广西壮族自治区柳州市2025年中考一模数学试卷（解析版）

这是一份广西壮族自治区柳州市2025年中考一模数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列运动项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A. 既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故不符合题意；
B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
D. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B.
2.如图，在等腰直角中，，O是斜边的中点，点D、E分别在直角边、上，且，交于点P，则下列结论：①图中全等的三角形有三对；②的面积等于四边形面积的2倍；③；④；⑤.其中正确的结论有（ ）
A.2个B.3个C.4个D.5个
【答案】D
【解析】∵在等腰直角中，，O是斜边的中点，
∴，，，，
∴，
∴，，
∵，
，
∴，，故结论⑤正确.
在和中
，
∴；
在和中，
∴；
在和中，
∴；
∴图中共有3对全等三角形，故结论①正确.
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵
∴，故结论②正确.
∵，
∴，故结论③正确.
∵，
∴，
∴，故结论④正确.
综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个.
故选：D.
3.已知关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A.B.C.且k≠0D.且k≠0
【答案】D
【解析】∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，即，且，
解得且.
故选：D.
4.如图，二次函数的图像与x轴交于点，对称轴是直线，根据图像判断以下说法正确的是（ ）
A.B.
C.若，则D.当，则y随x的增大而增大
【答案】C
【解析】∵二次函数的图像与x轴交于点，
对称轴是直线，
∴与x轴交于点
∴，故A错误；
∴，即，
∴，
令，则，故B错误；
∵，函数图像在轴上方，
∴，故C正确；
当时，则y随x的增大而增大，故D错误.
故选：C.
5.秋冬季节是流感高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】设每轮传染中平均一个人传染了个人，由题意，得：
；
故选：D.
6.如图，河坝横断面迎水坡的坡比为.坝高为，则的长度为（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】在Rt△ABC中，BC=4米，tanA=1：；
∴AC=BC÷tanA=米，
∴米.
故选：B.
7.下列哪个事件不是随机事件（ ）
A.投掷一次骰子，向上一面的点数是6
B.姚明在罚球线上投篮一次，未投中
C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D.任意画一个多边形，其外角和是360°
【答案】D
【解析】A、投掷一次骰子，向上一面的点数是6是随机事件；
B、姚明在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件；
C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件；
D、任意画一个多边形，其外角和是360°是必然事件；
故选：D.
8.若函数的图象经过点，下列说法正确的是（ ）
A.随的增大而减小B.函数的图象只在第一象限
C.当时，必有D.点不在此函数图象上
【答案】C
【解析】函数的图象经过点（1，6）， ∴k=1×6=6，
A、∵k＞0， ∴图象在每个象限，y随x的增大而减小，故此选项不符合题意；
B、∵k=6＞0， ∴函数图象经过一、三象限，此选项不符合题意.
C、∵k=6＞0， ∴函数图象经过一、三象限， ∴当x＜0时，y＜0，故此选项符合题意；
D、∵-2×（-3）=6=k， ∴点（-2，-3）在此函数图象上，故此选项不符合题意；
故选：C.
9.已知a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两根，则代数式﹣a3+5a的值是（ ）
A.5B.﹣5C.1D.﹣1
【答案】B
【解析】∵a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两根，
∴a2﹣a＝5，ab＝﹣5，
∴a2﹣5＝a，a，
∴﹣a3+5aa（a2﹣5）a2+a＝﹣（a2﹣a）＝﹣5.
故选：B.
10.如图，是四边形的外接圆，若，则的度数为（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】是四边形ABCD的外接圆，
，
，
，
由圆周角定理得：，
故选：
11.某种药品经过两次降价，由每盒50元调至36元，若每次降价的百分率相同.设第一次降价的百分率为x，由题意可列得方程（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】第一次降低后的价格为：，第二次降低后的价格为，
可列方程为.
故选：D.
12.已知关于的函数 是常数，设分别取，，时，所对应的函数为，以下结论：①满足的取值范围是；②不论取何实数，的图象都经过点和点；③当时，满足，则以上结论正确的是（ ）
A.①②B.②③C.①③D.①②③
【答案】D
【解析】当分别取，，时，所对应的函数解析式分别为：
，，，
若，则，
，即.则①正确；
关于的函数，
当时，函数值与无关，
即当，，当，，
过定点，，则②正确；
若，
或；
若，
或，
当时，，则③正确.
故选：D.
二、填空题（共12分）
13.如果点和关于原点对称，则，.（ ）
【答案】√
【解析】∵点和关于原点对称，
∴a＝3，b＝7，
∴原题说法正确.
故答案为：√.
14.已知的半径为3，点P在外，则点P到圆心O的距离d的取值范围是 .
【答案】
【解析】∵的半径为3，点P在外，
∴；
故答案为：.
15.二次函数的开口方向是 .
【答案】向下
【解析】因为，所以抛物线开口向下.
故答案为：向下.
16.若关于x的一元二次方程有两个相等实数根，则 .
【答案】或##或6
【解析】∵一元二次方程有两个相等实数根，
∴，
解得或，
故答案为：或.
17.如图，将一块含角的三角板绕点A按逆时针方向旋转到的位置.若，则旋转的角度为 .
【答案】或30度
【解析】由题知，，，，
旋转的角度为，
故答案为：.
18.双曲线和如图所示，点是上一点，分别过点作轴，轴，垂足分别为点、点，与分别交于点、点，若四边形的面积为4，则的值为 .

【答案】
【解析】在反比例函数的图象上，且图象在第二象限，
，，
在反比例函数的图象上，且图象在第二象限，
，
，
故答案为：.
三、解答题（共72分）
19.解方程：
解：
去括号得：，
移项合并同类项得：，
解得：.
20.如图，在边长均为1的小正方形组成的网格中，的顶点都在格点（网格线的交点）上.
（1）将向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，画出.
（2）将绕点顺时针旋转90°，得到，画出
（3）在（2）的旋转过程中，点经过的路径长是______.
解：（1）如图，即为所作；
（2）如图，即为所作；
（3），
∴点经过的路径长是.
21.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，直线MN交BD于点O，求证：∠1＝∠2.
证明：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴
∴
∴，
∴∠1＝∠2.
22.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为？
解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为可以得出平行于墙的一边的长为，由题意得
，
化简，得，
解得：，，
当时，（舍去），当时，，
答：所围矩形猪舍的长为、宽为.
23.如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A在第二象限内，点C在x轴的负半轴上，且AC=AO，∆ACO的面积为12.
（1）求k的值；
（2）求点A，点B的坐标；
（3）根据图象，当>时，请直接写出x的取值范围.
解：（1）过点A作AD⊥x轴于点D，如图所示：
∵AC=AO，
∴DO=CD，
设点，则有OD=-a，AD=-3a，OC=-2a，
∵△ACO的面积为12，
∴，即，
把点代入反比例函数解析式得：
，解得：；
（2）由（1）可得：，
联立正比例函数及反比例函数解析式得：
，解得：，
把代入正比例函数得：，
∴；
（3）由（2）及图像可得：当>时，x的取值范围为：
或.
24.如图，抛物线y＝ax2﹣ax﹣6a与x轴交于A、B两点(A在B点左边)，与y轴负半轴交于C点，OC＝2OA.
（1）求抛物线的解析式；
（2）E是x轴上方，抛物线上一点，若∠AEB+∠BAE＝45°，求E点纵坐标；
（3）如图2，P是线段AC上一个动点，F点在线段AB上，且AF＝m，若P点总存在两个不同的位置使∠BPF＝∠BAC，求m满足的条件.
解：（1）令y＝0，
得ax2﹣ax﹣6a＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝3，
∵A在B点左边，
∴A(﹣2，0)，B(3，0)，
令x＝0，得：y＝﹣6a，
∴C(0，﹣6a)，
∵OC＝2OA，
∴6a＝2×2，
解得：a＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）如图1，设E(t，t2﹣t﹣4)，
过点E作EG⊥x轴于G，连接EB，作∠AEB的平分线交x轴于M，过点M作MN⊥x轴交AE于N，
则∠AEM＝∠BEM＝∠AEB，
∵∠AEB+∠BAE＝45°，
∴∠AEM+∠BAE＝45°，
∴∠EMG＝45°，
∵∠EGM＝90°，
∴△EMG是等腰直角三角形，
∴∠MEG＝45°，
∵MN⊥x轴，EG⊥x轴，
∴MNEG，
∴∠EMN＝∠MEG＝45°，
∴∠EMN＝∠EMB，
∴MG＝EG＝t2﹣t﹣4，
∵BG＝t﹣3，
∴BM＝MG﹣BG＝t2﹣t﹣4﹣(t﹣3)＝t2﹣t﹣1，AG＝t+2，
∴AM＝AB﹣BM＝5﹣(t2﹣t﹣1)＝﹣t2+t+6，
在△EMN和△EMB中，
，
∴△EMN≌△EMB(ASA)，
∴MN＝BM＝t2﹣t﹣1，
∵MNEG，
∴△AMN∽△AGE，
∴，
即MN•AG＝AM•EG，
∴(t2﹣t﹣1)(t+2)＝(﹣t2+t+6)(t2﹣t﹣4)，
∴3(t﹣3)(2t+1)(t+2)＝﹣2(t+2)(2t﹣9)(t﹣3)(t+2)，
∵E是x轴上方，抛物线上一点，∠BAE为锐角，
∴点E在第一象限的抛物线上，
∴t＞3，
∴3(2t+1)＝﹣2(t+2)(2t﹣9)，
解得：t＝，
∵t＝＜3，不符合题意，舍去，
∴t＝，
当t＝时，
m2﹣m﹣4＝×()2﹣×﹣4＝，
∴E点纵坐标为；
（3）如图2，过点P作PT⊥x轴于T，
设直线AC的解析式为y＝kx+b(k≠0)，把A(﹣2，0)，C(0，﹣4)代入，
得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣4，
∵P是线段AC上一个动点，
∴设P(n，﹣2n﹣4)，且﹣2≤n≤0，
则T(n，0)，
∴OT＝﹣n，PT＝2n+4，BT＝3﹣n，
在Rt△BPT中，BP2＝PT2+BT2＝(2n+4)2+(3﹣n)2＝5n2+10n+25，
∵∠BPF＝∠BAC，∠PBF＝∠ABP，
∴△BPF∽△BAP，
∴，
∴BP2＝BF•AB＝(AB﹣AF)•AB，
∵AF＝m，AB＝OA+OB＝2+3＝5，
∴5n2+10n+25＝5(5﹣m)，
∴n2+2n+m＝0，
∵P点总存在两个不同的位置使∠BPF＝∠BAC，，
∴此方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4×1•m＞0，
解得：m＜1，
∴m满足的条件为：0＜m＜1.
25.如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B.
（1）求b的值和点A坐标；
（2）将线段向右平移m个单位（）得到线段，连接，若是等腰三角形，求m的值；
（3）点P为y轴上一动点，连接AP，若，直接写出点P坐标.
解：（1）当时，，
∴点B坐标为，
∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴，
∴直线解析式为，
当时，，
∴点A坐标为；
（2）当时，，
∴点C坐标为，
∵线段向右平移m个单位（）得到线段，
∴的坐标为，点坐标为，
∴，
若，则，
解得：或；
若，则，
解得（舍去）或（舍去），
若，则，
解得，
综上所述，m的值为或或；
（3）①如图，过点B作，且，连接交y轴于点P，过点D作轴于点H，则是等腰直角三角形，
∴，
∵点，点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点D坐标为，
设直线的解析式为，
代入点，点，得：
，解得，
∴直线的解析式为，
∴点P坐标为；
②如图，过点B作，且，连接交y轴于点P，过点M作轴于点N，则是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点M坐标为，
设直线的解析式为，
代入点，点，得：
，解得，
∴直线的解析式为，
∴点P坐标为，
综上所述，满足条件的点P坐标为或.
26.如图1，为美化校园，学校要建造一个圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈可移动的喷水头向中央喷水，使水流沿形状相同的抛物线落下.以喷水池中心为原点，水平方向为轴、中心线为轴建立平面直角坐标系，则水柱高度（单位：）与水柱距离喷水池中心的水平距离（单位：）之间的关系如图2所示.当水流与中心线的水平距离为2时，达到最大高度3.61，此时水柱刚好经过中心线上的点，已知点距水面高2.61.
（1）求如图2所示抛物线的解析式.
（2）为形成错落有致的喷水景观，现让喷水头向中心线沿直线滑动，在保持水流形状不变的情况下，要求喷水柱最高点不能超过中心线，若喷水头的位置用表示.（仅考虑轴右侧的情况）.
①求的取值范围；
②若水刚好喷到中心线上，且距水面高3.25m处，直接写出此时的值______.
解：（1）由题意可知，该抛物线的顶点坐标为，点，
设该抛物线的解析式为，
将点代入，可得，
解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）①对于抛物线，
当时，可有，
解得或（舍去），
根据题意，喷水头向中心线沿直线滑动，若要求喷水柱最高点不能超过中心线，如下图，
则当喷水柱最高点位于中心线时，即抛物线顶点正好在轴上时，
此时抛物线解析式为，
令，即有，
解得或（舍去），
∴的取值范围为；
②设喷水头向中心线沿直线滑动距离为，
则抛物线解析式为，
当水刚好喷到中心线上，且距水面高3.25m处，即此时抛物线经过点，
将点代入抛物线，
可得，
解得或（滑动距离超出①中范围，舍去），
∴此时抛物线解析式为，
令，即有，
解得或（舍去），
∴此时喷头位置为.
故答案为：5.