河南省安鹤新联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试卷（解析版）

这是一份河南省安鹤新联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故选：A.
2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限
【答案】B
【解析】由题意得，所以在复平面内对应的点位于第三象限.
故选：B.
3. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因，，由正弦定理，.
故选：A.
4. 已知向量，，若，则（ ）
A. 1B. 3C. 1或D. 1或3
【答案】C
【解析】因为，，所以.
又，所以，
解得或.
故选：C.
5. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由和正弦定理，
得，
整理得.
因为，所以.
又，所以或，
由可得，此时，
而由 可得，显然不成立，故.
故选：D.
6. 已知，是两个不共线的向量，且向量，同向，则的最小值为（ ）
A. 12B. 6C. D.
【答案】C
【解析】由向量，同向，得，且，，则，
因此，当且仅当，时取等号，
所以的最小值为.
故选：C.
7. 某渔船由地出发向南航行了2n mile到达地，然后由地向东航行了2n mile到达地，再从地向北偏东航行了n mile到达地，则地与地之间的距离为（ ）
A. n mileB. n mileC. n mileD. n mile
【答案】A
【解析】如图，由题意得，n mile，则，
，易得n mile，
在中，由余弦定理可得：
n mile.
故选：A.
8. 已知圆的半径为4，弦，D为圆上一动点，则的最小值为（ ）
A. -12B. -8C. -6D. -4
【答案】B
【解析】如图，作圆的直径，过作的延长线，垂足为.
而可以看作在上的投影向量与的数量积，
由圆的性质知，当与重合时，取得最小值.
因 ，可得，则，
所以的最小值为.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则的实部为25B. 若，则的虚部为
C. 若为实数，则D. 若为纯虚数，则
【答案】AC
【解析】若，则的实部为25，虚部为-5，A正确，B错误.
若为实数，则，得，C正确.
若为纯虚数，则得，D错误.
故选：AC.
10. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列条件中，使得有唯一解的有（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】AD
【解析】对于选项A，由，
因为，所以只能为锐角，故有唯一解；
对于选项B，由，
所以或，所以有两解；
对于选项C，因为，所以，显然不符合三角形内角和为，所以无解；
对于选项D，，，，符合边长的关系，且有唯一解.
故选：AD.
11. 定义：是与向量，，在同一平面内，且与绕其起点逆时针旋转同向的向量，（为，的夹角）.规定：若或，则.设，，均为同一平面内的非零向量，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 若，则
【答案】AB
【解析】由题可知，，，则，A正确.
，B正确.
取，，，则，从而，
而，，C不正确.
，则或，
即或，
由题可知，所以当时，满足，故D不正确.
故选：AB.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，则__________.
【答案】
【解析】由题意得 得 所以.
13. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫作向量在坐标系中的坐标.设，且，则__________.
【答案】3或
【解析】由题意，，
由，可得，
则，
即，解得或.
14. 已知a，b，c分别为锐角三角形的三个内角A，B，C的对边，且，则的取值范围为__________，的取值范围为__________.
【答案】
【解析】由题意得 得，
则.
由，得，
，即的取值范围为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知平行四边形的三个顶点为，，.
（1）求点的坐标；
（2）求在上的投影向量的坐标.
解：（1）设，由题意得，，
由可得得故点的坐标为.
（2）由（1）得，则，，
所以在上的投影向量的坐标为.
16. 已知非零向量，满足.
（1）若，，求与的夹角的余弦值；
（2）若，求的取值范围.
解：（1）设，的夹角为，由得，
得，
得，即与的夹角的余弦值为.
（2）由（1）得，
由，得，得.
因为，所以.
易得，则
得，即的取值范围为.
17. 已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且，.
（1）求；
（2）若的外接圆的面积为，求及的面积.
解：（1）由正弦定理得，则，
因为，所以或.
（2）设的外接圆的半径为，由，解得.
由正弦定理，，得.
因为，所以，由（1）可得.
由余弦定理，，得，
解得.
故的面积为.
18. 如图，在梯形中，，，.
（1）用，表示，；
（2）若，，，求；
（3）若与交于点，，求.
解：（1）由图，
；
.
（2）
.
（3）（方法一）延长，交的延长线于.
易证，则，得，
易证，则，
设，则，，得，
得，
所以.
故.
（方法二）设，则
，
设，则，
则解得所以.
故
19. 已知a，b，c分别为钝角三角形的三个内角A，B，C的对边，是的角平分线，且.
（1）求；
（2）若，求的最小值；
（3）若为边（不包括A，C）上一点，与交于点，且，证明：是的内心.
解：（1）（方法一）由题意得，
得
，
则.
由，得，
即，
整理得.
由，得，
因，则.
（方法二）由正余弦定理得，
得.因，
两式相加，可得，因，
则，
得
.
因为钝角三角形，则，得，因，则.
（2）由（1）结论和题意得.
由，
可得，
化简得，即.
因，
当且仅当时，等号成立.
故的最小值为4.
（3）设，，，，.
在和中，由正弦定理得，，
可得.
在中，由正弦定理得.
又由，得，
则，
得.
因为，所以，即.
由，可得
在中，，
在和中，由正弦定理得，
得，
故，
即
化简得，即，
则是的角平分线，故是的内心.