2023年广西柳州市中考数学一模试卷（含解析）

2023年广西柳州市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  有理数，，，中，小于的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  北京的故宫占地面积约为平方米，数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  把不等式的解集在数轴上表示，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，若，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  某班名同学参加学校“感党恩，跟党走”主题演讲比赛，他们的成绩单位：分分别是，，，，，这组数据的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图所示，有张写有汉字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上洗匀后如图摆放，从中任意翻开一张是汉字“信”的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  正八边形的每个内角的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，，，是上的三点，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，某商场一楼与二楼之间的电梯示意图．，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理，如图筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为米，半径长为米若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是(    )
 

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

12.  如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是线段上的一个动点，连接，过点作交轴于点，若点、在直线上，则的最大值是(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）

13.  若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是          ．

14.  小丽的笔试成绩为分，面试成绩为分，若笔试成绩、面试成绩按：计算平均成绩，则小丽的平均成绩是______分．

15.  点在第二象限内，则的范围          ．

16.  分解因式：          ．

17.  如图，在中，，分别为，的中点，若的面积，则的面积        ．

18.  如图，在矩形中，，对角线，相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图所示，则边的长为______．
 

三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）

19.  解方程：．

20.  某中学为丰富学生的校园生活，准备一次性购买若干个足球和篮球每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同，若购买个足球和个篮球共需元，购买个足球和个篮球共需元．
购买一个足球、一个篮球各需多少元？提示：列方程组解答
根据该中学的实际情况，需一次性购买足球和篮球共个，要求购买足球和篮球的总费用不超过元，这所中学最多可以购买多少个篮球？提示：列不等式解答

四、解答题（本大题共6小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分
计算：．

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
把向左平移个单位后得到对应的，请画出平移后的；
把绕原点旋转后得到对应的，请画出旋转后的；
观察图形可知，与关于点______，______中心对称．

23.  本小题分
某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图． 

这次被调查的同学共有______名；
把条形统计图补充完整；
校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供人用一餐．据此估算，该校 名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？

24.  本小题分
综合与实践
小明遇到这样一个问题，如图，中，，，点为的中点，求的取值范围．
小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图，延长到，使，连接，构造≌，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：
小明证明≌用到的判定定理是：        ；填入你选择的选项字母
A.
B.
C.
D.
的取值范围是        ．
小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若，，，求的长．

25.  本小题分
如图，是的直径，点是上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，直线与的延长线相交于，弦平分，交直径于点，连接．
求证：平分；
若，，求的长．

26.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．
求抛物线解析式；
求开口向下的二次函数的最大值时采用的步骤是：第一，求出二次函数的顶点坐标；第二，确定自变量的取值范围；第三，判定是否在其范围内，若在，则最大值是顶点纵坐标，若不在，要根据其增减性求最大值，即当时，时，最大；当时，时，最大．
若，时，二次函数的最大值是，求的值．
如图，若点是第一象限抛物线上一点，且，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故小于的数是．
故选：．
根据负数小于即可判断
本题考查有理数的大小，解题的关键是熟练运用有理数的大小比较法则，本题属于基础题型．
 

2.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为元．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：由，得：
，
故选：．
根据不等式解集的表示方法，可得答案．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，注意在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故选项A错误，不符合题意；
不能合并，故选项B错误，不符合题意；
不能化简，是最简二次根式，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D正确，符合题意；
故选：．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图所示：

，，
，
，
故选D．
根据平行线的性质和邻补角解答即可．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：把这组数据从小到大排列为，，，，，
故中位数为；
故选：．
利用中位数的定义求解即可．
本题考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
 

7.【答案】 

【解析】解：共张卡片，写有“信”的有张，
所以从中任意翻开一张是汉字“信”的概率是，
故选：．
根据概率的求法，找准两点：
全部情况的总数；
符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．依此即可求解．
此题考查了概率公式，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

8.【答案】 

【解析】解：正八边形的外角和为，
正八边形的每个外角的度数，
正八边形的每个内角．
故选C．
根据边形的外角和为得到正八边形的每个外角的度数，然后利用补角的定义即可得到正八边形的每个内角．
本题考查了多边形内角与外角：边形的内角和为；边形的外角和为．
 

9.【答案】 

【解析】解：在中，和都对，
．
故选：．
直接利用圆周角定理求解．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

10.【答案】 

【解析】解：作交的延长线于，
，
，
．
故选：．
作交的延长线于，根据直角三角形的性质计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用，含角直角三角形的性质，掌握直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
连接交于点，连接，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．
【解答】
解：连接交于点，连接，

点为运行轨道的最低点，
，
米，
在中，米，
点到弦所在直线的距离米，
故选：．  

12.【答案】 

【解析】解：连接，则四边形是矩形，

，
又，
，
，
∽，
，
设，则，，
，
即：
当时，，
直线与轴交于
当最大，此时最小，点越往上，的值最大，
，
此时，
的最大值为．
故选：．
当点在上运动时，交轴于点，此时点在轴的负半轴移动，定有∽；只要求出的最小值，也就是最大值时，就能确定点的坐标，而直线与轴交于点，此时的值最大，因此根据相似三角形的对应边成比例，设未知数构造二次函数，通过求二次函数的最值得以解决．
本题综合考查相似三角形的性质、二次函数的性质、二次函数的最值以及一次函数的性质等知识；构造相似三角形、利用二次函数的最值是解题的关键所在．
 

13.【答案】 

【解析】解：依题意有，
解得．
故答案为：．
根据二次根式的性质，被开方数大于等于，列不等式求解．
本题主要考查了二次根式的意义和性质，注意掌握概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

14.【答案】 

【解析】解：小丽的平均成绩是分，
故答案为：．
根据加权平均数的定义计算可得．
本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求，这两个数的平均数，对平均数的理解不正确．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了点的坐标，掌握第二象限的点的坐标特征是解题关键．
直接利用第二象限内点的坐标特点得出的取值范围，进而得出答案．
【解答】
解：点在第二象限内，
，
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】
直接提取公因式进而分解因式得出即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
【解答】
解：．
故答案为：．  

17.【答案】 

【解析】解：，分别为，的中点，
，，
，
，
∽，
，
，
故答案为：．
由，分别为，的中点，得，即可证明∽，再根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”求出的值即可．
此题重点考查相似三角形的判定与性质，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明∽是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，面积最大为．
，即．
当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为，此时结合图象可知点运动路径长为，
．
则，代入，得，
解得或，
，即，
，．
故选：．
当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，结合图象可得面积最大为，得到与的积为；当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为，此时结合图象可知点运动路径长为，得到与的和为，构造关于的一元二方程可求解．
本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．
 

19.【答案】解：方程的两边同乘，
得：，
解得：，
检验：把代入，
原方程的解为：． 

【解析】观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
解分式方程一定注意要验根．
 

20.【答案】解：设足球单价元、篮球单价为元，
根据题意得：，
解得：．
答：足球单价元、篮球单价元；
设最多买篮球个，则买足球个，根据题意得：
，
解得：，
为整数，
最大取，
答：这所中学最多可以买个篮球． 

【解析】根据“购买个足球和个篮球共需元．购买个足球和个篮球共需元”分别得出等式方程组成方程组求出即可；
利用一次性购买足球和篮球共个，购买足球和篮球的总费用不超过元，得出不等式求出即可．
本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到建立方程的等量关系和建立不等式的不等关系是解答本题的关键．
 

21.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用有理数的除法运算以及二次根式的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：如图所示，即为所求；
如图所示，即为所求；

由图可得，与关于点中心对称．
故答案为：，．
依据平移的方向和距离，即可得到平移后的；
依据绕原点旋转，即可画出旋转后的；
依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标．
此题主要考查了平移变换和旋转变换，正确根据题意得出对应点位置是解题关键．
 

23.【答案】
剩少量的人数是；，
补图如下；

人．
答：该校名学生一餐浪费的食物可供人食用一餐． 

【解析】

解：这次被调查的同学共有名；
故答案为：；
见答案
见答案
【分析】
用没有剩的人数除以其所占的百分比即可；
用抽查的总人数减去其他三类的人数，再画出图形即可；
根据这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供人用一餐，再根据全校的总人数是人，列式计算即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．  

24.【答案】   

【解析】证明：如图，延长到，使，连接，
是中点，
，
在和中，
，
≌．
故选：；
和，
，
，
，
，
故答案为：；
如图，延长，交于，
四边形是正方形，
，
，
，
是中点，
，
，
≌，
，，
，
垂直平分，
，
，
．
延长到，使，连接，由即可证明问题；
由三角形三边的关系即可求出的取值范围；
延长，交于，即可证明≌，得到，，由线段垂直平分线的性质定理得到．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，一元一次不等式的应用，关键是通过作辅助线构造全等三角形．
 

25.【答案】证明：连接．
，
．
是的切线，，
，
．
．
即平分；
解：连接．
，
，
．
又是直径，
．
，
．
，，
∽．
．
．
．
设，则，
在中，，
解得，，
，，
． 

【解析】连接，根据切线的性质可得，则，根据等边对等角，以及平行线的性质即可证得；
首先利用已知条件证明∽，然后根据相似三角形的性质求得与的比值，在直角中利用勾股定理即可列方程求解．
本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
 

26.【答案】解：抛物线与轴交于，两点，
，解得，
抛物线解析式为．
，，
抛物线的顶点坐标为，
，
，
，
抛物线开口向下，
，
当时，，
，
解得，不符合题意，舍去，
的值为．
如图，作轴于点，
，
，
作，交的延长线于点，作轴，轴，与交于点，
，，
，，
，
，
≌，
，，
，，
设直线的解析式为，
将，代入，
得，解得，
直线的解析式为，
解方程组，得，不符合题意，舍去，
点的坐标是 

【解析】将，代入，列方程组并且解方程组求出、的值，即可得到该抛物线的解析式为；
先求得顶点坐标为，由，得，而该抛物线开口向下，且，所以当时，，于是得，解方程求出符合题意的值即可；
作轴于点，作，交的延长线于点，作轴，轴，与交于点，可证明≌，得，，则，求得直线的解析式为，将，与联立方程组，解该方程组即可求出点的坐标．
此题重点考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．