河南省名校学术联盟2025届高三下学期模拟冲刺（六）数学试卷（解析版）

这是一份河南省名校学术联盟2025届高三下学期模拟冲刺（六）数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，若为实数，则（ ）
A. 2B. 5C. 3D. 1
【答案】B
【解析】因为复数为实数，
则，即得，
则.
故选：B.
2. 设集合，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题可知，
由，可得，
所以．
故选：A.
3. 函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由余弦和角公式、倍角公式、降幂公式可得
，
所以的最小正周期为．
故选：C
4. 过原点且与曲线相切的直线有（ ）
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
【答案】C
【解析】设切点，因为曲线，所以，
所以，所以，
所以或，
当时，所以，所以切线方程为，即；
当时，所以，所以切线方程为，即；
当时，所以，所以切线方程为，即；
所以切线有3条.
故选：C.
5. 已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由在上单调递增，则值域为，
由对称轴为，
当时，开口向上，则，显然成立；
当时，在上单调递增，且，显然成立；
当时，开口向下，则，则；
综上，.
故选：D
6. 设抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，，，则l的斜率是（ ）
A. ±1B. C. D. ±2
【答案】D
【解析】下图所示为l的斜率大于0的情况．
如图，设点A，B在C的准线上的射影分别为，，，垂足为H．
设，，则．
而，所以，
l的斜率为．同理，l的斜率小于0时，其斜率为．
另一种可能的情形是l经过坐标原点O，可知一交点为，则，
可求得，可求得l斜率为，
同理，l的斜率小于0时，其斜率为．
故选：D
7. 已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，则当的值最大时，（ ）
A. 1B. 2
C. D.
【答案】D
【解析】设圆锥的母线长为l，则圆锥的底面半径，
侧面展开图的扇形弧长，即圆锥底面的周长，
因此，，．
记，，则，
因为在上递减，且，，
所以存在唯一的满足，即，
且当时，，则在单调递增，
当时，，则在单调递减，
故是的极大值点，也是最大值点．
此时．
故选：D
8. 已知，，则的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】A
【解析】由
①，
令，，则①式，
所以的最大值为
，，
所以，令，
当，即时，，
此时①式，即，
综上，，时目标式取最大值为1.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知椭圆，则（ ）
A. 的取值范围为B. 若的焦点在轴上，则
C. 若，则的焦距为6D. 若，则的离心率为
【答案】CD
【解析】由题设，可得，A错；
若的焦点在轴上，则，可得，B错；
若，则的焦距为，C对；
若，则的离心率为，D对.
故选：CD
10. 已知任何大于1的非质数总可以分解成素数乘积的形式，且如果不计分解式中素数的次序，则这种分解式是唯一的．例如，其中素数2和3称为24的素因数，且24的不同正因数个数为．完全数，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身，例如，可知6的所有真因子为1，2，3，且，则6为完全数，则（ ）
A. 97200的素因数为2，3，5
B. 97200不同的正因数有96个
C. 在小于30的非负偶数中有3个完全数
D. 在小于30的非负偶数中随机选两个数，这两个数中至少有一个完全数的概率为
【答案】AD
【解析】由，即97200的素因数为2，3，5，A对；
由题设，97200不同的正因数有个，B错；
由，，，，，，，
，，，，，
，，，
综上，只有是完全数，共2个，C错；
由C分析知，15个数中有2个完全数，故随机选两个数中至少有一个完全数的概率为，D对.
故选：AD
11. 已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，且，，．记的轨迹分别为，，且与所封闭的面积分别为，则（ ）
A. 为圆B. 最大值的最小值为
C. D. 的最大值为
【答案】ABD
【解析】A项，点到定点距离为定值，
为以为圆心，为半径的圆，故A正确；
B项，由A项，可设，
又，可设，
则，
由，得，
，则，
，当时，等号成立，故的最大值为.
记
则，令得，
则当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
所以，最大值的最小值为，故B正确；
C项，由，
可知在以为圆心，为内径，为外径圆环上，即轨迹为，
则.
设，则，
故在上单调递增，则，
即，则，由，
则，故C错误；
D项，由题意可得，则，
设，则，
令，解得，
则当时，，在上单调递增；
当时，，上单调递减；
，所以的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，，且，则正数______．
【答案】2
【解析】由题设，又，
所以，可得，
又，故.
故答案为：2
13. 记为正项数列的前项和，，为等比数列，则______．
【答案】
【解析】由题设，可得，即，
又为等比数列，若公比为，则，故，
所以，则，
所以.
故答案为：
14. 已知事件A，满足，，，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】因为，，
所以，
所以，又，
所以，
设，则，所以，
所以
设，
所以，
令，
则，
令，得，得，
又，即，符合题意，
令，解得；，解得，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，取得最大值，
所以，
的取值范围为，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤．
15. 在中，内角所对的边分别为，且．
（1）求；
（2）若，求面积的最大值．
解：（1）因为，
由余弦定理可得，
由正弦定理可得，所以，
又因为，所以．
（2）因为且，由余弦定理得，即
又因为，当且仅当时，等号成立，
即，解得，
所以的面积，
即面积的最大值为．
16. 氮氧化物是一种常见的大气污染物，它是由氮和氧两种元素组成的化合物，有多种不同的形式．下图为我国2014年至2022年氮氧化物排放量（单位：万吨）的折线图，其中，年份代码1～9分别对应年份2014～2022．
计算得，，．
（1）是否可用线性回归模型拟合与的关系？请用折线图和相关系数加以说明；
（2）是否可用题中数据拟合得到的线性回归模型预测2023年和2033年的氮氧化物排放量？请说明理由．
附：相关系数，．
解：（1）从折线图看，各点近似落在一条直线附近，因而可以用线性回归模型拟合与的关系．
因为，所以该组数据的相关系数
．
，因而可以用线性回归模型拟合与的关系．
（2）可以用回归模型预测2023年的氮氧化物排放量，但不可以预测2033年的氮氧化物排放量，理由如下：
①2023年与题设数据的年份较接近，因而可以认为，短期内氮氧化物的排放量将延续（1）中的线性趋势，故可以用（1）中的回归模型进行预测；
②2033年与题设数据的年份相距过远，而影响氮氧化物排放量的因素有很多，这些因素在短期内可能保持，但从长期角度看很有可能会变化，因而用（1）中的回归模型预测是不准确的．
17. 如图，四棱锥中，是正三角形，底面是矩形，平面底面，，分别为棱，的中点．

（1）证明：平面；
（2）若二面角为，求直线与底面所成角的正弦值．
（1）证明：取的中点，连接，又，分别为棱，的中点，
所以且，
又底面是矩形，即且，
所以且，即为平行四边形，故，
由平面，平面，故平面；

（2）解：记为的中点，作，因为是正三角形，所以，
面面，面面，面，
所以面，则为直线与底面所成角，
易知面，面，则，
所以可构建如图示的空间直角坐标系，设，，
则，，，，，
所以，，，
若分别为面、面的一个法向量，则
，取，则，
，取，则，
由二面角为，则，所以或，
当时，，
所以为等边三角形，且，，
所以，即，，
所以二面角为，故不合题设，即（经验证满足题设），
故.
18. （1）证明：双曲线上任意一点处的切线方程为；
（2）已知直线，，直线分别交和于点和，点和在轴同侧，且的面积为1（为坐标原点），恒与一焦点在轴上的等轴双曲线相切，求该等轴双曲线的方程；
（3）在（2）的条件下，记（2）中的等轴双曲线为，与相切于点且不在坐标轴上，过点作直线的垂线分别交轴和轴于点和，证明：，，，四点共圆，且该圆过定点．
（1）证明：若切线的斜率存在，即切点不为双曲线的顶点，令方程为，联立，
所以，则，
所以，
整理得，
因为点在双曲线上，所以，
所以，则，
所以，则，
由，则，即，
所以，显然切线的斜率不存在时，即切线过双曲线顶点也满足，得证；
（2）解：由题意，设，其焦点坐标为，
设与双曲线的切点为，则切线方程为，
联立，可得，即，同理，
所以，，则，
而，故，即所求等轴双曲线的方程；
（3）解：由（2）双曲线为，若，则，
所以过点作直线的垂线为，即，
令，则，即，令，则，即，
联立，可得，同理，
综上，、的中点坐标均为，即是点，所以四点共圆，
易知圆的方程为，显然原点恒在圆上，得证.
19. 对于各项均为正整数的数列，如果，给定，且对于任意都有，我们就称为一个数列．
（1）若数列是－数列，且，，直接写出，，的值；
（2）若数列为数列，且，，则，都存在一个或若干个互不相邻且互不相同的正整数，，，使得，证明：，的表示具有唯一性；
（3）能否将正整数集拆成若干个集合，，，（可以是无穷个集合），使得，都有，这些集合的并集为正整数集，且将每个集合的数从小到大排列之后都是数列？
解：（1），.
（2）采用数学归纳法证明，
当时，，显然存在，
假设当时，都存在一个或若干个互不相邻互不相同的正整数，使得，
当时，设是满足的最大正整数，则，
因为（若，则与是满足的最大正整数矛盾），
且由归纳假设可以表示成的形式，
其中互不相邻且与也不相邻（因为，
所以也可以表示成若干个互不相邻互不相同的的和；
再证明唯一性：假设，
不妨设，
设，
根据数列的增长性质，得单调递增且增长速度由递推关系决定，
从最大项开始分析，若，不妨设，则，
因为的增长使得前面项的和小于较大的项，故矛盾，所以，
去掉这一项后继续比较剩下的和，以此类推可得且；
（3）首先构造集合，设是以1，2为首项的数列构成的集合，
根据－数列的递推公式，
则，，，
,，
以此类推可得，
然后构造集合，为了保证，从正整数集中去掉的元素后，取最小的正整数4作为的首项，再取一个不同于中元素的数作为第二项，不妨取6，则，，，，依此类推，
则是以4为首项的数列构成的集合，即，
再构造集合，在正整数集中去掉的元素，此时最小的正整数为7，取7作为的首项，再取一个合适的数如9作为第二项，则，，，,，
那么是以7为首项的数列构成的集合，即，
按照上述方法，不断地在正整数集中去掉前面以构造集合的元素，然后取剩余最小正整数作新集合的首项，再选取一个合适的数作为第二项，依据数列的递推公式生成新的集合，由于每次构造新集合时，都是从前面集合未包含的正整数中选取元素，所以对于任意都有，
因为是按照正整数从小到大的顺序，依次将正整数分配到不同的集合中，所以，在构造每个集合时，都是根据－数列的递推公式来生成集合内的元素，所以每个集合的数从小到大排列之后都是数列，
综上，能将正整数集拆成若干个集合（可以是无穷个集合），使得对于任意，都有，这些集合的并集为正整数集，且将每个集合的数从小到大排列之后都是－数列.