广西壮族自治区贵港市“贵百河”联考2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（Word版附答案）

这是一份广西壮族自治区贵港市“贵百河”联考2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（Word版附答案），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在复平面中，复数的共轭复数所对应的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，满足，，，则（ ）
A．7B．C．D．4
3．在中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，那么这个三角形是（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
4．已知向量，，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ）
A．6B．9C．12D．15
6．已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
7．已知复数满足，则最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，，是该正五角星的中心，则（ ）
A．B．32C．D．64
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．若，，则
B．两个非零向量，，若，则与共线且反向
C．若，则存在唯一实数使得
D．若是三角形的重心，则
10．如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（ ）
A．该几何体的高为
B．该几何体的表面积为
C．该几何体的体积为
D．一只小蚂蚁从点爬行到点，所经过的最短路程为
11．在中，内角所对的边分别为，其中，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．面积的最大值为
C．若为边的中点，则的最大值为3
D．若为锐角三角形，则其周长的取值范围为
三、填空题
12．若复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为 ．
13．已知向量、满足，，且，则与的夹角为 .
14．如图1，这是清风楼，位于河北省邢台市，始建于唐、宋年间，是邢台市地标性建筑之一，也是邢台历史人文的一个缩影．某数学兴趣小组成员为测量清风楼的高度，在与楼底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则清风楼的高度 ．
四、解答题
15．已知复数
(1)若复数为纯虚数，求实数的值；
(2)已知是关于的方程的一个根，其中，，求的值．
16．在中，内角，，的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长．
17．陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上.

(1)若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积；
(2)规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？
18．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点.
(1)求：；
(2)求的坐标；
(3)若点M在线段上运动，设，求的最大值.
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面的问题：
(1)若是边长为的6等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和；
(2)的内角，，所对的边分别为，，，且，点为的费马点．
（i）若，求；
（ii）求的最小值．
广西“贵百河”2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷参考答案
1．C
解析：依题意，，则，
所以所求点的坐标为.
故选：C
2．C
解析：.
故选：C
3．D
解析：∵中，已知，，，
由正弦定理，可得：，
解得：，可得：或.
当时，∵，
∴，是直角三角形.
当时，∵，
∴，是等腰三角形.
故是直角三角形或等腰三角形，
故选：D.
4．B
解析：由向量，，得，
由，得，
所以.
故选：B
5．C
解析：由直观图可得如下平面图形，其中，，
所以.
故选：C
6．A
解析：由点在线段的延长线上，且，得，
因此,
所以点P的坐标为.
故选：A
7．D
解析：依题意，表示复平面内复数对应的点在以点为圆心，为半径的圆上，
表示上述圆上的点到原点的距离，所以.
故选：D
8．A
解析：作，垂足为，如下图所示：
则为的中点，
故
.
故选：A
9．BD
解析：若可满足“，”，但不一定成立，A错；
根据向量减法几何意义，当，则与共线且反向，B对；
若可满足，但不满足存在唯一实数使得，C错；
如图所示：
，
D对．
故选：BD．
10．ACD
解析：对于A，正四棱锥底面半径，高，
因此该几何体的高为，A正确；
对于B，几何体的表面积为，B错误；
对于C，该几何体的体积为，C正确；
对于D，观察图形知，小蚂蚁从点爬行到点的最短路径为沿表面越过棱或，
由对称性，不妨取长方形及正，将它们置于同一平面内，连接，如图，
取中点，连接，则，而，
所以最短路程为，D正确.
故选：ACD
11．ACD
解析：对于A,由题意可知，利用余弦定理得，，因为，所以，故A正确；
对于B，由上述可知，的面积，且易知，解出，当且仅当时取等号，此时，故B错误；
对于C，在和中，对和利用余弦定理，，化简后有，由B知，的最大值为12，因此最大为3，故C正确；
对于D，利用正弦定理，，则，于是的周长，
由于是锐角三角形，因此即解出，
则则，则，故D正确.
故选：ACD.
12．/
解析：因为，
所以复数的虚部为.
故答案为：
13．.
解析：解：∵；
∴

＝0；
∴；
∵与夹角的取值范围为[0，π]，
∴的夹角为．
故答案为．
14．米
解析：依题意，，，，设米，
在中，米，在中，米，
在中，米，
在中，由余弦定理得，
即，即，
在中，由余弦定理可得，
即，即，
因此，而，解得，
所以清风楼的高度为米.
故答案为：米
15．(1)
(2)
解析：（1）若复数为纯虚数，则，解得.
（2）已知是关于的方程的一个根，
则也是方程的根，
所以，
所以.
16．(1)
(2)6.
解析：（1）在中，由，得，
整理得，而，解得，而，
所以.
（2）依题意，，而，解得，
由余弦定理得，即，则，
于是，解得，所以的周长为.
17．(1)陀螺体积、表面积分别为，；
(2)().
解析：（1）令陀螺外接球半径为，则，可得，
由题意，圆柱的矩形轴截面对角线长为，又圆柱的高为，
所以圆柱底面直径，则底面半径，
综上，圆锥的高为，母线长为，
所以陀螺的体积为，
陀螺表面积为.
（2）令圆柱的高为，由（1）知陀螺外接球半径，
所以圆柱底面直径为，圆锥的高为，
所以陀螺的高为，
由圆柱体侧面积，
当且仅当时取等号，
所以陀螺的高是()时，圆柱体侧面积最大.
18．(1)
(2)，
(3)3
解析：（1）依题意，得是单位向量，且夹角为，
所以，
而，
，
则.
（2）因为，
所以，，
所以，则四边形是平行四边形，
所以，
因为分别是的中点，所以，
所以，，
因为
，
则，
所以，；
（3）由（2）知，，
因为点在线段上运动，所以设，其中，
因为，所以，
所以，
因为不共线，则，解得，
所以，
因为，所以当时，取得最大值3.
19．(1)；
(2)（i）；（ii）.
解析：（1）由为等边三角形，三个内角均小于，得费马点在三角形内，
满足，且，如图：

过作于，则，，，
所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为．
（2）（i）由正弦定理得，而，，
则，即，得，则的三个角都小于，
由费马点定义知，，
设，，
由得：，
整理得，则
．
（ii）由（i）知，点在内部，且，

设，，
则，
由余弦定理得，，
，
，
而，即，
整理得，即，则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
D
B
C
A
D
A
BD
ACD
题号
11









答案
ACD