山东省青岛市2024-2025学年高一下学期期中学业水平检测数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份山东省青岛市2024-2025学年高一下学期期中学业水平检测数学试卷（原卷版+解析版），共20页。试卷主要包含了04，考试结束后，请将答题卡上交， 记的外心为点，，若，则， 已知，复数满足，则等内容，欢迎下载使用。
2025.04
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，请将答题卡上交.
一､单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，且与共线，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 的内角的对边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 某观赏渔场有三个观赏亭，观赏亭位于观赏亭的东北方向且它们之间的距离为，观赏亭位于观赏亭的北偏西方向且它们之间的距离为，则观赏亭与观赏亭之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知两个单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A. 向左平移个单位B. 向左平移个单位
C 向右平移个单位D. 向右平移个单位
7. 分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为“勒洛三角形”.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为上一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 记的外心为点，，若，则（ ）
A B. C. D.
二､多项选择题：本大题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错的得0分.
9. 函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C
D. 在区间上单调递减
10. 已知，复数满足，则（ ）
A. B.
C. D. 的最大值为
11. 记单位向量夹角为，若向量，则把有序数对称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的仿射坐标，记，则（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. 在上的投影向量为
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在等腰三角形中，，则向量与的夹角为________.
13. 已知是关于的方程的一个根，则实数___________．
14. 已知满足，若，的最小值为，则的面积为___________.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知，.
（1）求；
（2）若在复平面内对应的向量分别为，且，求实数的值.
16. 在锐角中，角所对的边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，且面积为，求的周长.
17. 如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车轴心距水面的高度为米.设筒车上某个盛水桶到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数），若以盛水桶刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：分钟）之间的关系式为.
（1）求与时间（单位：分钟）之间的关系式；
（2）某时刻（单位：分钟）时，盛水桶在过点竖直直线的左侧，到水面的距离为米，再经过分钟后，求盛水桶到水面的距离.
18. 如图，在等边三角形中，，线段与交于点.
（1）求；
（2）求；
（3）若为所在平面内一动点，求的最小值.
19. 年，高斯建立了复数相关的某些运算，这使得复数某些运算开始代数化；在复平面内，高斯也将复数看作一种向量，并利用两者在复平面内的关系，解释了复数的几何加法与乘法，丰富了复数理论.记表示实数中的最大者.已知，.
（1）若.求；
（2）证明：；
（3）求的最小值.
2024-2025学年度第二学期期中学业水平检测
高一数学试题
2025.04
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，请将答题卡上交.
一､单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出复数的实部、虚部可得答案.
【详解】在复平面内，复数对应的点的坐标是.
故选：B.
2. 已知，且与共线，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量平行的坐标运算即可求解.
【详解】因为，且与共线，
所以，解得.
故选：D.
3. 内角的对边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用正弦定理求解即可.
详解】由正弦定理得，所以.
故选：C
4. 某观赏渔场有三个观赏亭，观赏亭位于观赏亭的东北方向且它们之间的距离为，观赏亭位于观赏亭的北偏西方向且它们之间的距离为，则观赏亭与观赏亭之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据余弦定理可求得结果.
【详解】由题意知，，
在中，由余弦定理可得，
，
即观赏亭与观赏亭之间的距离为.
故选：C
5. 已知两个单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据数量积的运算律求出，再由投影向量的定义计算可得.
【详解】由单位向量，满足，
所以，解得，
则在上的投影向量为．
故选：B．
6. 要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A. 向左平移个单位B. 向左平移个单位
C 向右平移个单位D. 向右平移个单位
【答案】B
【解析】
【分析】根据诱导公式可得，再根据三角函数的平移变换求解即可.
【详解】因为，
所以要得到的图象，只需把将的图象向左平移个单位即可.
故选：B
7. 分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为“勒洛三角形”.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为上一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示建立函数关系，结合辅助角公式及正弦函数性质求出最小值.
【详解】以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，
由为上一点，设，而，
则，
，其中锐角由确定，
显然，即，又，，
则当时，取得最小值，
所以的最小值为.
故选：B
8. 记的外心为点，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由三角形的外心可得，再由结合数量积的定义以及运算律代入计算，即可得到结果.
【详解】由条件可得，
又点为的外心，所以，
且，
所以，
且，即，
即，
所以.
故选：D
二､多项选择题：本大题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错的得0分.
9. 函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C.
D. 在区间上单调递减
【答案】AC
【解析】
【分析】根据函数的图象的最值，周期和经过的点，依次求得，即得函数的解析式，再对各选项进行逐一判断即可.
【详解】由图可得，，故A正确；
函数的最小正周期满足，则得，解得，
将点代入中，可得，
因，则，故得，解得，故B错误；
由上分析，可得，则，故C正确；
当时，，因函数在上不是减函数，
故在区间上也不是减函数，即D错误.
故选：AC.
10. 已知，复数满足，则（ ）
A. B.
C. D. 的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据复数模长、乘法运算，结合共轭复数定义判断ABC，结合复数的几何意义，根据点与圆的位置关系求解最值判断D.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，则，
所以，B正确；
对于C，因为，
所以，
，所以，C错误；
对于D，复数在复平面内对应的点为，
则表示复数在复平面内对应的点在以为圆心1为半径的圆上，
而表示复数在复平面内对应的点到原点的距离，
所以的最大值为，D正确.
故选：ABD.
11. 记单位向量的夹角为，若向量，则把有序数对称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的仿射坐标，记，则（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. 在上的投影向量为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据平面向量的坐标运算结合“仿射”坐标系下的仿射坐标，确定向量模长公式、数量积公式、投影向量公式，逐项判断即可得结论.
【详解】由题可设，，
则，，
对于A，，
所以，故A不正确；
对于B，设，若，则存在实数使得，则，故B正确；
对于C，设，若，
则，
当时，，，当时，，不垂直，则不一定垂直，故C不正确；
对于D，在，则，
上的投影向量为，故D正确.
故选；BD.
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在等腰三角形中，，则向量与的夹角为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据等腰三角形确定角大小，从而根据平面向量的夹角得向量与的夹角.
【详解】在等腰三角形中，，则，
所以向量与的夹角为.
故答案为：.
13. 已知是关于的方程的一个根，则实数___________．
【答案】12
【解析】
【分析】由根与系数的关系即可得到答案.
【详解】设方程的另一个根为，由根与系数的关系：
故答案为：12.
14. 已知满足，若，的最小值为，则的面积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】设，作点关于的对称点，设，如图根据向量的线性运算化简题中的式子为，利用点关于直线对称的性质可得，结合余弦定理可求得，利用倍角公式求出，最后根据面积公式计算即可.
【详解】设，则，且点在线段上运动，
所以，
设，则，
所以，
所以，
即，
作点关于对称点，设，
则，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，解得，即，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了向量的线性运算，余弦定理解三角形以及三角函数的倍角公式，解题的关键是根据向量的线性运算化简题中的式子为，利用点关于直线对称的性质可得，结合余弦定理可求得，最后根据面积公式计算.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知，.
（1）求；
（2）若在复平面内对应的向量分别为，且，求实数的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由复数的四则运算代入计算，即可得到结果；
（2）由向量垂直的坐标运算代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
因为，所以
因为，所以.
【小问2详解】
由（1）可知，则，
，因为，所以，
解得.
16. 在锐角中，角所对的边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，且的面积为，求的周长.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理边角转化，可求得，即可求出角；
（2）结合（1）的结论和三角形面积公式可求得，由余弦定理有 ，据此可求出，从而可得到的周长.
【详解】由，利用正弦定理得，
因为，所以.
又因为为锐角，所以.
（2）由，所以，
又，即，
则，即
又，所以.
所以的周长为.
【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
17. 如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车轴心距水面的高度为米.设筒车上某个盛水桶到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数），若以盛水桶刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：分钟）之间的关系式为.
（1）求与时间（单位：分钟）之间的关系式；
（2）某时刻（单位：分钟）时，盛水桶在过点竖直直线的左侧，到水面的距离为米，再经过分钟后，求盛水桶到水面的距离.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据周期求出，根据振幅和中心求得，根据特殊点求得，即可得解；
（2）根据三角函数同角关系求得，然后根据两角和的正弦公式求解即可.
【小问1详解】
由题意知，，因为，所以；
因为半径为2米，筒车的轴心距水面的高度为1米，可得，
当时，，代入得，
因为，所以，所以；
【小问2详解】
由题意得，，得，
由题意知，所以，
所以
，
所以，
答：再经过分钟后，盛水桶到水面的距离为米.
18. 如图，在等边三角形中，，线段与交于点.
（1）求；
（2）求；
（3）若为所在平面内一动点，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出点的坐标，进而，利用数量积的坐标运算求解即可；
（2）将转化为，利用平面向量夹角的坐标运算公式求解即可；
（3）设，求得的坐标，利用数量积的坐标运算得，然后利用平方非负求解即可.
【小问1详解】
以D为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，
由，可得，
由可得，所以，
则；
【小问2详解】
由图可得；
【小问3详解】
设，则，
所以
，
当时取“=”号，
所以得最小值为.
19. 年，高斯建立了复数相关的某些运算，这使得复数某些运算开始代数化；在复平面内，高斯也将复数看作一种向量，并利用两者在复平面内的关系，解释了复数的几何加法与乘法，丰富了复数理论.记表示实数中的最大者.已知，.
（1）若.求；
（2）证明：；
（3）求的最小值.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）将两方程联立求得，再求其模长，即得；
（2）设，，求得和，取平方作差后利用基本不等式，即可证明，同理证明，即可证明原命题；
（3）将所求式进行配方，并理解为三个复数的模之和，依次运用（2）的结论进行转化化简，直至求得其最小值，并注意等号成立的条件.
【小问1详解】
，由，可得，即得
由，可得，即得，
所以，，故.
【小问2详解】
设，
则，
因为，
又因为，
所以
当且仅当时等号成立， 所以
用换，同理可得：，
故.
【小问3详解】
因为
，
当且仅当时等号成立，
或时，原式的最小值为.