广西“贵百河”2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（解析版）

这是一份广西“贵百河”2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在复平面中，复数的共轭复数所对应的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意，，则，
所以所求点的坐标为.
故选：C.
2. 已知向量，满足，，，则（ ）
A. 7B. C. D. 4
【答案】C
【解析】.
故选：C.
3. 在中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，那么这个三角形是（ ）
A. 等边三角形B. 等腰三角形
C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】∵中，已知，，，
由正弦定理，可得：，
解得：，可得：或.
当时，∵，
∴，是直角三角形.
当时，∵，
∴，是等腰三角形.
故是直角三角形或等腰三角形.
故选：D.
4. 已知向量，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由向量，，得，
由，得，
所以.
故选：B.
5. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ）
A. 6B. 9C. 12D. 15
【答案】C
【解析】由直观图可得如下平面图形，其中，，
所以.
故选：C.
6. 已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由点在线段的延长线上，且，得，
因此，
所以点P的坐标为.
故选：A.
7. 已知复数满足，则最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意表示复平面内复数对应的点在以点为圆心，
为半径的圆上，
表示上述圆上的点到原点的距离，所以.
故选：D.
8. 正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，，是该正五角星的中心，则（ ）
A. B. 32C. D. 64
【答案】A
【解析】作，垂足，如下图所示：
则为的中点，
故
.
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 两个非零向量，，若，则与共线且反向
C. 若，则存在唯一实数使得
D. 若是三角形的重心，则
【答案】BD
【解析】若可满足“，”，但不一定成立，A错；
根据向量减法几何意义，当，则与共线且反向，B对；
若可满足，但不满足存在唯一实数使得，C错；
如图所示：
，D对．
故选：BD．
10. 如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（ ）
A. 该几何体的高为
B. 该几何体的表面积为
C. 该几何体的体积为
D. 一只小蚂蚁从点爬行到点，所经过的最短路程为
【答案】ACD
【解析】对于A，正四棱锥底面半径，
高，因此该几何体的高为，A正确；
对于B，几何体的表面积为，B错误；
对于C，该几何体的体积为，C正确；
对于D，观察图形知，小蚂蚁从点爬行到点的最短路径为沿表面越过棱或，
由对称性，不妨取长方形及正，将它们置于同一平面内，连接，如图，
取中点，连接，则，而，
所以最短路程为，D正确.
故选：ACD.
11. 在中，内角所对的边分别为，其中，且，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 面积的最大值为
C. 若为边的中点，则的最大值为3
D. 若为锐角三角形，则其周长的取值范围为
【答案】ACD
【解析】对于A，由题意可知，
利用余弦定理得，，因为，所以，故A正确；
对于B，由上述可知，的面积，
且易知，解出，当且仅当时取等号，
此时，故B错误；
对于C，在和中，对和利用余弦定理，，化简后有，
由B知，的最大值为12，因此最大为3，故C正确；
对于D，利用正弦定理，，则，
于是的周长，
由于是锐角三角形，因此即解出，
则，则，则，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为______．
【答案】
【解析】因为，
所以复数的虚部为.
13. 已知向量、满足，，且，则与的夹角为________.
【答案】.
【解析】∵；
∴＝0；
∴；
∵与夹角的取值范围为[0，π]，
∴的夹角为．
14. 如图1，这是清风楼，位于河北省邢台市，始建于唐、宋年间，是邢台市地标性建筑之一，也是邢台历史人文的一个缩影．某数学兴趣小组成员为测量清风楼的高度，在与楼底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则清风楼的高度______．
【答案】米
【解析】依题意，，，，设米，
在中，米，
在中，米，
在中，米，
在中，由余弦定理得，
即，即，
在中，由余弦定理可得，
即，即，
因此，而，解得，
所以清风楼的高度为米.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知复数.
（1）若复数为纯虚数，求实数的值；
（2）已知是关于的方程的一个根，其中，，求的值．
解：（1）若复数为纯虚数，则，解得.
（2）已知是关于的方程的一个根，
则也是方程的根，所以，
所以.
16. 在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长．
解：（1）在中，由，
得，
整理得，而，解得，而，
所以.
（2）依题意，，而，解得，
由余弦定理得，即，则，
于是，解得，所以的周长为.
17. 陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上.
（1）若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积；
（2）规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？
解：（1）令陀螺外接球半径为，则，可得，
由题意，圆柱的矩形轴截面对角线长为，又圆柱的高为，
所以圆柱底面直径，则底面半径，
综上，圆锥的高为，母线长为，
所以陀螺的体积为，
陀螺表面积为.
（2）令圆柱的高为，由（1）知陀螺外接球半径，
所以圆柱底面直径为，圆锥的高为，
所以陀螺的高为，
由圆柱体侧面积，
当且仅当时取等号，
所以陀螺的高是()时，圆柱体侧面积最大.
18. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点.
（1）求：；
（2）求的坐标；
（3）若点M在线段上运动，设，求的最大值.
解：（1）依题意，得是单位向量，且夹角为，
所以，
而，
，
则.
（2）因，
所以，，
所以，则四边形是平行四边形，
所以，
因为分别是的中点，所以，
所以，，
因为
，
则，
所以，.
（3）由（2）知，，
因为点在线段上运动，所以设，其中，
因为，所以，
所以，
因为不共线，则，解得，
所以，
因为，所以当时，取得最大值3.
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面的问题：
（1）若是边长为的6等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和；
（2）的内角，，所对的边分别为，，，且，点为的费马点．
（i）若，求；
（ii）求最小值．
解：（1）由等边三角形，三个内角均小于，得费马点在三角形内，
满足，且，如图：
过作于，则，，，
所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为．
（2）（i）由正弦定理得，而，，
则，即，得，则的三个角都小于，
由费马点定义知，，
设，，
由得：，
整理得，则
．
（ii）由（i）知，点在内部，且，
设，，
则，
由余弦定理得，，
，
，
而，即，
整理得，即，则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.