
故答案为：.
【点睛】本题考查诱导公式的应用，是基础题.
13. 已知向量，满足，则与的夹角为__________.
【答案】
【解析】
【分析】两边平方，得到．再根据夹角的余弦值公式求解即可.
【详解】，
，则与的夹角为.
故答案为：．
14. 如图，正四面体，为该正四面体高的中点，过直线的平面与棱平行，且平面截正四面体上半部分得到的棱锥内切球半径为，正四面体的内切球半径为，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出的外接球半径，再根据截面棱锥的体积求出内切球的半径最后 求比即可.
【详解】
正四面体的各条棱相等，各个面都是全等的正三角形.
设正四面体的棱长为 ，其体积可以通过将正四面体分割成四个等体积的三棱锥来计算，每个三棱锥的高为内切球半径 ，
则正四面体的体积 为 .
取中点N，连接,直线交于T,过作的平行线,交于E,交于F,连接，
因为，不在平面内，平面，
所以平面，平面，
所以截面是平面.
在中，，
设，所以，
又因为三点共线，可以得出，
设截面棱锥的内切球半径为，
，
因为，所以,，
在中，，
，
，
所以，
所以，
，
，
，
.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：先根据要求得出截面，再应用多面体体积与表面积及内切球关系求解即可.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知内角，，所对边分别为，，，是边上一点，，，.
（1）求角；
（2）求的长度.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据结合余弦定理可求出角；
（2）在中利用余弦定理直接求解即可.
【小问1详解】
因为，所以，
所以由余弦定理得，
因为，所以；
【小问2详解】
在中，,，
所以由正弦定理得，
所以，得.
16. 如图，在矩形中，，，是上靠近的三等分点，是的中点，是与的交点.
（1）用向量，表示，；
（2）求的余弦值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据几何图形的边长关系以及向量运算法则直接计算即可.
（2）先由（1）计算、、，再根据向量夹角余弦公式计算即可得解.
【小问1详解】
由题意可得，，
所以，.
【小问2详解】
由图可知，
由（1）得，
且，
，
所以
17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，是中点，是中点.
（1）证明：平面；
（2）证明：.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接，，可得四边形为平行四边形，即，从而证明平面；（2）连接与交于，可得与相似，求出，，由勾股定理的逆定理可得，由已知条件可得从而可得平面，即可证明.
【小问1详解】
取的中点，连接，，
因为为中点， 是中点，
所以，，
又因为底面是矩形，是中点，
所以，，
所以，，
则四边形平行四边形；
所以，
又平面，平面，
所以平面
【小问2详解】
连接与交于，
设，底面是矩形，
则，，
因为，
所以，，
则与相似，所以，
所以，，
则，
所以
即，
又因为平面，平面，
所以，
由于，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以
18. 生物医药的开发和应用对解决全球性疾病具有重要意义，生物医药的开发可以帮助解决全球范围内存在的疑难杂症，如癌症、艾滋病、糖尿病等，同时也可以为未来的新病毒和新疾病提供有效的治疗手段.而试验是生物制药中不可缺少的重要环节.某生物制药公司对甲、乙两种新药物的某项指标值（）进行实验.对注射甲种药物的20只小白鼠，测量得出该项指标值的数据并绘制表格如图1；对注射乙种药物的30只小白鼠，测量得出该项指标值的数据并绘制频率分布直方图如图2.临床观察表明当值越大，药物对病毒的抑制效果越好.当值大于40时，认为药物有效；当值大于80时，认为药效显著.（假设同一组中的每个数据可用该组区间的中间值代替）.
（1）求图2中的值以及注射乙种药物指标值的中位数；
（2）若按分层抽样从注射甲、乙两种药物且药效显著的样本中抽取5件，再从这5件中抽取2件样本作进一步临床实验.记事件表示“2件样本均是来自注射同一种药物的实验组”，事件表示“2件样本中至少有1件样本来自注射乙药物的实验组”，求；
（3）从注射甲药物有效组中随机抽取10个样本.其指标值平均数为，方差；从注射乙药物的有效组中随机抽取20个样本.其指标值平均数为，方差.计算上述30个样本数据均值，方差.
【答案】（1）；注射乙种药物指标值的中位数为
（2）
（3）；
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为1即可求解；根据频率分布直方图确定频率之和为0.5所在的组从而确定中位数所在的范围即可求解.
（2）先确定甲、乙两种药物药效显著的频数，从而确定其被抽取的件数，再将总样本空间和事件A、B的样本空间求出来即可得到事件的样本空间及其样本点，进而得解.
（3）根据分层随机抽样样本平均数公式和方差公式直接计算即可得解.
【小问1详解】
由频率之和为1以及频率分布直方图得，，
则前3组频率之和为，
前4组频率之和为，
所以注射乙种药物指标值的中位数在内为.
【小问2详解】
由题甲、乙两种药物药效显著的频数分别为、，
故按比例从中抽取5件则从甲种药物中抽件，记为M、N，从乙种药物中抽件，记为a、b、c，
再从这5件中抽取2件样本的样本空间为共10个样本点，
则共4个样本点，共9个样本点，
所以，故.
【小问3详解】
由题，
故.
19. 1715年英国数学家泰勒发现了如下公式：（其中，为自然对数的底数，）.已知.
（1）证明：；
（2）设，证明：；
（3）若，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用分别计算和即可得证.
（2）利用泰勒公式得，进而得，再进行放缩即可得证.
（3）先求得的奇偶性和单调性，再根据单调性及其奇偶性性质得恒成立，接着解该不等式即可得解.
【小问1详解】
由题，
，
故.
【小问2详解】
由题，
所以
，即得证.
【小问3详解】
由题定义域为，且，
故函数是偶函数，
任取，则，
因为，所以、，，
所以，所以，故，
所以，即，
所以在上单调递减，则由函数的奇偶性得在上单调递增，
所以在上恒成立，
则在上恒成立，
又因为当时，，所以
所以即在上恒成立，
所以，，
令
，，
因为，所以，，
所以，
故，即，
令
因，所以，故，
所以，
故，即，
综上得，即的范围为.
【点睛】思路点睛：求解，恒成立时的参数的取值范围问题，可利用函数的奇偶性和单调性性质将问题转化为在上恒成立求参数的取值范围，再问题转化成研究和，的最值问题即可.
值
频数
2
3
7
4
3
1
相关试卷
安徽省宣城市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷（Word版附解析）： 这是一份安徽省宣城市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷（Word版附解析），共25页。试卷主要包含了考试结束时，务必将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
安徽省滁州市九校2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试卷（Word版附解析）： 这是一份安徽省滁州市九校2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试卷（Word版附解析），文件包含安徽省滁州市九校2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题Word版含解析docx、安徽省滁州市九校2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
安徽省滁州市2024届高三下学期适应性考试数学试卷（Word版附解析）： 这是一份安徽省滁州市2024届高三下学期适应性考试数学试卷（Word版附解析），文件包含安徽省滁州市2024届高三下学期适应性考试数学试题Word版含解析docx、安徽省滁州市2024届高三下学期适应性考试数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
