山东省单县2025届高三下学期第一次模拟考试数学试卷（解析版）

这是一份山东省单县2025届高三下学期第一次模拟考试数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了 已知，则， 已知集合，则， 已知函数的图象关于点对称，则等内容，欢迎下载使用。
1. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，
所以.
故选：C
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由得，
解得，因为，所以集合是所有奇数构成的集合，
则.
故选：B.
3. 已知是两个相互垂直的单位向量，且向量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】法一：由题意得，
所以，则；
法二：因为是两个相互垂直的单位向量，且向量，
所以不妨设，则，
故，则，
故选：A．
4. 已知函数的图象关于点对称，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数的图象关于点对称，
则，即，
因为，所以，
故选：D．
5. 已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是半圆.若球的表面积为，则圆锥的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设球的半径和圆锥的底面半径为，则球的表面积为，解得.
设圆锥的母线长为，高为，因为圆锥的侧面展开图是半圆，所以，
故，所以
故选：C
6. 已知双曲线的右焦点为，点．若以坐标原点为圆心，为半径的圆恰好与直线相切，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设为坐标原点，，圆与直线相切于点，
则根据几何关系可知，即，
所以，
又，则，即，
所以，即或，
因为双曲线的离心率，所以，
故选：D．
7. 已知函数在区间单调，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知得，当时，令，得，
令，解得；令，解得；
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以若在区间上单调，则需满足或，即或，
所以的取值范围是
故选：B
8. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，则当取得最小值时，的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由过点的直线可设为，与抛物线，联立消去x得：
，
设交点，则
，由
，
取等号条件是，
此时.
故选：A.
二､多选题：本题共3个题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分.有选错的得0分.
9. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ）
A. B. 是奇函数
C. 是增函数D.
【答案】ABD
【解析】对于B：令，由题设可知，故是奇函数.故B正确；
对于A：又的定义域为R，所以，故A正确.
对于C：不妨取，则满足，且，故C错误.
对于D：令，则；令，则，
故，故D正确.
故选:ABD
10. 椭圆曲线在密码学中有重要的应用，已知椭圆曲线，则（ ）
A. 关于坐标原点对称
B 关于轴对称
C. 当时，与轴只有一个公共点
D. 当时，与轴有两个公共点
【答案】BC
【解析】点关于坐标原点的对称点为，而，所以不关于坐标原点对称，故A错误.
点关于轴的对称点为，而，
所以关于轴对称，故B正确.
当时，.令，则.
当或时，；当时，0，
所以在区间和上单调递增，在区间上单调递减，
故的极大值为，极小值为.又，
故只有一个零点，所以与轴只有一个公共点，故C正确.
当时，.令，则.
当或时，；当时，，
所以在区间和上单调递增，
在区间，上单调递减，故的极大值为，
极小值为.又，
故有三个零点，所以与轴有三个公共点，故D错误.
故选：BC
11. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，
，，
令，求导得，函数在上单调递减，
而，则，因此，C正确；
对于D，，，则
，令，
求导得，函数在上单调递减，，
即，因此，，D正确.
故选：BCD
三､填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.
12. 写出一个半径为，且与直线相切于点的圆的方程：________．
【答案】或（写1个即可）
【解析】设圆心坐标为，半径为，且与直线相切于点，
由直线，可得该直线斜率为，
所以，解得或，
所以所求圆的方程为或．
故答案为：或（写1个即可）.
13. 记是等比数列的前项和，若，，则__________.
【答案】
【解析】因为是等比数列，所以公比故
故答案为：
14. 已知，，成等差数列，若直线与曲线相切，则________．
【答案】
【解析】由题意得，直线，
故直线过定点，且曲线过点，
故直线与曲线（无拐点）相切于点.∵，
∴直线的斜率，∴直线的方程为，∴，
∴.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 记的内角的对边分别为，已知
（1）求；
（2）若，的面积为，求.
解：（1）由已知及正弦定理可得.
因为，
所以，
即.
又，所以，
则.
因为，所以，则，所以.
（2）由（1）知，
故.
因为，所以.
由余弦定理得，
故.
16. 如图，在三棱柱中，分别为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若侧面底面，底面是等边三角形，侧面是菱形，且，求直线与侧面所成角的正弦值.
（1）证明：如图，取的中点，连接.
因为为的中点，所以，且.
因为为的中点，所以.
又，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以.
又平面平面，所以平面.
（2）解：如图，取的中点，连接.因为底面是等边三角形，
所以.
因为侧面是菱形，且，
所以.
又侧面底面，侧面底面侧面，
所以底面.
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，不妨设三棱柱的各棱长为2，
则，，
故，.
设侧面的法向量为，
则即
令，得，所以侧面的一个法向量为.
设直线与侧面所成的角为，
则
，
故直线与侧面所成角的正弦值为.
17. 已知椭圆的左､右焦点分别为为第一象限内上的一点，直线与的另一个交点为，且.
（1）证明：；
（2）若求直线被截得的弦长.
（1）证明：由椭圆的定义得①，
由题意，②，
将②代入①可得：，故得.
（2）解：若，则，
所以则.
由（1），，即点为曲线的下顶点.
在中，由余弦定理，，
在中，由余弦定理，
，则.
设曲线的半焦距为，则，
所以曲线的方程为.
又，所以，解得，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为.
联立得0（*）.
设方程（*）.的两个实数根分别为，
则，
故直线被曲线截得的弦长为：

18 已知函数
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若不是的极值点，求；
解：（1）由已知得，
所以曲线在点处的切线的斜率，
且，所以所求切线方程为.
（2）令，则，
在区间上单调递增.
(i)若，则，所以存在正数，
使得当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增，故是的极值点，
(ii)若，则，所以存在正数，
使得当时，单调递减；
当时，单调递增；
当时，单调递减，故是的极值点.
（iii）若，则当时，单调递减；
当时，单调递增，
故当时，单调递增，
故不是的极值点.综上，.
19. 若数列满足：，若存在，都有，则称这个数列为下界数列，并把其中最小值叫做临界值，记为.
（1）记数列前项和为，证明：数列是下界数列；
（2）记数列前项和为，判断数列是否为下界数列，并说明理由；
（3）若数列是首项及公比均为2的等比数列，记，数列的临界值为，证明：．
（1）证明：由题意知，，
故数列是下界数列.
（2）解：由，知，
．
因为，
所以，
故数列不是下界数列．
（3）解：由题意知，，
，
因为，
所以，所以．
，当时，，
当时，
，
所以．